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Forum "Algebra" - Abbildung von Vektorräumen
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Abbildung von Vektorräumen: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:48 Do 21.12.2006
Autor: zentaclaus

Aufgabe
Seien U (teilmenge von) V (Teilmenge von) W Vektorräume über K.
zeigen Sie:
(a) Die abbildung V/U -->W/U ; [a]-->[a] ist injektiv. (Wir können also V/U als Teilmenge von W/U auffassen.)
(b) V/U ist ein Untervektorraum von W/U
(c) (W/U)/(V/U) =~ W/V
(d) Die Untervektroräume von W/U entsprechen bijektiv denjenigen Untervektorräumen von W, die U enthalten.

hallo,
zuerst eine Frage zu der Notation: Heißt V/U einfach dass die elemente die die in V sind aber nicht in U sind gemeint sind ? Ich meine "V ohne U" oder ist das die falsche Vorstellung?
Nun zu a: Dort muss ich nur zeigen, dass die abbildung injektiv ist für die entsprechende Bedingung ?
Zu b: Untervektorraumaxiome nachweisen
Zu c: Das die Menge isomorph abgebildet werden können
Zu d: hab ich üerhaupt keinen Plan
Danke für jede Hilfe
Simon

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Abbildung von Vektorräumen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:30 Do 21.12.2006
Autor: mathiash

Hallo,

[mm] V\slash [/mm] U ist der Quotientenraum von V ''nach U'', d.h.

[mm] V\slash U=\{[v]_U\:\: |\:\: v\in V\} [/mm]

mit

[mm] [v]_{V,U}=\{w\in V\:\: |\:\: v-w\in U\} [/mm]

Es wird also

[mm] [v]_{V,U}\mapsto [v]_{W,U} [/mm]

abgebildet,

und zu zeigen ist:

Falls

[mm] [v]_{V,U}\neq [v']_{V,U}, [/mm]   so gilt auch

[mm] [v]_{W,U}\neq [v']_{W,U}, [/mm]

Gruss,

Mathias

Bezug
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