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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:20 Mi 23.05.2007 | | Autor: | SusanneK |
| Aufgabe | Seien [mm] M [/mm] und [mm] N [/mm] Mengen und sei [mm] f: M \to N [/mm] eine Abbildung. Für eine Teilmenge [mm] X [/mm] von [mm] M [/mm] bezeichnen wir mit [mm] f(X) [/mm] die Menge [mm] f(X) := \{ n \in N | n = f(x) [/mm] für ein [mm] x \in X \} [/mm], und für eine Teilmenge [mm] Y [/mm] von [mm] N [/mm] bezeichnen wir mit [mm] U(Y) [/mm] die Menge [mm] U(Y) := \{m \in M | f(m) \in Y\} [/mm].
Wahr oder falsch ? (es folgen dann 10 Aussagen, von denen ich 2 falsch hatte und nicht verstehe warum)
1. Es gilt [mm] f(U(N_1)) = N_1 [/mm]
2. Es gilt [mm] f(M_1 \cap M_2) = f(M_1) \cap f(M_2) [/mm] |
Vorab: Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Aussage 1 und 2 habe ich als wahr angekreuzt, sie sind aber falsch.
Meine Überlegungen:
Angenommen, die Abbildung ist [mm] f(x)=x^2 [/mm]
1. Beispielsweise ist [mm] N_1 = \{0,1,4\} [/mm], dann ist [mm] U(N_1) = \{0, -1, 1, -2, 2\} [/mm]. Wenn ich darauf die Funktion f anwende, erhalte ich wieder [mm] \{0,1,4\} [/mm] und das ist [mm] N_1 [/mm] und damit ist für mich die Aussage wahr.
2. Beispielsweise ist [mm] M_1 = \{-1, 0 , 1\} [/mm] und [mm] M_2 = \{-1, 0, 1, 2\} [/mm]. Dann ist die Schnittmenge [mm] \{-1, 0, 1\} [/mm] und die Abbildung der Schnittmenge ist [mm] \{0, 1\}. [/mm] Die Abbildung von [mm] M_1 = \{0, 1\} [/mm] und die von [mm] M_2 = \{0, 1, 4\} [/mm]. Die Schnittmenge der beiden ist [mm] \{0, 1\} [/mm] und somit ist für mich die Aussage wahr.
Wo sind meine Denkfehler ?
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> Seien [mm]M[/mm] und [mm]N[/mm] Mengen und sei [mm]f: M \to N[/mm] eine Abbildung.
> Für eine Teilmenge [mm]X[/mm] von [mm]M[/mm] bezeichnen wir mit [mm]f(X)[/mm] die
> Menge [mm]f(X) := \{ n \in N | n = f(x)[/mm] für ein [mm]x \in X \} [/mm],
> und für eine Teilmenge [mm]Y[/mm] von [mm]N[/mm] bezeichnen wir mit [mm]U(Y)[/mm] die
> Menge [mm]U(Y) := \{m \in M | f(m) \in Y\} [/mm].
>
> 1. Es gilt [mm]f(U(N_1)) = N_1[/mm]
> 2. Es gilt [mm]f(M_1 \cap M_2) = f(M_1) \cap f(M_2)[/mm]
>
> Aussage 1 und 2 habe ich als wahr angekreuzt, sie sind aber
> falsch.
>
> Meine Überlegungen:
> Angenommen, die Abbildung ist [mm]f(x)=x^2[/mm]
>
> 1. Beispielsweise ist [mm]N_1 = \{0,1,4\} [/mm], dann ist [mm]U(N_1) = \{0, -1, 1, -2, 2\} [/mm].
> Wenn ich darauf die Funktion f anwende, erhalte ich wieder
> [mm]\{0,1,4\}[/mm] und das ist [mm]N_1[/mm] und damit ist für mich die
> Aussage wahr.
>
> 2. Beispielsweise ist [mm]M_1 = \{-1, 0 , 1\}[/mm] und [mm]M_2 = \{-1, 0, 1, 2\} [/mm].
> Dann ist die Schnittmenge [mm]\{-1, 0, 1\}[/mm] und die Abbildung
> der Schnittmenge ist [mm]\{0, 1\}.[/mm] Die Abbildung von [mm]M_1 = \{0, 1\}[/mm]
> und die von [mm]M_2 = \{0, 1, 4\} [/mm]. Die Schnittmenge der beiden
> ist [mm]\{0, 1\}[/mm] und somit ist für mich die Aussage wahr.
>
> Wo sind meine Denkfehler ?
Hallo,
Du machst einen ganz gravierenden Denkfehler: Du begründest die allgemeine Gültigkeit dieser beiden Aussagen mit jeweils einem Beispiel...
Das geht nicht.
Willst Du die Aussagen verifizieren, brauchst Du einen allgemeingültigen Beweis, welcher alle Zu- und Unfälle des mathematischen Lebens umfaßt.
Widerlegen hingegen kannst Du mit einem Beispiel, in welchem die Aussage nicht gilt. Da reicht eins.
Soviel vorweg.
Nehmen wir für Deine Funktion,
betrachten wir also f: [mm] \IN \to \IN [/mm] mit
[mm] f(x):=x^2.
[/mm]
Zu 1.
Nun guck Dir mal die Menge [mm] N_1:=\{1,2\} [/mm] an...
Fazit: bei Abbildungen, die nicht surjektiv sind, funktioniert das nicht.
Zu 2.
Nimm die Mengen
[mm] M_1 [/mm] := [mm] \{,-2 -1, 0 , 1\} [/mm] und [mm] M_2 [/mm] := [mm] \{-1, 0, 1, 2\}. [/mm]
Fazit: bei Funktionen, die nicht injektiv sind, funktioniert das nicht.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:04 Mi 23.05.2007 | | Autor: | SusanneK |
Hallo Angela,
vielen Dank für Deine Hilfe !
Zu 1. habe ich folgende Frage:
Bedeutet das, da ich kein Urbild zu [mm] N_1 = 2 [/mm] aus [mm] \IN [/mm] habe, ist die Aussage nicht wahr ?
2. habe ich verstanden - vielen Dank !
LG Susanne.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:09 Mi 23.05.2007 | | Autor: | statler |
Mahlzeit Susanne!
> Zu 1. habe ich folgende Frage:
> Bedeutet das, da ich kein Urbild zu [mm]N_1 = 2[/mm] aus [mm]\IN[/mm] habe,
> ist die Aussage nicht wahr ?
Wahr ist für diese Abb. folgendes: Das Urbild von {1, 2} ist {1} und das Bild davon wiederum ist {1}. Also keine Gleichheit!
> 2. habe ich verstanden - vielen Dank !
Schön.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:09 Mi 23.05.2007 | | Autor: | SusanneK |
Hallo Dieter,
vielen Dank für Deine Antwort.
Ich bin mir noch nicht so ganz sicher, ob ich das komplett verstanden habe:
1. Kann ich denn nicht sagen, das Urbild von {1,2} ist {-1 1 -1,4142... 1,4142...} ?
2. Bedeutet [mm] M \to N [/mm] denn, dass auf die natürlichen Zahlen, also auf [mm] \IN [/mm] abgebildet wird ?
LG, Susanne.
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> Ich bin mir noch nicht so ganz sicher, ob ich das komplett
> verstanden habe:
> 1. Kann ich denn nicht sagen, das Urbild von {1,2} ist {-1
> 1 -1,4142... 1,4142...} ?
Hallo,
darauf kann ich mir keinen Reim machen...
Das Urbild von [mm] \{1,2\} [/mm] ist die Menge aller x, die auf die 1 oder auf die 2 abgebildet werden.
Also [mm] U(\{1,2\})=...???
[/mm]
> 2. Bedeutet [mm]M \to N[/mm] denn, dass auf die natürlichen Zahlen,
> also auf [mm]\IN[/mm] abgebildet wird ?
Nein, keinesfalls. M und N sind einfach irgendwelche Mengen.
Aber da wir gerade dabei sind Gegenbeispiele zu finden, können wir dafür irgendwelche bestimmten Mengen nehmen. Die natürlichen Zahlen haben den Vorteil, daß man sie von Kindesbeinen an kennt...
Wenn Du solche Aussagen beweisen (statt widerlegen) willst, reicht es nicht, für N und M die natürlichen Zahlen zu nehmen. Das muß dann allgemein sein, gültig für sämtliche denkbaren Mengen M und N.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:08 Do 24.05.2007 | | Autor: | SusanneK |
Hallo Angela,
vielen Dank für Deine Hilfe !
Ich fürchte, ich verstehe das immer noch nicht so recht:
Das Urbild von [mm] \{1,2\} [/mm] wäre doch in meinem Beispiel [mm] \{ -1,1,\wurzel{2},-\wurzel{2}\} [/mm] ?
Und darauf angewandt die Abbildung [mm] f(x)=x^2 [/mm] ergäbe doch dann wieder [mm] \{1,2\}, [/mm] was ja [mm] N_1 [/mm] entspricht - was ist daran falsch ?
LG, Susanne.
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> Hallo Angela,
> vielen Dank für Deine Hilfe !
>
> Ich fürchte, ich verstehe das immer noch nicht so recht:
>
> Das Urbild von [mm]\{1,2\}[/mm] wäre doch in meinem Beispiel [mm]\{ -1,1,\wurzel{2},-\wurzel{2}\}[/mm]
> ?
> Und darauf angewandt die Abbildung [mm]f(x)=x^2[/mm] ergäbe doch
> dann wieder [mm]\{1,2\},[/mm] was ja [mm]N_1[/mm] entspricht - was ist daran
> falsch ?
Wir betrachten gerade [mm] f:\IN \to \IN.
[/mm]
Es kann also [mm] \pm\wurzel{2} [/mm] nicht im Urbild sein, denn [mm] \pm\wurzel{2} [/mm] ist ja gar nicht in der Definitionsmenge!
Also ist [mm] U(\{1,2\})= [/mm] ???
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:44 Do 24.05.2007 | | Autor: | SusanneK |
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> Wir betrachten gerade [mm]f:\IN \to \IN.[/mm]
>
> Es kann also [mm]\pm\wurzel{2}[/mm] nicht im Urbild sein, denn
> [mm]\pm\wurzel{2}[/mm] ist ja gar nicht in der Definitionsmenge!
>
> Also ist [mm]U(\{1,2\})=[/mm] ???
Ja, aber ursprünglich war die Aufgabe so, dass [mm] M \to N [/mm] abgebildet wird. Und da ich leider immer noch nicht verstanden habe, warum die ursprüngliche Aussage falsch ist, dachte ich, mit [mm] N [/mm] sei [mm] \IN [/mm] gemeint - dann würde ich ja verstehen, dass die Aussage falsch ist.
Aber so... - tut mir leid, ich steh auf dem Schlauch...
LG, Susanne.
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> >
> > Wir betrachten gerade [mm]f:\IN \to \IN.[/mm]
> >
> > Es kann also [mm]\pm\wurzel{2}[/mm] nicht im Urbild sein, denn
> > [mm]\pm\wurzel{2}[/mm] ist ja gar nicht in der Definitionsmenge!
> >
> > Also ist [mm]U(\{1,2\})=[/mm] ???
>
> Ja, aber ursprünglich war die Aufgabe so, dass [mm]M \to N[/mm]
> abgebildet wird.
Mit M und N sind irgendwelche Mengen gemeint, f bildet von der einen in die andere ab.
Dann ist eine Aussage gemacht, von der wir entscheiden sollen, ob sie wahr ist oder falsch.
Ich habe ein Gegenbeispiel gefunden.
Ich konnte zeigen, daß für [mm] M:=\IN, N:=\IN [/mm] und das eine definierte f die Behauptung nicht stimmt.
Also ist sie falsch.
Es ist so:
Wenn ich behaupte: "alle Vögel können fliegen", und Du schleppst mir einen Pinguin an, bin ich widerlegt. Ein einziger Pinguin reicht.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:03 Do 24.05.2007 | | Autor: | SusanneK |
Uff, verstanden !
VIELEN VIELEN DANK !
LG, Susanne.
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