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Abbildungen: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:50 Mo 24.04.2006
Autor: NachoBender

Aufgabe
Es sei D={1,2} und B={3,4}. Gibt es eine injektive Funktion f:D->B, die nicht bijektiv ist?

Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:

Hallo,

bei der Aufgabe ist doch Voraussetzung, dass es sich um eine Funktion handelt, die Relation linkstotal und rechtseindeutig ist. D. h. doch, dass von 1 und 2 Pfleile wegführen(linkstotal) müssen und jeweils nur ein Pfeil wegführt(rechtseindeutig).
Prüfe ich jetzt noch auf Linkseindeutigkeit(3 und 4 werden nur einmal getroffen) komme ich zu der Lösung, dass es nicht möglich ist, die ersten 3 Bedingungen zu erfüllen, so dass 3 oder 4 nicht getroffen wird.

Lt. Lösung gilt das aber für f(x)={(2,3)}. Dann handelt es sich doch aber nicht um eine Funktion, da die Relation nicht linkstotal ist.
Stimmt die Lösung etwa und wenn ja warum?

mfg

        
Bezug
Abbildungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:04 Mo 24.04.2006
Autor: felixf

Hallo!

> Es sei D={1,2} und B={3,4}. Gibt es eine injektive Funktion
> f:D->B, die nicht bijektiv ist?
>  Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt:
>  
> Hallo,
>  
> bei der Aufgabe ist doch Voraussetzung, dass es sich um
> eine Funktion handelt, die Relation linkstotal und
> rechtseindeutig ist. D. h. doch, dass von 1 und 2 Pfleile
> wegführen(linkstotal) müssen und jeweils nur ein Pfeil
> wegführt(rechtseindeutig).
>  Prüfe ich jetzt noch auf Linkseindeutigkeit(3 und 4 werden
> nur einmal getroffen) komme ich zu der Lösung, dass es
> nicht möglich ist, die ersten 3 Bedingungen zu erfüllen, so
> dass 3 oder 4 nicht getroffen wird.
>  
> Lt. Lösung gilt das aber für [mm] $f(x)=\{(2,3)\}$. [/mm] Dann handelt es
> sich doch aber nicht um eine Funktion, da die Relation
> nicht linkstotal ist.
>  Stimmt die Lösung etwa und wenn ja warum?

Wenn man den Begriff `Funktion' etwas ausdehnt und damit auch partiell definierte Funktionen meint, dann stimmt die Loesung. Andernfalls stimmt sie nicht: Eine (vollstaendig definierte) injektive Funktion $f : A [mm] \to [/mm] B$ mit zwei endlichen Mengen $A, B$ mit $|A| = |B|$ ist immer auch surjektiv. (Genauer: Fuer Funktionen zwischen zwei solchen Mengen sind die Eigenschaften `injektiv' und `surjektiv' aequivalent.)

LG Felix


Bezug
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