Abbildung des Einheitskreises < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Auf welches Gebiet in der komplexen Zahlenebene wird der Einheitskreis mittel [mm] $z\rightarrow [/mm] z+ [mm] \frac{1}{z}$ [/mm] abgebildet? |
Der Einheitskreis ist gegeben durch $|z|=1$. Dann gilt aber auch [mm] $\frac{1}{z}=\frac{a-ib}{a^{2}+b^{2}}=\overline{z}$ [/mm] (am Einheitskreis). Das heißt dann [mm] $|z+\overline{z}|=1$. [/mm] Und das ist dann der Betrag von der Hälfte des Realteils, also [mm] $\frac{1}{2}Re(z)$. [/mm] Wenn nach dem Gebiet gefragt ist, dann muss ich jetzt nur noch herausfinden, wie $|Re(z)|=2$ aussieht, richtig?
Danke im Voraus!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:56 Sa 28.04.2012 | | Autor: | MaxPlanck |
Oder wende ich die Dreiecksungleichung an, sodass
[mm] \[|z+1/z|\le |z|+|1/z|\]
[/mm]
Der erste Term ist 1, nicht? Und der zweite ist die konjugiert komplexe Zahl.Irgendwas stimmt aber nicht.
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Hallo,
> Auf welches Gebiet in der komplexen Zahlenebene wird der
> Einheitskreis mittel [mm]z\rightarrow z+ \frac{1}{z}[/mm]
> abgebildet?
> Der Einheitskreis ist gegeben durch [mm]|z|=1[/mm]. Dann gilt aber
> auch [mm]\frac{1}{z}=\frac{a-ib}{a^{2}+b^{2}}=\overline{z}[/mm] (am
> Einheitskreis).
Bis dahin ist alles richtig.
> Das heißt dann [mm]|z+\overline{z}|=1[/mm]. Und das
> ist dann der Betrag von der Hälfte des Realteils, also
> [mm]\frac{1}{2}Re(z)[/mm]. Wenn nach dem Gebiet gefragt ist, dann
> muss ich jetzt nur noch herausfinden, wie [mm]|Re(z)|=2[/mm]
> aussieht, richtig?
>
> Danke im Voraus!
Da komme ich nicht mehr ganz mit. Mache dir doch das ganze mal an einer Skizze klar. Es muss nämlich tatsächlich
[mm] Re\left(z+\bruch{1}{z}\right)\le{2}
[/mm]
gelten, also mit der 2 hat es schon etwas auf sich.
Du musst jetzt aber auch noch herausfinden, was mit dem Imaginärteil ist. Bzw. du hast es eigentlich schon herausgefunden, aber du musst es noch explizit hinschreiben...
Gruß, Diophant
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Ja klar, ich wende die Dreiecksungleichung an sodass
[mm] \[|z+\overline{z}|\le |z|+|\overline{z}|=2\]
[/mm]
Graphisch bedeutet das, dass der Einheitskreis bei dieser Variablentransformation also auf die reelle Achse im Intervall $[0,2 Re(z)]$ agebildet wird. Oder habe ich einen Fehler gemacht?
Imaginärteil=0?
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Hallo,
ich habe gestern vormittag auch einen Denkfehler begangen: die Abbildung bildet jede Zahl auf die reelle Achse ab. Die Einheitskreisscheibe wird dabei auf das Intervall [-2;2] abgebildet, und natürlich gilt hier stets
[mm] Im\left(z+\bruch{1}{z}\right)=0
[/mm]
Gruß, Diophant
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