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Forum "Lineare Algebra - Eigenwerte" - Abbildung
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Abbildung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:49 So 18.01.2009
Autor: ToxicLizard87

Aufgabe
Sei K ein Körper und n [mm] \ge [/mm] 2. Gegeben sei die Abbildung
[mm] \theta [/mm] : [mm] K^{n x n} \to K^{n x n} [/mm]
      A [mm] \mapsto A^{T} [/mm]

Zeigen Sie, dass +1 und -1 die einzigen Eigenwerte von [mm] \theta [/mm] sind und beschreiben Sie die Eigenvektoren zu den einzelnen Eigenwerten.


Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Hallo,

ich weiß bei dieser Aufgabe überhaupt nicht, wo ich anfangen soll. Für Tipps wäre ich sehr dankbar.

Danke im Voraus.

        
Bezug
Abbildung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:53 So 18.01.2009
Autor: pelzig

Nun, sei [mm] $A=(a_{ij})$ [/mm] eine [mm] $n\times [/mm] n$ Matrix. Gesucht sind die nicht-trivialen (d.h. von der Nullmatrix verschiedenen) Lösungen der Gleichung [mm] $\theta(A)=\lambda(A)$. [/mm] Welche Werte kommen für [mm] $\lambda$ [/mm] in Frage? Also angenommen die obige Gleichung ist für ein [mm] $A=(a_{ij})$ [/mm] erfüllt, dann gilt für alle $i,j$ also [mm] $a_{ji}=\lambda a_{ij}$ [/mm] und mit dem selben Argument [mm] $a_{ij}=\lambda a_{ji}$, [/mm] also insgesamt [mm] $a_{ji}=\lambda^2a_{ij}$ [/mm] für alle $i,j$, d.h. entweder sind alle [mm] $a_{ij}$ [/mm] gleich 0, oder [mm] $\lambda^2=1$ [/mm] - damit ist [mm] $\lambda=\pm [/mm] 1$ gezeigt. Wie sehen nun die zugehörigen Lösungen aus?

Gruß, Robert

Bezug
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