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Abbildungen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:48 Mi 26.08.2020
Autor: dimilican

Aufgabe
Finden Sie eine injektive Abbildung f : [mm] \IN \to \IN [/mm] so, dass es eine surjektive Abbildung von [mm] \IN [/mm] nach [mm] \IN [/mm] \ f [mm] (\IN) [/mm] gibt.

Hallo,

Ich bin ein Einsteiger in der Uni-Mathe und es ist mir leider gerade sehr schwierig Beweise zu formulieren.

In diesem Aufgabe ist es mir klar, dass die injektive Abbildung f [mm] (\IN) [/mm] so formuliert werden muss, dass die surjektive Abbildung f' [mm] (\IN [/mm] \ [mm] f(\IN)) [/mm] existiert.

Oder doch nicht? Bin ich schon am Anfang falsch?
Sind die f(x) = x und f'(x) = x +1 mögliche Lösungen/Beispiele?
Wie kann ich die ganze Aufgabe gut beweisen?

Vielen Dank für die Hilfe und Entschuldigung für eventuelle Deutsch-Rechtschreibfehler.
Freundliche Grüsse!

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Abbildungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:13 Mi 26.08.2020
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Finden Sie eine injektive Abbildung f : [mm]\IN \to \IN[/mm] so,
> dass es eine surjektive Abbildung von [mm]\IN[/mm] nach [mm]\IN[/mm] \ f
> [mm](\IN)[/mm] gibt.

Es gilt [mm] $\IN\setminus f(\IN) \subset \IN$. [/mm]
Die Frage ist nun: Wann gibt es dann eine Abbildung [mm] $\IN \to \IN\setminus f(\IN)$? [/mm]

Wenn es eine solche gibt, gibt es auch eine surjektive Abbildung.
Daher mal die Gegenfrage: Bei welcher Teilmenge A von [mm] $\IN$ [/mm] gibt es denn keine Abbildung (erstmal egal ob surjektiv oder nicht) [mm] $\IN \to [/mm] A$?

Gruß,
Gono


Bezug
                
Bezug
Abbildungen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:45 Do 27.08.2020
Autor: dimilican

Aufgabe
Finden Sie eine injektive Abbildung setminus [mm] f:\IN \to \IN [/mm] so, dass es eine surjektive Abbildung von [mm] \IN [/mm]  nach  [mm] \IN\setminus f(\IN) [/mm] gibt.

> Hiho,

Hi Gono,
Vielen Dank für deine Antwort!
  

> > Finden Sie eine injektive Abbildung f : [mm]\IN \to \IN[/mm] so,
> > dass es eine surjektive Abbildung von [mm]\IN[/mm] nach [mm]\IN[/mm] \ f
> > [mm](\IN)[/mm] gibt.
>  
> Es gilt [mm]\IN\setminus f(\IN) \subset \IN[/mm].
>  Die Frage ist
> nun: Wann gibt es dann eine Abbildung [mm]\IN \to \IN\setminus f(\IN)[/mm]?
>  
> Wenn es eine solche gibt, gibt es auch eine surjektive
> Abbildung.

Ist das eine Behauptung oder ist es von Definition bewusst?

>  Daher mal die Gegenfrage: Bei welcher Teilmenge A von [mm]\IN[/mm]
> gibt es denn keine Abbildung (erstmal egal ob surjektiv
> oder nicht) [mm]\IN \to A[/mm]?

Wenn A = [mm] \IN [/mm] \ f(A) ist, wird dann die Abbildung  f(A): [mm] \IN \to \IN \setminus [/mm] f(A)
nicht möglich.

Dann A [mm] \not= \IN \setminus [/mm] f(A)

[mm] A=f(\IN) [/mm] oder [mm] A=\IN \setminus f(\IN), [/mm] wenn [mm] f(\IN) \not= [/mm] f(A)

Und danach, ist es ebenso klar, dass die Abbildung [mm] \IN \to \IN\setminus f(\IN) [/mm] surjektiv ist?

Vielen Dank nochmals.

Grüss,
Dimu

Bezug
                        
Bezug
Abbildungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:16 Do 27.08.2020
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> > Wenn es eine solche gibt, gibt es auch eine surjektive Abbildung.
>  
> Ist das eine Behauptung oder ist es von Definition bewusst?

Das ist erstmal eine Behauptung, die man aber sehr leicht zeigen kann.
Denn: Es sei und $B [mm] \subseteq [/mm] A$  und $f: A [mm] \to [/mm] B$.
Daraus folgt $B [mm] \not= \emptyset$ [/mm] (warum?).

Sei nun $b [mm] \in [/mm] B$ beliebig aber fest, dann definieren wir $g(x) = [mm] \begin{cases} x & x \in B \\ b & x \in A\setminus B \end{cases}$ [/mm]

Dann ist $g: A [mm] \to [/mm] B$ und surjektiv.

Was haben wir also als Voraussetzung für B einzig benötigt?

Gruß,
Gono

Bezug
                                
Bezug
Abbildungen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:48 Fr 28.08.2020
Autor: dimilican

Hello

Ich habe es nochmals überlegt, mit bisschen Hilfe und..

> Das ist erstmal eine Behauptung, die man aber sehr leicht
> zeigen kann.
>  Denn: Es sei und [mm]B \subseteq A[/mm]  und [mm]f: A \to B[/mm].
>  Daraus
> folgt [mm]B \not= \emptyset[/mm] (warum?).

Weil eine Abbildung Elemente von eine Menge nach Elemente andere Menge/oder das selbe Menge idx abbildet und wenn es keine Elemente gibt (B [mm] \not= \emptyset), [/mm] es gibt auch keine Abbildung.

> Sei nun [mm]b \in B[/mm] beliebig aber fest, dann definieren wir
> [mm]g(x) = \begin{cases} x & x \in B \\ b & x \in A\setminus B \end{cases}[/mm]
>  
> Dann ist [mm]g: A \to B[/mm] und surjektiv.
>  
> Was haben wir also als Voraussetzung für B einzig
> benötigt?

Hier bin ich nicht ganz sicher, aber ich sage B [mm] \not= \emptyset, [/mm] weil b [mm] \in [/mm] B dann sein könnte.

Sagen wir jetzt, dass A [mm] =\{y | y \in \IN \} [/mm] und B = [mm] \{x | x \in \IN\setminus f(\IN) \} [/mm] und dass wir eine  Abbildung f: [mm] \IN \to \IN [/mm] haben.
Dann ist [mm] x_{1} \to y_{1} [/mm] .... [mm] x_{n} \to y_{n} [/mm] und [mm] y_{1} \to y_{n+1}... y_{n} \to y_{n+n} [/mm] und die Abbildung injektiv.

Ist das mehr oder weniger richtig?

Danke!

Dimu


Bezug
                                        
Bezug
Abbildungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:32 Fr 28.08.2020
Autor: leduart

Hallo
eigentlich sollst du doch nur eine konkrete Abbildung mit der gegebenen Eigenschaft finden. Bilde doch mal N auf die geraden Zahlen ab, dann ist die zweite Abb nicht schwer zu finden.
ledum

Bezug
        
Bezug
Abbildungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:48 Fr 28.08.2020
Autor: HJKweseleit


> Finden Sie eine injektive Abbildung f : [mm]\IN \to \IN[/mm] so,
> dass es eine surjektive Abbildung von [mm]\IN[/mm] nach [mm]\IN[/mm] \ f
> [mm](\IN)[/mm] gibt.

Abbildung heißt, dass die Fkt. für alle [mm] x\in \IN [/mm] definiert sein muss. Injektiv heißt, dass für jedes x ein anderes Ergebnis herauskommen muss. Das ist bei deiner Lösung f(x)=x der Fall. Hierbei ist dann [mm] f(\IN)=\IN. [/mm]

Jetzt sollst du für die Menge [mm] \IN [/mm] \ [mm] f(\IN) [/mm] eine surjektive Abbildung f' finden, d.h. dann konkret: Wenn du von [mm] \IN [/mm] die Menge [mm] f(\IN), [/mm] also auch [mm] \IN, [/mm] wegnimmst, soll von da eine surjektive Abbildung auf [mm] \IN [/mm] gefunden werden, d.h., du musst ganz [mm] \IN [/mm] mit f abdecken. Das ist aber unmöglich: [mm] \IN [/mm] \ [mm] f(\IN)=\IN [/mm] \ [mm] \IN= [/mm] {}, und du bekommst nicht mal einen einzigen Fkt.-Wert, geschweige denn ganz [mm] \IN. [/mm]

Am deinem Beispiel kannst du sehen, dass für [mm] \IN [/mm] \ [mm] f(\IN) [/mm] noch unendlich viele Elemente aus [mm] \IN [/mm] übrig bleiben müssen, damit du mit diesen die unendlich vielen Elemente aus [mm] \IN [/mm] abdecken kannst.

Somit: f muss unendlich viele Elemente übrig lassen, aber für jedes x einen anderen Wert liefern. Und jetzt schau dir noch mal den Tipp von leduart an.



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Bezug
Abbildungen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:11 Fr 28.08.2020
Autor: statler

Hi!

> Somit: f muss unendlich viele Elemente übrig lassen, aber
> für jedes x einen anderen Wert liefern. Und jetzt schau
> dir noch mal den Tipp von leduart an.

Ist jetzt nicht etwas durcheinandergeraten? f: [mm] \IN \to \IN [/mm] soll injektiv sein, also wäre f(x) = x+1 in Ordnung. Bei mir fängt [mm] \IN [/mm] bei 1 an. Aber dann ist doch g(x) = 1 für alle x [mm] \in \IN [/mm] surjektiv auf [mm] \IN \backslash f(\IN), [/mm] oder? Ich bin verwirrt.
Das ist doch so, daß [mm] f(\IN) [/mm] abzählbar ist. Dann ist doch [mm] \IN \backslash f(\IN) [/mm] auch abzählbar, eventuell sogar endlich, und dann gibt es immer so eine Abbildung g. Das Problem ist unter Umständen, sie vernünftig hinzuschreiben.
LG Dieter


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Bezug
Abbildungen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:34 Fr 28.08.2020
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Ist jetzt nicht etwas durcheinandergeraten?

Ich glaube auch!
Es soll angegeben werden, wann es eine surjektive Abbildung [mm] $\IN \to \IN\setminus f(\IN)$ [/mm] gibt, nicht umgekehrt!

Was ihr da immer mit Injektivität wollt, ist mir ehrlich gesagt, total unklar.

>  Das ist doch so, daß [mm]f(\IN)[/mm] abzählbar ist. Dann ist doch
> [mm]\IN \backslash f(\IN)[/mm] auch abzählbar, eventuell sogar
> endlich, und dann gibt es immer so eine Abbildung g.

Nicht immer.
Gilt [mm] $f(\IN) [/mm] = [mm] \IN$, [/mm] ist also die ursprüngliche Abbildung surjektiv, gibt es kein solches $g$.
Ansonsten aber immer, völlig egal wie [mm] $f(\IN)$ [/mm] aussieht.

Wie ein mögliches $g$ dann aussieht, hab ich sogar in meiner Antwort konkret hingeschrieben.

Gruß,
Gono

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Bezug
Abbildungen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:12 Fr 28.08.2020
Autor: HJKweseleit


> Was ihr da immer mit Injektivität wollt, ist mir ehrlich
> gesagt, total unklar.

Na ja, steht so in der Aufgabe. Würde man das weglassen, gäbe es sehr einfache Lösungen, z.B.

f(x)=1 für x [mm] \in \IN, [/mm]
f'(x)=x-1 für [mm] x\in \IN [/mm] \ {1}.



Bezug
                        
Bezug
Abbildungen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:55 Sa 29.08.2020
Autor: HJKweseleit


> Hi!
>  
> > Somit: f muss unendlich viele Elemente übrig lassen, aber
> > für jedes x einen anderen Wert liefern. Und jetzt schau
> > dir noch mal den Tipp von leduart an.
>  
> Ist jetzt nicht etwas durcheinandergeraten? f: [mm]\IN \to \IN[/mm]
> soll injektiv sein, also wäre f(x) = x+1 in Ordnung.

[ok]


> Bei mir fängt [mm]\IN[/mm] bei 1 an. Aber dann ist doch g(x) = 1 für
> alle x [mm]\in \IN[/mm] surjektiv auf [mm]\IN \backslash f(\IN),[/mm] oder?

[notok]

Du verwechselst etwas: g geht nicht von [mm] \IN [/mm] auf [mm] \{1\} [/mm] sondern von  [mm] \{1\} [/mm] auf [mm] \IN [/mm] und müsste nun alle natürlichen Zahlen erfassen, was unmöglich ist, da es für 1 nur einen Funktionswert geben kann.


> Ich bin verwirrt.
>  Das ist doch so, daß [mm]f(\IN)[/mm] abzählbar ist. Dann ist doch
> [mm]\IN \backslash f(\IN)[/mm] auch abzählbar, eventuell sogar
> endlich, und dann gibt es immer so eine Abbildung g. Das
> Problem ist unter Umständen, sie vernünftig
> hinzuschreiben.
>  LG Dieter
>  


Bezug
                                
Bezug
Abbildungen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:59 Sa 29.08.2020
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Du verwechselst etwas: g geht nicht von [mm]\IN[/mm] auf [mm]\{1\}[/mm]
> sondern von  [mm]\{1\}[/mm] auf [mm]\IN[/mm] und müsste nun alle
> natürlichen Zahlen erfassen, was unmöglich ist, da es
> für 1 nur einen Funktionswert geben kann.

Nein, du verwechselst da was…

Das $g$ soll dann VON [mm] $\IN$ [/mm] NACH [mm] $\IN\setminus{f(\IN)}$ [/mm] abbilden, also auf [mm] $\{1\}$ [/mm] nicht umgekehrt.

Die Lösung von Dieter ist also korrekt.

Gruß,
Gono

Bezug
                                        
Bezug
Abbildungen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:34 So 30.08.2020
Autor: HJKweseleit

Danke für den Hinweis - habe tatsächlich nicht richtig hingeschaut.

Bezug
        
Bezug
Abbildungen: gelöscht
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:40 Fr 28.08.2020
Autor: HJKweseleit

Falsche Antwort gelöscht. Hatte tatsächlich etwas verwechselt.
Bezug
        
Bezug
Abbildungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:05 Mo 31.08.2020
Autor: fred97

Meine Idee: sei $A$ eine abzählbar unendliche , aber echte Teilmenge von [mm] \IN, [/mm] derart, dass  $B:= [mm] \IN \setminus [/mm] A$ ebenfalls unendlich ist.

Die Menge $A$ ist abzählbar, also existiert eine Bijektion $h: [mm] \IN \to [/mm] A.$

Definiere nun $f: [mm] \IN \to \IN$ [/mm] durch $f(n):=h(n).$

Dann ist $f$ injektiv und es ist $f( [mm] \IN)=A.$ [/mm] Somit ist [mm] $\IN \setminus f(\IN)=B.$ [/mm]

Da $B$ abzählbar unendlich ist, gibt es eine Bijektion $g: [mm] \IN \to B=\IN \setminus f(\IN)$. [/mm]

Insbesondere ist $g$ surjektiv.

Konkretes Beispiel: [mm] $A=\{2n: n \in \IN\}, B=\{2n-1: n \in \IN\}, [/mm] f(n)=2n$ und $g(n)=2n-1.$

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