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Hallo,
ich sitze schon den ganzen Tag an zwei Aufgaben, die ich irgendwie nicht raus bekomme (Ich glaube sie sind recht einfach, sorry):
1. Gegeben sei eine Abbildung f: C --> C (wobei C für die komplexen Zahlen steht), def. mit f(z) = z^. z^ist die konjugiert komplexe Zahl zu z.
Ich soll die Injektivität dieser Abbildung zeigen.
Ich beginne so: Sei z,z' [mm] \in [/mm] C und f(z) = f(z'). Folgen muss, dass z = z'.
f(z) = f(z')
z^= z'^
(a+ib)^=(a'+ib')^ /+ das additive Inverse
0= (a'+ib')^+(-a-ib)^
0= ((a'+ib')+(-a-ib))^
0=((a'-a)+(b'-b)i)^
0=(a'-a)-(b'-b)i /nach Auflösung der Konjugation
0=a'-a-ib'+bi
0=(a'-ib')-(a-bi)
--> ja und da kommt dann nicht z=z' raus. Mach ich irgendwas falsch oder habe ich den falschen Ansatz?
2. Aufgabe
Sei p eine Primzahl. Bestimmen Sie die Anzahl der Elemente in [mm] (Z/pZ)^{x} [/mm] (also die Einheitengruppe) und in [mm] (Z/p^{2}Z).
[/mm]
Allgemein gilt ja, dass die Elemente in [mm] (Z/pZ)^{x} [/mm] für die das ggt = 1. Da p eine Primzahl ist, sind in [mm] (Z/pZ)^{x} [/mm] p-1 Elemente (da p nur durch 1 oder sich selbst teilbar. Da p aber nicht [mm] \in [/mm] Z/pZ ist für alle Elemente das ggt = 1 (bis auf die Null), deshalb p-1. Elemente in [mm] (Z/p^{2}Z)^{x} [/mm] sind p-2 Elemente [mm] \in [/mm] der Einheitsgruppe, da [mm] p^{2} [/mm] ja auch durch p teilbar.
Meine erste Frage ist, ob diese Überlegungen richtig sind und die zweite wäre, wie ich das mathematisch beweise oder herleite. Oder kann ich das in Worten aufschrieben. Ich finde irgendwie keinen Startpunkt.
Danke für die Hilfe
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Hallo steffenhst,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> ich sitze schon den ganzen Tag an zwei Aufgaben, die ich
> irgendwie nicht raus bekomme (Ich glaube sie sind recht
> einfach, sorry):
>
> 1. Gegeben sei eine Abbildung f: C --> C (wobei C für die
> komplexen Zahlen steht), def. mit f(z) = z^. z^ist die
> konjugiert komplexe Zahl zu z.
>
> Ich soll die Injektivität dieser Abbildung zeigen.
>
> Ich beginne so: Sei z,z' [mm]\in[/mm] C und f(z) = f(z'). Folgen
> muss, dass z = z'.
>
> f(z) = f(z')
> z^= z'^
> (a+ib)^=(a'+ib')^ /+ das additive
> Inverse
> 0= (a'+ib')^+(-a-ib)^
> 0= ((a'+ib')+(-a-ib))^
> 0=((a'-a)+(b'-b)i)^
> 0=(a'-a)-(b'-b)i /nach Auflösung der
> Konjugation
> 0=a'-a-ib'+bi
> 0=(a'-ib')-(a-bi)
>
> --> ja und da kommt dann nicht z=z' raus. Mach ich
> irgendwas falsch oder habe ich den falschen Ansatz?
>
Nein, das ist alles richtig. Damit die Gleichung erfüllt wird, müssen, da a,a',b,b' [mm]\in\;\IR[/mm], Realteil und Imaginärteil verschwinden und hieraus folgt a=a', b=b', was z = z' impliziert.
Gruß
MathePower
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Hallo,
danke für die schnelle Antwort. Darauf wäre ich nicht gekommen. (Das bekannte Brett vor dem Kopf). Hast du einen Vorschlag wegen der zweiten Aufgabe. Da finde ich tatsächlich keinen Anfang bzw. weiß nicht weiter.
Allgemein gilt ja für das ggt:
ggt(a,b)
b=a*q+r, da r = 1 (da p eine primzahl) folgt
b-1=a*q.
Aber das ist an sich ja keine Herleitung, denn aus b-1/q=a kann man ja nicht schließen, dass p-1 die Anzahl der Elemente ist.
Grüße Steffen
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:39 Do 27.10.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Wenn du (wie du ja selber sagst) schon weißt (d.h. bewiesen hast, dass [mm] $\overline{a} \in \IZ/m\IZ$ [/mm] genau dann eine Einheit ist, wenn $ggT(a,m)=1$ ist), dann musst du doch wirklich nur noch zählen, und es genügt eine solche Lösung:
[mm] $|(\IZ/p\IZ)^{\times}| [/mm] = [mm] |\{\overline{x} \in \IZ/p\IZ \, : \, ggT(x,p)=1\}| [/mm] = [mm] |\IZ/p\IZ \setminus \{0\}| [/mm] = p-1$
und
[mm] $|(\IZ/p^2\IZ)^{\times}| [/mm] = [mm] |\{\overline{x} \in \IZ/p^2\IZ \, : \, ggT(x,p^2)=1\}| [/mm] = [mm] |\IZ/p^2\IZ \setminus \{0,p\}| [/mm] = [mm] p^2-2$.
[/mm]
Liebe Grüße
Stefan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:35 Do 27.10.2005 | | Autor: | steffenhst |
Danke für den Tip,
ich werde es so machen und dann mal abwarten was der Professoer sagt. Hihi, ich gebe dir dann eine Rückmeldung.
Grüße aus Leipzig
Steffen
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