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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:16 So 23.09.2007 | | Autor: | SusanneK |
| Aufgabe | Seien X und Y Mengen und sei [mm] f: X \to Y [/mm] eine Abbildung. Für eine Teilmenge [mm] A \subseteq X [/mm] bezeichnen wir mit f(A) die Menge
[mm] f(A) = \{f(a) \in Y | a \in A \} [/mm].
Beweisen Sie:
1. Sei I eine Indexmenge. Für alle [mm] i \in I [/mm] sei [mm] A_i [/mm] eine Teilmenge von X. Dann gilt
[mm] f(\bigcup_{i \in I} A_i) = \bigcup_{i \in I} f(A_i) [/mm]
2. Seien I und [mm] A_i [/mm] wie oben, dann gilt
[mm] f( \bigcap_{i \in I} A_i ) \subseteq \bigcap_{i \in I}f(A_i) [/mm].
3. Zeigen Sie in einem Beispiel, dass [mm] \bigcap_{i \in I} f(A_i) \subseteq f( \bigcap_{i \in I} A_i ) [/mm] im Allgemeinen nicht richtig ist.
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Zu 1. habe ich folgenden Ansatz:
Sei [mm] I = \{i_1, i_2, .., i_n\} [/mm]
Dann gilt [mm] f (\bigcup_{i \in I} A_i) = f(A_i_1 \cup A_i_2 \cup .. \cup A_i_n) = f(A_i_1) \cup f(A_i_2) \cup .. \cup f(A_i_n) = \bigcup_{i \in I} f(A_i) [/mm]
Geht das als Beweis ?
Geht das dann bei 2. auch so ?
Bei 3. verstehe ich nicht, warum das nicht richtig sein soll:
Wenn ich die Bildmenge einer Abbildung mit anderen Bildmengen dieser Abbildung schneide, dann ist das doch immer das gleiche wie wenn ich die Definitions-Schnittmenge abbilde.
Danke Susanne.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:13 So 23.09.2007 | | Autor: | dormant |
Hi!
> Zu 1. habe ich folgenden Ansatz:
> Sei [mm]I = \{i_1, i_2, .., i_n\}[/mm]
> Dann gilt [mm]f (\bigcup_{i \in I} A_i) = f(A_i_1 \cup A_i_2 \cup .. \cup A_i_n) = f(A_i_1) \cup f(A_i_2) \cup .. \cup f(A_i_n) = \bigcup_{i \in I} f(A_i)[/mm]
Erst musst du beweisen, dass [mm] f(A\cup B)=f(A)\cup [/mm] f(B). Für eine lineare Abbildung geht das einfach, aber für eine beliebige Abbildung, fällt mir auf die Schnelle kein Beweis ein.
> Geht das als Beweis ?
Ja, schon.
> Geht das dann bei 2. auch so ?
Ja.
> Bei 3. verstehe ich nicht, warum das nicht richtig sein
> soll:
> Wenn ich die Bildmenge einer Abbildung mit anderen
> Bildmengen dieser Abbildung schneide, dann ist das doch
> immer das gleiche wie wenn ich die Definitions-Schnittmenge
> abbilde.
Das ist wenn der Schnitt [mm] A\cap B=\emptyset, [/mm] aber [mm] f(A)\cap [/mm] f(B) ist nicht leer.
Gruß,
dormant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:21 So 23.09.2007 | | Autor: | SusanneK |
hallo dormant,
vielen Dank für das Beispiel, jetzt habe ich es verstanden !
LG, Susanne.
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