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| Aufgabe | Für eine Menge M und eine Teilmenge A [mm] \subset [/mm] M de finieren wir das Komplement von A in M durch
M\ A := {x [mm] \in [/mm] M | x [mm] \not\in [/mm] A}.
Für eine Abbildung f : M1 [mm] \rightarrow [/mm] M2 zweier Mengen und für eine Teilmenge A [mm] \supset [/mm] M2 de finieren wir außerdem das Urbild von A unter f durch
f^-1(A) := {x [mm] \in [/mm] M1 | f(x) [mm] \in [/mm] A}.
(a) Betrachten Sie die Abbildung f : [mm] \IZ \rightarrow \IZ, [/mm] x [mm] \rightarrow [/mm] 2 · x. Berechnen Sie die Menge [mm] \IZ [/mm] \ f^−1 [mm] (\IN).
[/mm]
(b) Zeigen Sie, dass für alle Abbildungen f : M1 [mm] \rightarrow [/mm] M2 und für alle
Teilmengen A [mm] \subset [/mm] M2 immer gilt:
f^−1 (M2\ A) = M1\ f^−1 (A).
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt. |
Kann mir jemand helfen wie ich bei a) die Menge berechne? Ich bin neu in Mathe und habe leider nicht verstanden,wie soetwas gelöst wird.
Außerdem weiß ich nicht,wie ich bei b) den Beweis durchführe.
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> Für eine Menge M und eine Teilmenge A [mm]\subset[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
M de finieren
> wir das Komplement von A in M durch
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> M\ A := {x [mm]\in[/mm] M | x [mm]\not\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
A}.
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> Für eine Abbildung f : M1 [mm]\rightarrow[/mm] M2 zweier Mengen und
> für eine Teilmenge A [mm]\supset[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
M2 de finieren wir außerdem
> das Urbild von A unter f durch
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> f^-1(A) := {x [mm]\in[/mm] M1 | f(x) [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
A}.
>
> (a) Betrachten Sie die Abbildung f : [mm]\IZ \rightarrow \IZ,[/mm] x
> [mm]\rightarrow[/mm] 2 · x. Berechnen Sie die Menge [mm]\IZ[/mm] \
> f^−1 [mm](\IN).[/mm]
>
> (b) Zeigen Sie, dass für alle Abbildungen f : M1
> [mm]\rightarrow[/mm] M2 und für alle
> Teilmengen A [mm]\subset[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
M2 immer gilt:
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> f^−1 (M2\ A) = M1\ f^−1 (A).
> Kann mir jemand helfen wie ich bei a) die Menge berechne?
> Ich bin neu in Mathe und habe leider nicht verstanden,wie
> soetwas gelöst wird.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Ich denke, daß Du verstanden hast, was die Funktion tut: jeder ganzen Zahl ordnet sie ihr Doppeltes zu.
Das Problem könnte bei f^{-1}(\IN) liegen. Gesucht ist also das Urbild von \IN unter der Abbildung f.
Jetzt schauen wir mal, wie das definiert ist (Oben gucken.)
Mit A:=\IN und M_1:= \IZ erhält man
f^{-1}(\IN)=\{ x\in \IZ | f(x)\in \IN\}.
In Worten: in f^{-1}(\IN) liegen alle ganzen Zahlen, die auf irgendeine natürliche Zahl abgebildet werden, für die als f(x)\in \IN ist.
Wenn Du f^{-1}(\IN) hast, dürfte \IZ \ f^{-1}(\IN) kein Problem mehr sein.
> Außerdem weiß ich nicht,wie ich bei b) den Beweis
> durchführe.
Zunächst mal mußt Du hier parat haben, wie Differenz, Vereinigung und Schnitt von Mengen definiert sind,
was Teilmenge bedeutet und natürlich Urbild.
Schlag also in Deinen Unterlagen nach.
Du brauchst diese Definitionen, denn Du mußt ja jeden Beweisschritt begründen können.
Beweisen sollst Du, daß für jede Abbildung
f : M_1 $ \rightarrow $ M_2
und für alle Teilmengen A $ \subset $ M2 immer gilt:
f^{−1} (M_2 \ A) = M_1 \ f^{−1} (A).
Die Gleichheit von Mengen bedeutet ja, daß jedes Element, welches in der einen liegt, auch in der anderen ist.
Also ist zu zeigen
i) x\in f^{−1} (M_2 \ A) ==> x\in M_1 \ f^{−1} (A)
und
ii) x\in M_1 \ f^{−1} (A) ==> x\in f^{−1} (M_2 \ A)
Der Beweis hat also 2 Teile.
Beweis zu i):
Es sei f : M_1 $ \rightarrow $ M_2, A\subseteq M_2.
Sei \green{ x\in f^{−1} (M_2 \ A)
==> f(x) \in (M_2 \ A) (nach Def, des Urbildes)
==> f(x) \in M_2 und x\not\in A (nach Def. der Differenz)
==> ...
\vdots
==>\green{ x\in M_1 \ f^{−1} (A)}
Versuche den Beweis fortzusetzen, bis Du am Ende das Gewünschte bekommst.
Danach die andere Richtung.
Gruß v. Angela
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