Abbildung(Monoid,Halbgruppe) < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:06 So 10.03.2013 | | Autor: | nero08 |
hallo!
Sei x eine nichtleere Menge. Welche der folgenden Mengen bilder mit der Verknüpfung von Funktionen als Operation eine Halbgruppe bzw. Monoid?
a) Y = {f: X [mm] \to [/mm] X| f injektiv}
b) M = {f: X [mm] \to [/mm] X| f nicht injektiv}
a)
Hier ist es mir gelungen zu zeigen, dass die Menge leer ist.
Dass die Verknüpfung abgeschlossen ist.
Dass die Assoziativität gilt.
Einzig beim beweis, dass es sich um ein Monoid handelt bin ich mir nicht sciher:
e [mm] \in [/mm] Y [mm] \forall [/mm] g [mm] \in [/mm] Y e [mm] \circ [/mm] g = g = g [mm] \circ [/mm] e
e=e(x)=x, weil e(g(x)) = g(x) = g(e(x))
e(x) injektiv
!
e(x) = e(y) [mm] \Rightarrow [/mm] x=y
x=e(x)=e(y)=y
Es folgt, dass es sich ber der Abbildung um ein Monoid und um eine Halbgruppe handelt.
b)
Die assozativität stellet wiederum kein Problem dar. aber wie zeige, dass die Menge nicht(?) abgeschlossen ist. Und wie gehe ich dann bein monoid weiter vor?
danke und lg
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Hallo,
> Sei x eine nichtleere Menge. Welche der folgenden Mengen
> bilder mit der Verknüpfung von Funktionen als Operation
> eine Halbgruppe bzw. Monoid?
>
> a) Y = {f: X [mm] \to [/mm] X| f injektiv}
> b) M = {f: X [mm] \to [/mm] X| f nicht injektiv}
> a)
>
> Hier ist es mir gelungen zu zeigen, dass die Menge leer
> ist.
Du meinst sicher "NICHT leer".
> Dass die Verknüpfung abgeschlossen ist.
> Dass die Assoziativität gilt.
> Einzig beim beweis, dass es sich um ein Monoid handelt bin
> ich mir nicht sciher:
Z.Z.:
> e [mm]\in[/mm] Y [mm]\forall[/mm] g [mm]\in[/mm] Y e [mm]\circ[/mm] g = g = g [mm]\circ[/mm] e
Beweis:
> e=e(x)=x, weil e(g(x)) = g(x) = g(e(x))
> e(x) injektiv
Z.Z.:
> e(x) = e(y) [mm]\Rightarrow[/mm] x=y
Beweis:
> x=e(x)=e(y)=y
> Es folgt, dass es sich ber der Abbildung um ein Monoid und
> um eine Halbgruppe handelt.
Es ist alles richtig.
Du solltest nur genauer hinschreiben, was du gerade zu zeigen hast und was der Beweis ist (siehe obige Anmerkungen von mir).
> b)
>
> Die assozativität stellet wiederum kein Problem dar. aber
> wie zeige, dass die Menge nicht(?) abgeschlossen ist. Und
> wie gehe ich dann bein monoid weiter vor?
M ist abgeschlossen bzgl. der Verknüpfung.
Seien $f,g$ zwei nicht injektive Funktionen.
Dann ist g nicht injektiv, also gibt es [mm] $x\not= [/mm] y$ mit $g(x) = g(y)$. Was folgt für $f [mm] \circ [/mm] g$ ?
Damit es ein Monoid wäre, müsste es ein neutrales Element [mm] $e\in [/mm] M$ geben (also eine nicht-injektive Funktion $e(x)$ mit [mm] $\forall [/mm] g [mm] \in [/mm] M: g(e(x)) = g(x) = e(g(x))$ ).
So ein Element wird es nicht geben. Du könntest einen Widerspruchsbeweis führen (angenommen, es gäbe e...) und herleiten, dass e dann injektiv sein müsste.
Viele Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:15 Mo 11.03.2013 | | Autor: | nero08 |
f,g nicht injektiv, denn es [mm] \exists [/mm] x1, x2 [mm] \in [/mm] M mit x1 [mm] \not= [/mm] x2 und g(x1)=(gx2)
Also f(g(x1))=f(g(x2)), also f [mm] \circ [/mm] g nicht injektiv.
Dazu fällt mir leider kein Wiederspruchsbeweis ein. Vorschlag? :) anderweitig hat jemand gemeint und dies verwirrt mich etwas dass es sich im Falle von nicht surjektivität um ein Monoid handelt. Dies dürfte dort dann doch auch nicht sein?
lg
lg
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Hallo,
> f,g nicht injektiv, denn es [mm]\exists[/mm] x1, x2 [mm]\in[/mm] M mit x1
> [mm]\not=[/mm] x2 und g(x1)=(gx2)
>
> Also f(g(x1))=f(g(x2)), also f [mm]\circ[/mm] g nicht injektiv.
Das ist richtig (außer dass die [mm] $x_1, x_2 [/mm] $ aus X kommen, nicht aus M).
> Dazu fällt mir leider kein Wiederspruchsbeweis ein.
> Vorschlag? :)
Nehmen wir mal ein triviales Beispiel.
[mm]X = \{1,2\}[/mm].
Hier sind die nicht injektiven Abbildungen:
f = 1, g = 2.
Offensichtlich hat keine der beiden Abbildungen die Eigenschaft
[mm] $f\circ [/mm] g = 1 [mm] \not= [/mm] 2 = g [mm] \circ [/mm] f$ hat keine der beiden Abbildungen die Eigenschaft, die Identität zu sein.
Daher kann diese Eigenschaft nicht für beliebige Mengen $X$ gelten.
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Allgemeiner Widerspruchs-Beweis:
Sei e(x) eine nicht-injektive Abbildung mit [mm] $\forall [/mm] f [mm] \in [/mm] M:$ $f [mm] \circ [/mm] e = f = e [mm] \circ [/mm] f$.
Du musst nun diese Eigenschaft ausnutzen.
Nimm doch mal konstante Funktionen f, also wähle festes [mm] $x_0 \in [/mm] X$ und dann f [mm] \equiv x_0. [/mm] Dann gilt
$f = e [mm] \circ [/mm] f$, also [mm] $x_0 [/mm] = [mm] e(x_0)$.
[/mm]
Was kannst du daraus folgern?
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> anderweitig hat jemand gemeint und dies
> verwirrt mich etwas dass es sich im Falle von nicht
> surjektivität um ein Monoid handelt. Dies dürfte dort
> dann doch auch nicht sein?
Falls du ![[]](/images/popup.gif) das hier meinst, so sehe ich nicht, warum die Identische Abbildung ID in deiner Menge enthalten sein sollte - schließlich ist die ID injektiv und surjektiv.
Viele Grüße,
Stefan
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