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Hallo Leute,
was bedeuten eigentlich die folgenden Sätze:
"Eine lineare Abbildung der reellen Ebene in sich ohne reelle Eigenwerte ist eine Drehstreckung"
oder
"Eine surjektive lineare Abbildung des [mm] R^{n} [/mm] auf sich ist stets bijektiv"
Diese beiden Sätze sagen mir überhaupt nichts. Ich weiß was surjektiv, bijektiv und was reelle Eigenwerte sind. Jedoch was es mit dem "in sich", dem "auf sich" und der Drehstreckung auf sich hat weiß ich nicht.
Vielleicht kann mir BITTE jemand helfen.
Martin
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:36 Do 07.10.2004 | | Autor: | Micha |
Hallo Martin!
> Hallo Leute,
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> was bedeuten eigentlich die folgenden Sätze:
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> "Eine lineare Abbildung der reellen Ebene in sich ohne
> reelle Eigenwerte ist eine Drehstreckung"
>
> oder
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> "Eine surjektive lineare Abbildung des [mm]R^{n}[/mm] auf sich ist
> stets bijektiv"
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> Diese beiden Sätze sagen mir überhaupt nichts. Ich weiß was
> surjektiv, bijektiv und was reelle Eigenwerte sind. Jedoch
> was es mit dem "in sich", dem "auf sich" und der
> Drehstreckung auf sich hat weiß ich nicht.
>
Ich denke bei dem "in sich" und "auf sich" ist gemeint, dass der Zielbereich dem Definitionsbereich entspricht. Also mit anderen Worten, dass es sich um Endomorphismen (vom Vektorraum A in den Vektorraum A), und im 2. Fall es sich sogar um einen Automorphismus (Endomorphimus + injektiv) handelt.
Unter einer Drehstreckung verstehe ich eine Drehung und Streckung in einem. 
Villeicht hilft dir das etwas.
Gruß Micha
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Hallo,
aber warum ist eine lineare Abbildung ohne reelle EW eine Drehstreckung und warum ist eine surjektive lineare Abbildung des [mm] R^{n} [/mm] auf sich stets bijektiv???
MfG
Martin
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Also das mit der reellen Ebene hat folgenden Grund:
Du hast eine Abb. von [mm] \IR^2 [/mm] nach [mm] \IR^2 [/mm] . Das heißt deine Matrix ist [mm] 2\times2 [/mm] und hat somit zwei Eigenwerte.
Wenn du keine reellen Eigenwerte hast, dann sind (oh Wunder) alle Eigenwerte komplex. Wenn aber [mm]z\IC\backslash\IR[/mm] Eigenwert deiner Matrix ist, dann ist [mm]\overline{z}[/mm] ebenfalls Eigenwert deiner Matrix.
Alle Eigenwerte deiner Matrix haben somit den gleichen Betrag, das heißt für jeden Vektor [mm] \vec{v} [/mm] ist [mm]\frac{\vmat{M\vec{v}}}{\vmat{\vec{v}}}=\vmat{z}[/mm].
Die einzigen linearen Abbildungen mit gleich betragsmäßig gleichgroßen Eigenwerten und ohne reelle Eigenwerte sind Drehstreckungen.
Du schaust die genauen Umstände aber lieber noch mal in einem LA-Skript nach. Z.B. Prof. Barth am Mathematischen Institut in Erlangen müßte das in seinem Skript stehen haben.
Die zweite Frage ist ganz schnell beantwortet:
bei einem linearen Automorphismus oder überhaupt bei einer linearen Abbildung zwischen Vektorräumen, die über dem gleichen Grundkörper dieselbe Dimension haben, gilt:
Wenn das Bild der Abbildung der gesamte 'Ziel'-Raum ist, dann ist die Abb. surjektiv. Der Kern der Abb. (folgt aus der Dimensionsformel) muss 0-dimensional sein, und infolge dessen ist die Abb. auch injektiv, als insgesamt bijektiv.
Umgekehrt ist ausgehend von der Injektivität die Dimension des Kerns 0 und das Bild hat dann dieselbe Dimension des 'Ur'-Raumes und die Abb. ist auch surjektiv, insgesamt bijektiv.
Also gilt bei linearen Abb. von [mm] \IR^n [/mm] nach [mm] \IR^n: [/mm] injektiv, surjektiv und bijektiv sind äquivalente Begriffe.
Ich hoffe ich konnte dir helfen, zur ersten Aufgabe muss du dich noch ein wenig kundig machen. Ich weiß zwar, dass ich recht habe, aber der genaue Beweis ist meinem Hirn schon vor langer Zeit verloren gegangen.
Hugo
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