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| Aufgabe | Es sei f: M [mm] \to [/mm] M eine Abbildung mit der Eigenschaft f [mm] \circ [/mm] f = f. Zeigen Sie, dass dann folgende Aussagen äquivalent sind:
a) f ist injektiv.
b) f ist surjektiv.
c) f [mm] =id_{M} [/mm] |
Da diese drei Aussagen äquivalent sind, muss man folgendes zeigen:
a) [mm] \Rightarrow [/mm] b) [mm] \Rightarrow [/mm] c) [mm] \Rightarrow [/mm] a)
Nun weiß ich aber gar nicht wie ich das beweisen soll?!
f ist injektiv, d.h. es gibt verschiedene Elemente u,v, so dass f(u) [mm] \not= [/mm] f(v). Aber wie soll ich damit zeigen,dass f auch surjektiv ist?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:19 Mi 04.11.2009 | | Autor: | fred97 |
> Es sei f: M [mm]\to[/mm] M eine Abbildung mit der Eigenschaft f
> [mm]\circ[/mm] f = f. Zeigen Sie, dass dann folgende Aussagen
> äquivalent sind:
>
> a) f ist injektiv.
> b) f ist surjektiv.
> c) f [mm]=id_{M}[/mm]
> Da diese drei Aussagen äquivalent sind, muss man
> folgendes zeigen:
> a) [mm]\Rightarrow[/mm] b) [mm]\Rightarrow[/mm] c) [mm]\Rightarrow[/mm] a)
>
> Nun weiß ich aber gar nicht wie ich das beweisen soll?!
>
> f ist injektiv, d.h. es gibt verschiedene Elemente u,v, so
> dass f(u) [mm]\not=[/mm] f(v).
Na, na, das ist aber nicht die korrekte Def. von "injektiv"
Schau noch mal nach !
> Aber wie soll ich damit zeigen,dass f
> auch surjektiv ist?
Ich mach Dir mal a) $ [mm] \Rightarrow [/mm] $ b)
Sei y [mm] \in [/mm] M. Zu zeigen ist: es gibt ein x [mm] \in [/mm] M mit f(x) = y. Setze z := f(y).
Wegen f $ [mm] \circ [/mm] $ f = f folgt:
$f(z) = f(f(y)) = f(y)$
Die Injektivität von f liefert nun: z = y, also f(y) = y. Somit ist y [mm] \in [/mm] f(M).
Fazit: f(M) = M. Damit ist f surjektiv.
Wenn Du Dir obigen Beweis genau anschaust, so siehst Du, dass damit auch "a) $ [mm] \Rightarrow [/mm] $ c)" gezeigt ist.
FRED
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