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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:24 Di 28.04.2009 | | Autor: | D-C |
| Aufgabe | Für zwei Mengen A und B bezeichnet M(A,B) die Menge aller Abbildungen von A nach B.
Sei f: X->Y eine Abbildung. Zeigen Sie:
Falls f injektiv ist, so ist für jede Menge Z die Abbildung
M(Z,X) -> M(Z,Y) , s -> f [mm] \circ [/mm] s injektiv. |
Hallo,
ich habe irgendwie etwas Probleme mit dieser Aufgabe. Wenn ich es richtig sehe, hat man ja drei Mengen X,Y,Z !? Gehen die Abbildungen dann einmal von s: Z->Y , sowie einmal f: Z->X ? Aber was ist dann f [mm] \circ [/mm] s ? Die Abbildung von X nach Y ?
Bisher kannte ich diese Aufgaben nur, wenn die Abbildungen in "eine" Richtung gingen, also z.B. von f: X->Y und dann von s: Y->Z , da hab ich den Beweis für s [mm] \circ [/mm] f auch hinbekommen, aber wie geht man hier vor, oder habe ich die Aufgabe einfach nur falsch verstanden?
Gruß
D-C
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:36 Di 28.04.2009 | | Autor: | djmatey |
> Für zwei Mengen A und B bezeichnet M(A,B) die Menge aller
> Abbildungen von A nach B.
>
> Sei f: X->Y eine Abbildung. Zeigen Sie:
>
> Falls f injektiv ist, so ist für jede Menge Z die
> Abbildung
>
> M(Z,X) -> M(Z,Y) , s -> f [mm]\circ[/mm] s injektiv.
> Hallo,
>
> ich habe irgendwie etwas Probleme mit dieser Aufgabe. Wenn
> ich es richtig sehe, hat man ja drei Mengen X,Y,Z !?
Richtig.
> Gehen
> die Abbildungen dann einmal von s: Z->Y , sowie einmal f:
> Z->X ? Aber was ist dann f [mm]\circ[/mm] s ? Die Abbildung von X
> nach Y ?
Nein, es gilt
f: X [mm] \to [/mm] Y
s: Z [mm] \to [/mm] X
f [mm] \circ [/mm] s: Z [mm] \to [/mm] Y
Du betrachtest eine Abbildung (nennen wir sie g), die eine zweite Abbildung (s) auf eine dritte abbildet (f [mm] \circ [/mm] s), d.h.
g(s) = f [mm] \circ [/mm] s
>
> Bisher kannte ich diese Aufgaben nur, wenn die Abbildungen
> in "eine" Richtung gingen, also z.B. von f: X->Y und dann
> von s: Y->Z , da hab ich den Beweis für s [mm]\circ[/mm] f auch
> hinbekommen, aber wie geht man hier vor, oder habe ich die
> Aufgabe einfach nur falsch verstanden?
Du musst zeigen, dass g für beliebiges Z injektiv ist. Gib Z beliebig vor, mach dir klar, von wo nach wo die einzelnen Abbildungen gehen und benutze die Injektivität von f.
>
> Gruß
>
> D-C
LG djmatey
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:09 Di 28.04.2009 | | Autor: | D-C |
Hallo,
ich hab mir das erstmal zur Veranschaulichung aufgemalt. Nun hab ich mal beispielhaft die Mengen mit Elementen versehen. f soll ja injektiv sein, also dürften in X ja nicht mehr Elemente sein, als in Y, da ja sonst 2 Elemente auf eins "geschickt" werden.
Aber was passiert, wenn ich in Z z.b. zwei Elemente habe und in Y nur eins, dann wäre f [mm] \circ [/mm] s doch auch nicht mehr injektiv, oder? Das wäre dann doch schonmal ein Gegenbeispiel dafür, dass die Abbildung in bestimmten Fällen nicht injektiv sein kann !?
Gruß
D-C
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> Hallo,
>
> ich hab mir das erstmal zur Veranschaulichung aufgemalt.
> Nun hab ich mal beispielhaft die Mengen mit Elementen
> versehen. f soll ja injektiv sein, also dürften in X ja
> nicht mehr Elemente sein, als in Y, da ja sonst 2 Elemente
> auf eins "geschickt" werden.
> Aber was passiert, wenn ich in Z z.b. zwei Elemente habe
> und in Y nur eins, dann wäre f [mm]\circ[/mm] s doch auch nicht mehr
> injektiv, oder? Das wäre dann doch schonmal ein
> Gegenbeispiel dafür, dass die Abbildung in bestimmten
> Fällen nicht injektiv sein kann !?
Hallo,
es geht nicht darum, ob die Abbildung f [mm] \circ [/mm] s in jedem Falle injektiv ist - sie ist es nicht.
Es geht darum, daß die Abbildung
[mm] A_f:M(Z,X) [/mm] -> M(Z,Y)
mit
[mm] A_f(s):=f \circ [/mm] s
injektiv ist für jedes Z,
daß also aus [mm] A_f(s_1)=A_f(s_2) [/mm] immer folgt: [mm] s_1=s_2.
[/mm]
Gruß v. Angela
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