Abbildung < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:12 Do 06.09.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
ich habe eine Frage zu Funktionen/Abbildungen.
In der Schule habe ich gelernt, dass eine Funktion genau dann gegeben ist, wenn es für einen x Wert genau einen y-Wert gibt.
Jetzt stellt sich mir aber die Frage: Wenn ich eine surjektive Abbildung machen will, sagen wir von [mm] $\IN$ [/mm] zu [mm] $\IZ$. [/mm] Damit diese Surjektiv wird, muss ich ja allen Elemente der Menge [mm] $\IZ$ [/mm] mindestens einem Element der Menge [mm] $\IN$ [/mm] zuordnen. Oder allgemein:
[mm] $\forall [/mm] n [mm] \in \IZ \exists m\in \IN [/mm] : f(m)=n$
Oder wenn ich mir die Abbildung per Pfeile vorstelle, dann muss jedes Element der Zielmenge [mm] $\IZ$ [/mm] mindestens einen Pfeil bekommen.
Jetzt stellt sich mir die Frage: Das kriege ich ja nicht hin, wenn ich von den natürlichen Zahlen auf alle ganzen Zahlen abbilden will.
Meine Überlegung war jetzt die, dass ich jeder natürlichen Zahl ihre positive Zahl zuordne und gleichzeitig ihre betragsmäßig gleiche, aber negative Zahl.
So habe ich eine surjektive Funktion gegeben.
Das sähe dann aber in etwa so aus:
$f(x)=x [mm] \wedge [/mm] f(x)=-x $ oder wie notiert man so etwas?
Und genau diese Idee, die ich oben geschildert habe, widerspricht ja der "Funktionenvorstellung" der Schule. Aber etwas anderes fällt mir nicht ein, als eine surjektive Abbildung von [mm] $\IN$ [/mm] auf [mm] $\IZ$ [/mm] zu bekommen.
Ich hoffe, dass ihr mein Problem versteht und mir helfen könnt.
LG
Kroni
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Hallo Kroni,
> Wenn ich eine
> surjektive Abbildung machen will, sagen wir von [mm]\IN[/mm] zu [mm]\IZ[/mm].
> Damit diese Surjektiv wird, muss ich ja allen Elemente der
> Menge [mm]\IZ[/mm] mindestens einem Element der Menge [mm]\IN[/mm] zuordnen. ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
> Oder allgemein:
>
> [mm]\forall n \in \IZ \exists m\in \IN : f(m)=n[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Oder wenn ich mir die Abbildung per Pfeile vorstelle, dann
> muss jedes Element der Zielmenge [mm]\IZ[/mm] mindestens einen Pfeil
> bekommen. auch
>
> Jetzt stellt sich mir die Frage: Das kriege ich ja nicht
> hin, wenn ich von den natürlichen Zahlen auf alle ganzen
> Zahlen abbilden will.
doch kriegst du...
> Meine Überlegung war jetzt die, dass ich jeder natürlichen
> Zahl ihre positive Zahl zuordne und gleichzeitig ihre
> betragsmäßig gleiche, aber negative Zahl.
> So habe ich eine surjektive Funktion gegeben.
>
> Das sähe dann aber in etwa so aus:
>
> [mm]f(x)=x \wedge f(x)=-x[/mm] oder wie notiert man so etwas?
>
> Und genau diese Idee, die ich oben geschildert habe,
> widerspricht ja der "Funktionenvorstellung" der Schule.
ja auch derjenigen an der Uni 
Das ist dann keine Funktion mehr, da einem Element 2 Elemente zugeordnet werden
> Aber etwas anderes fällt mir nicht ein, als eine surjektive
> Abbildung von [mm]\IN[/mm] auf [mm]\IZ[/mm] zu bekommen.
>
> Ich hoffe, dass ihr mein Problem versteht und mir helfen
> könnt.
Ja das ist ein "ganz normales Problem"
Es liegt wohl darin begründet, dass die Pfeildiagramme, die man zur Veranschaulichung gerne macht, immer von einer [mm] \underline{endlichen} [/mm] Menge in eine andere [mm] \underline{endliche} [/mm] Menge gehen.
Bei unendlichen Mengen ist das mit der Vorstellung oft nicht so "einfach"
Zu deinem Bsp.
wie wäre es mit diesem Gedanken für eine surjektive Abbildung [mm] $f:\IN\to\IZ$
[/mm]
wir schicken die 1 auf 0, die 2 auf 1, die 3 auf -1, die 4 auf 2, die 5 auf -2 usw.
Also f(1)=0, f(2)=1, f(3)=-1, f(4)=2, f(5)=-2
Wenn wir das "unendlich" weiterführen, so trifft $f$ doch jede ganze Zahl..
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:52 Do 06.09.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
> Hallo Kroni,
>
>
>
> > Wenn ich eine
> > surjektive Abbildung machen will, sagen wir von [mm]\IN[/mm] zu [mm]\IZ[/mm].
> > Damit diese Surjektiv wird, muss ich ja allen Elemente der
> > Menge [mm]\IZ[/mm] mindestens einem Element der Menge [mm]\IN[/mm] zuordnen.
>
>
> > Oder allgemein:
> >
> > [mm]\forall n \in \IZ \exists m\in \IN : f(m)=n[/mm]
> >
> > Oder wenn ich mir die Abbildung per Pfeile vorstelle, dann
> > muss jedes Element der Zielmenge [mm]\IZ[/mm] mindestens einen Pfeil
> > bekommen. auch
> >
> > Jetzt stellt sich mir die Frage: Das kriege ich ja nicht
> > hin, wenn ich von den natürlichen Zahlen auf alle ganzen
> > Zahlen abbilden will.
>
> doch kriegst du...
>
> > Meine Überlegung war jetzt die, dass ich jeder natürlichen
> > Zahl ihre positive Zahl zuordne und gleichzeitig ihre
> > betragsmäßig gleiche, aber negative Zahl.
> > So habe ich eine surjektive Funktion gegeben.
> >
> > Das sähe dann aber in etwa so aus:
> >
> > [mm]f(x)=x \wedge f(x)=-x[/mm] oder wie notiert man so etwas?
> >
> > Und genau diese Idee, die ich oben geschildert habe,
> > widerspricht ja der "Funktionenvorstellung" der Schule.
>
> ja auch derjenigen an der Uni
Okay, das war auch eg die erste Frage, die ich mir stellte.
>
> Das ist dann keine Funktion mehr, da einem Element 2
> Elemente zugeordnet werden
>
> > Aber etwas anderes fällt mir nicht ein, als eine surjektive
> > Abbildung von [mm]\IN[/mm] auf [mm]\IZ[/mm] zu bekommen.
> >
> > Ich hoffe, dass ihr mein Problem versteht und mir helfen
> > könnt.
>
> Ja das ist ein "ganz normales Problem"
>
> Es liegt wohl darin begründet, dass die Pfeildiagramme, die
> man zur Veranschaulichung gerne macht, immer von einer
> [mm]\underline{endlichen}[/mm] Menge in eine andere
> [mm]\underline{endliche}[/mm] Menge gehen.
>
>
> Bei unendlichen Mengen ist das mit der Vorstellung oft
> nicht so "einfach"
Das stimmt*g*
>
> Zu deinem Bsp.
>
> wie wäre es mit diesem Gedanken für eine surjektive
> Abbildung [mm]f:\IN\to\IZ[/mm]
>
> wir schicken die 1 auf 0, die 2 auf 1, die 3 auf -1, die 4
> auf 2, die 5 auf -2 usw.
>
>
> Also f(1)=0, f(2)=1, f(3)=-1, f(4)=2, f(5)=-2
>
> Wenn wir das "unendlich" weiterführen, so trifft [mm]f[/mm] doch
> jede ganze Zahl..
Folgendes Problem tritt noch auf: Die Funktion soll injektiv sein, also [mm] $\forall [/mm] x,y : x=y [mm] \Rightarrow [/mm] f(x)=f(y)$ oder eben alles verneint (ist doch das selbe wie [mm] $\forall [/mm] x,y: [mm] x\not= [/mm] y [mm] \Rightarrow [/mm] f(x) [mm] \not= [/mm] f(y)$ oder?)
Weil wenn x und y nicht gleich sind, so müssen auch andere Werte auftauchen. Das besagt ja, dass wenn x=y ist, dass daraus folgt, dass dann f(x)=f(y) ist. Hm gut, wenn [mm] $x\not=y$ [/mm] würde das auch eine wahre Aussage geben, so dass meine erste Definition für injektivität nicht stimmt?!
Es gilt also für Injektivität: [mm] $\forall [/mm] x,y : [mm] x\not= [/mm] y [mm] \Rightarrow f(x)\not=f(y)$.
[/mm]
Das besagt also, dass man für jedes Bild genau ein, und auch nur ein Bild haben darf.
Das ist ja bei deiner Definition auch gefunden.
Aber ich soll dann auch noch eine Umkehrfunktion angeben, die ich bei dieser "willkürlichen" Angabe nicht finden kann.
Ich könnte höchstens sagen:
Wenn x gerade, dann gilt f(x)=x/2 und wenn f(x) ungerade, dann soll irgendetwas anderes gelten...
Nun ja, mal sehen, ob mir da noch was einfällt.
Wäre aber auch sehr dankbar, wenn jemand meine obige Definition bezüglich Injektivität prüft und mir sagen würde, ob ich damit recht habe, dass [mm] $\forall [/mm] x,y : x=y [mm] \Rightarrow [/mm] f(x)=f(y)$ nicht passt. Es muss ja schon heißen [mm] $\forall [/mm] x,y, : [mm] x\not= [/mm] y [mm] \Rightarrow f(x)\not= [/mm] f(y)$.
Das ist auch eine Frage, die sich mir gerade stellt*g*
EDIT: Okay, ich hätte eine Funktionsvorschrift gefunden:
Für gerade Zahlen: f(x)=x/2
für ungerade Zahlen: f(x)=-x/2+0.5
Wenn ich die Null dann auch als gerade Zahl definiere ist diese Funktionsvorschrift sowohl injektiv als auch surjektiv.
Kann man das dann so mit geschweiften Klammenr schreiben?
also
[mm] f(n)=\begin{cases} x/2, & \mbox{für } n \mbox{ gerade} \\ -x/2+0.5, & \mbox{für } n \mbox{ ungerade} \end{cases}
[/mm]
Ist jetzt nur die Frage, wie dann die Umkehrfunktion ausschaut...Da müsste ich dann ja aufspalten nach negativ und nach positiv.
Ist das dann in dem Sinne auch onch eine Umkehrfunktion?
LG
Kroni
>
>
> LG
>
> schachuzipus
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:16 Do 06.09.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
hier nochmal eine Frage zum injektiv:
Die Formulierung heißt ja
[mm] $\forall [/mm] x,y : [mm] x\not= [/mm] y [mm] \Rightarrow f(x)\not=f(y)$
[/mm]
Das besagt ja: Wenn x nicht gleich y ist, dann müssen zwangsläufig die Funktionswerte unterschiedlich sein. Denn sonst ist die Funktion nicht injektiv.
Gucken wir uns z.B. [mm] $f(x)=x^2$ [/mm] an, dann sehen wir, dass zwar [mm] $2\not=-2$ [/mm] aber dafür $f(2)=f(-2)$. Damit ist die Funktion nicht injektiv.
Wenn ich das ganze jetzt mal umstellen würde zu
[mm] $\forall [/mm] x,y: x=y [mm] \Rightarrow [/mm] f(x)=f(y)$ sagt mir das ja eg. nur, dass wenn zwei Werte gleich sind, dass dann auch ihre Funktionswerte gleich sein müssen. Das sagt ja nichts über die Injektiviät einer Funktion aus, und ist somit nicht äquivalent zur Aussage von oben. Sehe ich das richtig? Ich würde diese Aussage eher als Aussage über eine Funktion nehmen, denn diese Aussage verbiete es mir ja, dass wenn x=y ist, dass dann die Funktionswerte unterschiedlich sind!
Ich würde aber behaupten, dass folgendes für die Injektivität auch richtig ist:
[mm] $\forall [/mm] x,y: f(x)=f(y) [mm] \Rightarrow [/mm] x=y$. Denn das sagt ja folgendes aus: Wenn die Funktoinswerte gleich sind, so müssen die x und y Werte auch gleich sein, vorrausgesetzt, es handelt sich um eine injektive Funtkion.
Ist das soweit korrekt?
LG
Kroni
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:22 Do 06.09.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
ja, korrekt, siehe mein anderees post.
Gruss leduart
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Hallo Kroni,
ergänzend eine Bemerkung:
Man darf eine Implikation [mm] $p\Rightarrow [/mm] q$ nicht "einfach umdrehen"
Schau's dir mal anhand einer Wahrheitswertetabelle an.
Es gilt aber folgende Äquivalenz:
[mm] $\left(p\Rightarrow q\right)\gdw\left(\neg q\Rightarrow\neg p\right)$
[/mm]
Mal dir wieder mal ne WWT auf
Das ist die sog. Kontraposition und liefert dir ja auch genau die beiden gleichwertigen Aussagen für Injektivität:
(1) [mm] $\forall x,y\in [/mm] D: [mm] x\ne y\Rightarrow f(x)\ne [/mm] f(y)$
[mm] \gdw
[/mm]
(2) [mm] $\forall x,y\in [/mm] D: [mm] f(x)=f(y)\Rightarrow [/mm] x=y$
Lieben Gruß
schachuzipus
PS: Wo haste denn deine "Studienzelte" aufgeschlagen?
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:45 Do 06.09.2007 | | Autor: | Kroni |
> Hallo Kroni,
>
> ergänzend eine Bemerkung:
>
> Man darf eine Implikation [mm]p\Rightarrow q[/mm] nicht "einfach
> umdrehen"
>
> Schau's dir mal anhand einer Wahrheitswertetabelle an.
>
> Es gilt aber folgende Äquivalenz:
>
> [mm]\left(p\Rightarrow q\right)\gdw\left(\neg q\Rightarrow\neg p\right)[/mm]
>
> Mal dir wieder mal ne WWT auf
Hi,
ja, werde ich gleich mal machen. Und so direkt habe ich die Sache ja auch nicht "umgedreht", habe ja nur auf beiden seiten "einfach" aus [mm] $\not=$ [/mm] ein = gemacht. Aber als ich das gepürft habe, fand ich das etwas merkwürdig, dass das nicht das Selbe ist.
>
> Das ist die sog. Kontraposition und liefert dir ja auch
> genau die beiden gleichwertigen Aussagen für Injektivität:
>
> (1) [mm]\forall x,y\in D: x\ne y\Rightarrow f(x)\ne f(y)[/mm]
>
> [mm]\gdw[/mm]
>
> (2) [mm]\forall x,y\in D: f(x)=f(y)\Rightarrow x=y[/mm]
Ja, das entspricht dann ja meiner Umformung, die ich ja in dem vergangenen Post schon gemacht habe.
>
>
>
> Lieben Gruß
>
> schachuzipus
>
> PS: Wo haste denn deine "Studienzelte" aufgeschlagen?
Wie meinst du das? Wo ich studiere? Oder was ich mache?
Achso, noch eine Frage:
Injektivität heißt also, dass es zu jedem Bild höchstens ein Urbild geben darf.
Würde ich behaupten, dass es zu jedem Bild genau ein Urbild gibt, dann würde ich ja gleichzeitig damit ausdrücken, dass hier eine bijektivität vorliegt oder?
Denn dass es genau ein Urbild zu jedem Bild gibt sagt ja aus, dass hier eine injektivität vorliegt, und es sagt gleichzeitig aus, dass es für jedes Urbild mindestens ein Bild gibt.
Somit ist es ja sowohl Injektiv als auch Surjektiv, stimmt das so?
Wäre dann auch die letzte Frage bezüglich dessen.
Achso. Meine Lösung sieht dann so aus:
[mm] $f(x)=\begin{cases} x/2, & \mbox{für } x \mbox{ gerade} \\ -x/2+0.5, & \mbox{für } x \mbox{ ungerade} \end{cases}$
[/mm]
Meine Umkehrfunktion sieht dann so aus:
[mm] $f(n)=\begin{cases}2x & \mbox{für } x\ge0 \\ 1-2x, & \mbox{für } x<0 \end{cases}$
[/mm]
Die 0 wird ja in diesem Fall auf sich selbst abgebildet, wenn ich annehme, dass die 0 gerade ist, da $0 [mm] \mod [/mm] 2 = 0$. Somit kann ich dann ja auch sagen, das 2x gilt für [mm] $x\ge [/mm] 0$.
Stimmt das so?
LG
Kroni
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:30 Fr 07.09.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo Kroni
> Injektivität heißt also, dass es zu jedem Bild höchstens
> ein Urbild geben darf.
>
> Würde ich behaupten, dass es zu jedem Bild genau ein Urbild
> gibt, dann würde ich ja gleichzeitig damit ausdrücken, dass
> hier eine bijektivität vorliegt oder?
hier drückst du dich ungenau aus.
Die Bildmenge ist i.A. eine Teilmenge eines Raums, ein Bild hat immer ein Urbild,
wenn f von X nach Y geht ist bei injektivität die menge der Bilder eine Teilmenge von Y. wenn du einfach Bild sagst ist das aus dieser Teilmenge.
jede injektive Abbildung ist natürlich surjektiv auf ihre Bildmenge.
Aber was du meinst ist natürlich richtig.
> Denn dass es genau ein Urbild zu jedem Bild gibt sagt ja
> aus, dass hier eine injektivität vorliegt, und es sagt
> gleichzeitig aus, dass es für jedes Urbild mindestens ein
> Bild gibt.
> Somit ist es ja sowohl Injektiv als auch Surjektiv, stimmt
> das so?
> Wäre dann auch die letzte Frage bezüglich dessen.
>
> Achso. Meine Lösung sieht dann so aus:
>
> [mm]f(x)=\begin{cases} x/2, & \mbox{für } x \mbox{ gerade} \\ -x/2+0.5, & \mbox{für } x \mbox{ ungerade} \end{cases}[/mm]
>
> Meine Umkehrfunktion sieht dann so aus:
>
> [mm]f(n)=\begin{cases}2x & \mbox{für } x\ge0 \\ 1-2x, & \mbox{für } x<0 \end{cases}[/mm]
>
> Die 0 wird ja in diesem Fall auf sich selbst abgebildet,
> wenn ich annehme, dass die 0 gerade ist, da [mm]0 \mod 2 = 0[/mm].
> Somit kann ich dann ja auch sagen, das 2x gilt für [mm]x\ge 0[/mm].
>
> Stimmt das so?
Ja
Gruss leduart
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:39 Fr 07.09.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
letzte Frage:
Wenn ich eine Menge sagen wir $M={1;2;3}$ habe, und diese auf die Menge $N={1;2;3;4}$ abbilde, und es gilt $f: [mm] M\toN$ [/mm] und
f(1)=1, f(2)=2, f(3)=3, dann ist zu dem Bild 1 das Urbild 1 usw. Ist also injektiv. Was ist dann mit der 4 aus der Menge N? Ist das dann ein Bild oder ist es kein Bild?
Eigentlich handelt es sich doch hier um kein Bild, da es zu der 4 kein Urbild gibt oder?
Naja, und da hier die Bedingung nicht erfüllt ist, dass es für jedes Element der Menge N mindestens ein Element der Menge m gibt, so dass f(m)=n gilt, ist diese Abbildung nicht surjektiv.
Meine Hauptfrage bezieht sich aber auf die 4, die zwar in der Zielmenge enthalten ist, aber im Pfeildiagramm keinen Pfeil bestitzt.
Ist es dann ein Bild oder keines?
LG
Kroni
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:49 Fr 07.09.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
4 ist kein Bild, also auch nicht Element der Bildmenge, nur Element der Zielmenge!
diese Abbildungen von endlichen Mengen sind aber langweilig, nimm lieber interessantere Mengen!
f(x)=sinx f von [mm] [0,2\pi]\inR [/mm] nach R, ist injektiv, nicht surjektiv. Bildmenge ist [-1,1] 1,7 etwa gehört nicht zur Bildmenge.
Gruss leduart
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:07 Fr 07.09.2007 | | Autor: | Kroni |
> Hallo
> 4 ist kein Bild, also auch nicht Element der Bildmenge,
> nur Element der Zielmenge!
> diese Abbildungen von endlichen Mengen sind aber
> langweilig, nimm lieber interessantere Mengen!
> f(x)=sinx f von [mm][0,2\pi]\inR[/mm] nach R, ist injektiv,
> nicht surjektiv. Bildmenge ist [-1,1] 1,7 etwa gehört
> nicht zur Bildmenge.
Hi,
die Funktion f(x)=sinx ist auch nicht injektiv!
f(0)=0, [mm] $f(\pi)=0$, [/mm] damit gilt nicht:
[mm] $\forall [/mm] x,y : f(x)=f(y) [mm] \Rightarrow [/mm] x=y$!
Damit ist die Funktion nicht injektiv. Oder sehe ich das falsch?
LG
Kroni
> Gruss leduart
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Hi Kroni,
gut erkannt!
Auf dem Intervall [mm] [0,2\pi] [/mm] ist der [mm] \sin [/mm] nicht injektiv
Aber man könnte ja ein bissl rumspielen und das Intervall der Def.menge
ändern,
zB [mm] f:[\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}]\to\IR, x\mapsto \sin(x)
[/mm]
Auf diesem Intervall ist der [mm] \sin [/mm] injektiv
Man kann ihn dort sogar bijektiv machen, indem man den Zielbereich einschränkt auf [-1,1]
Man kann eine Abbildung [mm] $f:A\to [/mm] B$ generell surjektiv prügeln, indem
man ihren Zielbereich auf die Bildmenge einschränkt, also
anstatt $f$ zB [mm] $\tilde{f}:A\to [/mm] f(A)$ betrachtet
LG
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:21 Fr 07.09.2007 | | Autor: | Kroni |
> Hi Kroni,
>
> gut erkannt!
Hi, yeah *rumhüpf* *gg* Schön, scheint so, als hätte ich diese Begrifflichkeiten jetzt drauf.
Die eine Sache von wegen: Surhjektiv dann ,wenn jedes Bild mindestens ein Urbild hat stimmt nicht, da ja die "nicht benutzten" Elemente der Zielmenge keine Bilder sind. Deshalb geht man da ja auch über die Definition "Jedes Element der Zielmenge"... Das ist jetzt auch klar =)
Schön, dass es dieses Forum gibt =)
>
> Auf dem Intervall [mm][0,2\pi][/mm] ist der [mm]\sin[/mm] nicht injektiv
>
> Aber man könnte ja ein bissl rumspielen und das Intervall
> der Def.menge
> ändern,
>
> zB [mm]f:[\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}]\to\IR, x\mapsto \sin(x)[/mm]
>
> Auf diesem Intervall ist der [mm]\sin[/mm] injektiv
>
> Man kann ihn dort sogar bijektiv machen, indem man den
> Zielbereich einschränkt auf [-1,1]
Ja. Das ist mir auch schon gestern aufgefallen. Ich hatte mal eine Funktion untersucht, die injektiv ist, aber nicht surjektiv, da die Bildmenge [mm] $]0;\infty[$ [/mm] war, und man auf [mm] $\IR$ [/mm] abbilden sollte. Hatte mir da auch schon gedacht, wenn ich das auf den Wertebereich abbilden soll, so wäre die Funktion auch surjektiv, also sogar bijektiv. Da kann man viel mit rumspielen*gg*
>
>
> Man kann eine Abbildung [mm]f:A\to B[/mm] generell surjektiv
> prügeln, indem
>
> man ihren Zielbereich auf die Bildmenge einschränkt, also
>
> anstatt [mm]f[/mm] zB [mm]\tilde{f}:A\to f(A)[/mm] betrachtet
Jip.
>
>
> LG
>
> schachuzipus
Lieben Gruß an euch alle, und ich freue mich, dass ich jetzt hier alle Fragen, die ich hatte, beantwortet bekommen habe =) Denn sonst hätte ich noch bis nächste Woche warten müssen, bis man wieder in der Übung sitzt, und so lange will ich nicht warten*g*
Kroni
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:10 Fr 07.09.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
>
> Achso. Meine Lösung sieht dann so aus:
>
> [mm]f(x)=\begin{cases} x/2, & \mbox{für } x \mbox{ gerade} \\ -x/2+0.5, & \mbox{für } x \mbox{ ungerade} \end{cases}[/mm]
>
> Meine Umkehrfunktion sieht dann so aus:
>
> [mm]f(n)=\begin{cases}2x & \mbox{für } x\ge0 \\ 1-2x, & \mbox{für } x<0 \end{cases}[/mm]
>
> Die 0 wird ja in diesem Fall auf sich selbst abgebildet,
> wenn ich annehme, dass die 0 gerade ist, da [mm]0 \mod 2 = 0[/mm].
> Somit kann ich dann ja auch sagen, das 2x gilt für [mm]x\ge 0[/mm].
>
> Stimmt das so?
Noch ein Zusatz von mir:
Wenn ich zu den Natürlichen Zahlen die 0 ausschließe, dann stimmt das so. Weil f(1)=-0.5+0.5=0
Wenn ich aber die 0 mit zu den Nat. Zahlen zähle, dann hätte ich keine injektive Funktion, da:
f(0)=0 und f(1)=0.
Dann müsste ich bei den ungeraden Zahlen folgendes abändern:
f(x)=-x/2-0.5 Denn so wird f(1)=-0.5-0.5=-1 und f(3)=-1.5-0.5=-2 usw.
LG
Kroni
>
> LG
>
> Kroni
>
>
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:20 Do 06.09.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo Kroni
1.Man kann bei der Def. von Funktionen das Def.Gebiet in beliebig viele Teile teilen und dort jeweils f definieren, also sicher Z in x<0 und [mm] x\ge [/mm] 0
2. injektiv ist besser definiert mit
Wenn f(x)=f(y) folgt x=y nicht umgekehrt
oder zu jedem [mm] x\in [/mm] X gibt es HÖCHSTENS ein [mm] y\in [/mm] Y (es kann auch keins geben)
mit deiner Formulierung hast du Schwierigkeiten für die x für die es kein y gibt!
Gruss leduart
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