Abbildungen < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:02 Sa 03.11.2007 | | Autor: | rezzana |
| Aufgabe | Es seien M, N endliche Mengen mit gleich vielen Elementen und es sei ferner eine Abbildung f: M [mm]\to[/mm] N gegeben.
a) Zeigen Sie: f ist genau dann injektiv, wenn f surjektiv ist.
b) Gilt dasselbe für unendliche Mengen M, N? |
hallo!
ich habe beim lösen der aufgabe das problem,dass ich den beweis nicht "mathematisch" führen kann. ich kann ja für die aufgabe a) zeigen,dass [mm]\neg[/mm]B[mm]\Rightarrow[/mm][mm]\neg[/mm]A.
aber wie führe ich den beweis genau?
viele grüße
rezzana
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:27 Sa 03.11.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
bei all den Aufgaben muss man mit den Definitionen arbeiten. was du mit deinem $ [mm] \neg [/mm] $B$ [mm] \Rightarrow [/mm] $$ [mm] \neg [/mm] $A. meinst weiss ich nicht einen indirekten Beweis?
Das ist ja als Beweismethode mathematisch-wenn dus richtig machst.
also f inj. heisst... daraus dann folgern f surj.
und dann umgekehrt. Achte darauf, wo du die Endlichkeit der mengen benutzt. (für b)
denk dran dass genau heisst du musst 2 Richtungen beweisen.
bei b reicht ein Gegenbsp.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:58 Sa 03.11.2007 | | Autor: | rezzana |
hallo!
vielen dank für die schnelle antwort!
ja,ich meinte einen indirekten beweis.mein problem ist nur diesen beweis tatsächlich zu machen. irgendwie bekomm ich das einfach nicht hin. wie müsste denn der anfang aussehen?bei mir gleicht so ein beweis schon eher einem aufsatz.![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
gruß rezzana
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:09 Sa 03.11.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Fang wirklich mit den Def. an : seien [mm] m_i\in [/mm] M [mm] n_i\ [/mm] in N.
f injektiv heisst ....
falls f nicht surj ist heisst das es gibt.....
usw.
Schreib mal auf, wie weit du wenigstens in einer Richtung kommst! Dann erst können wir sehen, was du kannst.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:30 Sa 03.11.2007 | | Autor: | rezzana |
> Hallo
> Fang wirklich mit den Def. an : seien [mm]m_i\in[/mm] M [mm]n_i\[/mm] in
> N.
> f injektiv heisst es
> falls f nicht surj ist heisst das es gibt.....
> usw.
> Schreib mal auf, wie weit du wenigstens in einer Richtung
> kommst! Dann erst können wir sehen, was du kannst.
> Gruss leduart
>
hallo!
also ich hatte mir folgendes überlegt:
der indirekte beweis wäre dann ja: wenn f nicht injektiv ist,dann ist f nicht surjektiv.
nicht injektiv: 2 verschiedene elemente von M werden auf dasselbe Element von N abgebildet.
nicht surjektiv hieße dann: es gibt nicht zu jedem [mm]n_i\in [/mm] N ein
[mm]m_i\in[/mm] M mit f(m)=n.
stimmt das denn überhaupt?wie muss ich dann weitermachen?
gruß rezzana
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:38 Sa 03.11.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du musst erstmal sagen was du beweisen willst:
a) wenn f surjektiv dann f injektiv
b) wenn f inj dann f surj.
> hallo!
> also ich hatte mir folgendes überlegt:
> der indirekte beweis wäre dann ja: wenn f nicht injektiv
> ist,dann ist f nicht surjektiv.
welche der Seiten willst du grade?
zu a) wäre der Anfang eines Widerspruchsbeweises: f ist surj aber nicht injektiv
daraus musst du dann folgern dass es nicht inj. sein kann
f surj. heisst zu jedem n gibt es ein m mit f(m)=n
nicht injektiv: es gibt ein n mit f(m1)=n und f(m2)=n [mm] m1\nem2
[/mm]
jetzt muss irgendwo das endlich und gleichviel elemente rein!
> nicht injektiv: 2 verschiedene elemente von M werden auf
> dasselbe Element von N abgebildet. ja aber schreibs wie ich oben
> nicht surjektiv hieße dann: es gibt nicht zu jedem [mm]n_i\in[/mm]
> N ein
> [mm]m_i\in[/mm] M mit f(m)=n.
richtig aber
besser: es gibt mindestens ein n für das kein m mit f(m)=n existiert.
> stimmt das denn überhaupt?wie muss ich dann weitermachen?
Jetzt hast du ja gesagt, du kannst es mit nem Roman! also fang an ihn in solchen Sätzen zu schreiben.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 13:44 So 04.11.2007 | | Autor: | Mathi87 |
Hallo!
In der aufgabe steht doch: zeigen Sie, f ist genau dann injektiv, wenn f surjektiv,
Muss ich dann nicht nur in eine richtung, also f surjektiv => f injektiv beweisen???
Und bei der Aufgabe b doch auch, weil da wurde dann irgendwie von f ist injektiv => surjektiv gesprochen, das ist doch die falsche Richtung oder?
Danke
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:39 Mo 05.11.2007 | | Autor: | Jotwie |
Hallo,
siehe meinen Beitrag unten.
Gruß,
J.B.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:21 Di 06.11.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:34 Sa 03.11.2007 | | Autor: | ShortyJ |
Kann mir jemand sagen,wie ich zur Aufgabe b) ein Gegenbeidpiel konstruieren soll? Mit unterschiedlichen unendlichen Mengen,z.b. IN und IR?Und dann zeigen,dass sie nicht gleichmächtig sind?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:43 Sa 03.11.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
besser wär doch Eine Abbildung [mm] \IN [/mm] nach [mm] \IN [/mm] oder so, die sind dann gleich gleich mächtig.
fang mal mit f(n)=2n an. ist das Inj? ist das surj? oder f(n)=n*n
Gilt dasselbe heisst ja auch "gleichviel Elemente" entspricht gleich mächtig.
wenn M,N verschiedene Anzahl von El. haben. gilt ja auch a) nicht.
Gruss leduart.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:20 Sa 03.11.2007 | | Autor: | Dritter |
Ich bin seltsamerweise der Meinung, dass
f(n) = 2n surjektiv und sogar bijektiv ist [mm] (f:\IN\to\IN)
[/mm]
Das kommt mir deshalb so vor:
Es gibt doch für jedes Element x aus [mm] \IN [/mm] ein entsprechendes Bild y = f(x)!
AAAAAh, nein. gibt es doch nich.
Aber nur um das klarzustellen ob ich mich nicht irre:
Es gibt eben nicht für jedes x auch ein y, weil es "doppelt unendlich" so viele y's gibt?!
Wär nett wenn ich das bestätigt wüsste. 'Puh, da lag ich aber nem Irrtum auf. hihi.
Argh, hoffentlich habe ich mich nich schon wieder vertan. 'denk'
Bei entsprechenden Mengen mit drei Elementen könnte da ja so aussehen:
M:={1,2,3} und N:={2,4,6}. Klar bijektiv.
Aber jetzt unendlich.
M:={1,2,3,....} und N:={2,4,6,...}. Mist, mir kommts so vor, als sei das hier auch bijektiv. Aber die Literatur sagt doch das Gegenteil.
Aha! Aber vlt. ist es ja auch so:
M sind ja die natürlichen Zahlen, aber N ja auch! Und jetzt wird der Bildbereich N ja gar nicht komplett ausgefüllt!!! Das heißt ich muss es so schreiben:
M:={1,2,3,...} und N:={1,2,3,4,5,6,...}. Klar NICHT bijektiv.
Bin ich jetzt auf dem richtigen Dampfer? (das vorher tut mir leid...^^)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:14 Sa 03.11.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Natürlich gibt es auch in unendl. Mengen inj. Abb. die auch surj. sind und umgekehrt!
Die Beh. ist doch nur aus inj. folgt nicht surj!
und f: [mm] \IN [/mm] ==> [mm] \IN [/mm] f(n)=2n ist inj und nicht surj.
wenn du dasselbe f nimmst und in die geraden Zahlen abbildest ist es surj.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:13 So 04.11.2007 | | Autor: | ShortyJ |
@leduart: Danke 
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:33 Mo 05.11.2007 | | Autor: | Jotwie |
Hallo,
Aufgaben sind dazu da, daß man sich selbst darüber Gedanken macht.
Weitere Informationen und Lösungshinweise unter
http://www.mathi.uni-heidelberg.de/phpbb
Mit freundlichen Grüssen,
J.B.
|
|
|
|
