Abbildung Surjektiv? Injektiv? < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Überprüfen Sie, ob die lineare Abbildung
[mm] L_{3}: \IR^{2,2} \to \IR^{3,1} [/mm] , [mm] \pmat{ a & b \\ c & d } \mapsto \pmat{ a \\ c \\ b}
[/mm]
injektiv/surjektiv/bijektiv ist. |
Vermutlich denk ich in die falsche Richtung, oder einfach zu kompliziert, aber ich komme hier nicht weiter...
L ist injektiv, wenn [mm] ker(L)={\vec{0}}.
[/mm]
L ist surjektiv wenn [mm] Bild(L)=\pmat{ a \\ c \\ b}.
[/mm]
Also muss ich jetzt Bild und Kern bestimmen. Allerdings scheiter ich schon daran, dass ich mir nicht vorstellen kann welche Matrix Ax=0 abbilden kann.
D.h. wie bestimme ich hier den Kern? Wie das Bild?
Ein Step-by-Step (ohne Rechenschritte natürlich) zum Merken wäre schön.
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Hallo!
Injektivität:
Die Idee den Kern dieser Abbildung zu bestimmen ist schon sehr gut.
Überleg mal welche 2*2-Matrizen auf den Nullvektor abgebildet werden.
Wie müssen a, b, c, d gewählt werden, damit [mm] \pmat{ a \\ c \\ b}
[/mm]
zu [mm] \pmat{ 0 \\ 0 \\ 0} [/mm] wird?
Beachte, dass d in [mm] \pmat{ a \\ c \\ b} [/mm] nicht mehr auftaucht.
Surjektivität:
Wenn ich dir einen Vektor [mm] \pmat{ a \\ c \\ b} [/mm] gebe, kannst du mir eine 2*2-Matrix nennen, die von [mm] L_3 [/mm] auf diesen Vektor abgebildet wird?
Wie müssen [mm] \alpha, \beta, \gamma, \delta [/mm] in
[mm] \pmat{ \alpha & \beta \\ \gamma & \delta }
[/mm]
gewählt werden, damit [mm] L_3(\pmat{ \alpha & \beta \\ \gamma & \delta }) [/mm] = [mm] \pmat{ a \\ c \\ b} [/mm] gilt?
Bijektivität:
Injektiv und surjektiv?
>Allerdings scheiter ich schon daran, dass ich mir nicht vorstellen kann
>welche Matrix Ax=0 abbilden kann.
In diesem Fall würde ich gar nicht erst die darstellende Matrix dieser
Abbildung aufstellen, sondern versuchen die Aufgabe direkt (wie oben beschrieben) zu lösen.
Ein Patentrezept zum Prüfen der Injektivität liefert dir übrigens der Gauss-Algorithmus.
Dazu brauchst du dann aber doch ersteinmal die darstellende Matrix deiner linearen Abbildung.
MfG,
Benjamin
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Kern: Den Kern kann ich dadurch bestimmen, das ich sagen kann, dass a,b,c=0 sein müssen und d beliebig. D.h. [mm] \pmat{ 0 & 0 \\ 0 & x } x\in\IR.
[/mm]
Damit ist der Kern(L) > 0 (unendlich oder 1 durch Skalierbarkeit?) und daher nicht injektiv. (und auch nicht bijektiv.)
Für das Bild müsste dann analog [mm] \pmat{ 1 & 1 \\ 1 & x } x\in\IR [/mm] gelten.
Daher surjektiv?
So richtig?
Man kann doch auch irgendwie mit NZSF die Dimension bestimmen, wie mache ich das? Dann könnte ich auch Bildraum und Bild bestimmen und vergleichen oder?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:11 So 06.06.2010 | | Autor: | algieba |
Hi
> Kern: Den Kern kann ich dadurch bestimmen, das ich sagen
> kann, dass a,b,c=0 sein müssen und d beliebig. D.h. [mm]\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & x } x\in\IR.[/mm]
Das ist richtig
>
> Damit ist der Kern(L) > 0 (unendlich oder 1 durch
> Skalierbarkeit?) und daher nicht injektiv. (und auch nicht
> bijektiv.)
Du kannst hier nicht schreiben, dass der Kern > 0 sein soll. Die Definition ker(L) = [mm] \vec{0} [/mm] bedeutet, dass der Kern das Nullelement der Ursprungsmenge sein muss. Das Nullelement von der Ursprungsmenge ist [mm] \pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 0}, [/mm] aber im Kern sind, wie du richtig gesagt hast, noch mehr Matrizen, nämlich gerade die die eine beliebige Zahl im rechten unteren Eck haben. Deine Schreibweise ist aber falsch.
>
> Für das Bild müsste dann analog [mm]\pmat{ 1 & 1 \\ 1 & x } x\in\IR[/mm]
> gelten.
> Daher surjektiv?
Deine Begründung ist falsch. Das musst du dir anders überlegen. Die Vorgehensweise ist so:
Nimm ein beliebiges Element [mm]x \in \IR^{3,1}[/mm]. Jetzt überlegst du dir, ob es für dieses (beliebige) Element ein Urbild in [mm] \IR^{2,2} [/mm] gibt. Wenn es eines gibt dann ist die Abbildung surjektiv, da du ja für jedes Element ein Urbild gefunden hast (da x beliebig war). Schau dir dazu auch noch mal den Beitrag von Benjamin_hat_keinen_Nickname an, das ist ungefähr der gleiche Weg.
Viele Grüße
algieba
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Zum Kern: Den habe ich ja definiert als [mm] \pmat{ 0 & 0 \\ 0 & x } x\in\IR. [/mm] Hier kann ich aber auch mit den Freiheitsgraden argumentieren. x sei beliebig heisst, der Freiheitsgrad ist 1 und daher auch die Dimension des Kerns. Da injektivität nur bei ker(L)=0 gegeben, ist L nicht injektiv (und daher auch nicht mehr bijektiv).
So müsste das aber stichfest sein, oder? Zumindest hatten wir Freiheitsgrad im Tutorium angesprochen.
Zum Bild. Sei [mm] \vektor{a \\ c \\ b} [/mm] beliebig. So müsste [mm] \pmat{ \alpha & \beta \\ \gamma & \delta } [/mm] so gewählt werden, dass
[mm] \alpha=1\cdot [/mm] a; [mm] \beta= 1\cdot [/mm] b; [mm] \gamma=1\cdot [/mm] c; [mm] \delta=x, x\in\IR. [/mm] Dies ist in Matrixschreibweise [mm] \pmat{ 1 & 1 \\ 1 & x } x\in\IR.
[/mm]
Das heisst es gibt zu jedem beliebigen Vektor [mm] \vektor{a \\ c \\ b} [/mm] im Bild, ein Urbild für das [mm] \pmat{ \alpha & \beta \\ \gamma & \delta } [/mm] gilt.
D.h. [mm] L_{3} [/mm] ist surjektiv.
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Hallo Beowulf1980,
> Zum Kern: Den habe ich ja definiert
naja, eher errechnet
> als [mm]\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & x } x\in\IR.[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Hier kann ich aber auch mit den Freiheitsgraden
> argumentieren. x sei beliebig heisst, der Freiheitsgrad ist
> 1 und daher auch die Dimension des Kerns. Da injektivität
> nur bei ker(L)=0 gegeben, ist L nicht injektiv (und daher
> auch nicht mehr bijektiv).
> So müsste das aber stichfest sein, oder? Zumindest hatten
> wir Freiheitsgrad im Tutorium angesprochen.
Jo, geht so.
Bedenke, dass der Matrizenraum [mm] $Mat(n\times m,\IR)$ [/mm] isomorph ist zum [mm] $\IR^{n\cdot{}m}$
[/mm]
Du hast hier also eine Abbildung von [mm] $\IR^4\to\IR^3$
[/mm]
Dazu kannst du auch die Darstellungsmatrix bzgl. der Standardbasen aufstellen und daran argumentieren ...
>
> Zum Bild. Sei [mm]\vektor{a \\ c \\ b}[/mm] beliebig.
Nein, nimm [mm] $\vektor{x\\y\\z}$ [/mm] beliebig her ...
> So müsste [mm]\pmat{ \alpha & \beta \\ \gamma & \delta }[/mm] so gewählt
> werden, dass
> [mm]\alpha=1\cdot[/mm] a; [mm]\beta= 1\cdot[/mm] b; [mm]\gamma=1\cdot[/mm] c;
> [mm]\delta=x, x\in\IR.[/mm] Dies ist in Matrixschreibweise [mm]\pmat{ 1 & 1 \\ 1 & x } x\in\IR.[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Worauf wird denn [mm] $\pmat{1&1\\1&x}$ [/mm] abgebildet?
Doch auf [mm] $\vektor{1\\1\\1}$
[/mm]
Und das ist [mm] $\neq\vektor{a\\c\\b}$
[/mm]
Zu [mm] $\vektor{x\\y\\z}$ [/mm] beliebig wähle [mm] $\pmat{x&z\\y&r}$ [/mm] mit [mm] $r\in\IR$ [/mm] beliebig.
Dann wird [mm] $\pmat{x&z\\y&r}$ [/mm] abgebildet auf [mm] $\vektor{x\\y\\z}$
[/mm]
Das Urbild zu einem bel. Vektor [mm] $\vektor{x\\y\\z}$ [/mm] existiert also, ist aber nicht eindeutig
>
> Das heisst es gibt zu jedem beliebigen Vektor [mm]\vektor{a \\ c \\ b}[/mm]
> im Bild, ein Urbild für das [mm]\pmat{ \alpha & \beta \\ \gamma & \delta }[/mm]
> gilt.
Das ist mal ein Satz ...
Bitte übersetze mal in eine allg. verständliche Sprache!
> D.h. [mm]L_{3}[/mm] ist surjektiv.
Das stimmt im Ergebnis, der Weg dahin ist haarsträubend.
Ich persönlich rechne sowas immer gerne mit den Darstellungsmatrizen ...
Daran sieht mal das sofort ...
Du kannst die ja mal aufstellen (bzgl. der Standardbasen des [mm] $\IR^4$ [/mm] bzw. [mm] $\IR^3$)
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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