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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:14 Mi 11.05.2011 | | Autor: | Fawkes |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass die affinen Abbildungen
[mm] \alpha_i [/mm] : [mm] E^2 [/mm] -> [mm] E^2
[/mm]
[mm] \alpha_1(x,y) [/mm] = (x + 3, y − 1)
[mm] \alpha_2(x,y) [/mm] = [mm] \bruch{1}{53} [/mm] (45x + 28y, 45y − 28x)
[mm] \alpha_3(x,y) [/mm] = [mm] \bruch{1}{5} [/mm] (2 − 3x + 4y, 5 + 4x + 3y)
euklidische Abbildungen sind.
Stellen Sie eine dieser drei Abbildungen als Hintereinanderausführung von Spiegelungen dar.
Wieviele Spiegelungen sind für jede dieser Abbildungen mindestens nötig?
Begründen Sie Ihre Antwort! |
Hallo,
leider fehlt mir zum bearbeiten dieser Aufgabe die Definition der euklidischen Abbildung. Damit ich mich also auf die Aufgabe stürzen kann wäre ich dankbar wenn mir jemand sagen könnte welche Aspekte ich zeigen muss.
Gruß Fawkes
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:22 Mi 11.05.2011 | | Autor: | fred97 |
> Zeigen Sie, dass die affinen Abbildungen
>
> [mm]\alpha_i[/mm] : [mm]E^2[/mm] -> [mm]E^2[/mm]
>
> [mm]\alpha_1(x,y)[/mm] = (x + 3, y − 1)
>
> [mm]\alpha_2(x,y)[/mm] = [mm]\bruch{1}{53}[/mm] (45x + 28y, 45y − 28x)
>
> [mm]\alpha_3(x,y)[/mm] = [mm]\bruch{1}{5}[/mm] (2 − 3x + 4y, 5 + 4x + 3y)
>
> euklidische Abbildungen sind.
> Stellen Sie eine dieser drei Abbildungen als
> Hintereinanderausführung von Spiegelungen dar.
> Wieviele Spiegelungen sind für jede dieser Abbildungen
> mindestens nötig?
> Begründen Sie Ihre Antwort!
> Hallo,
> leider fehlt mir zum bearbeiten dieser Aufgabe die
> Definition der euklidischen Abbildung. Damit ich mich also
> auf die Aufgabe stürzen kann wäre ich dankbar wenn mir
> jemand sagen könnte welche Aspekte ich zeigen muss.
> Gruß Fawkes
Eine eukl. Abb. heißt auch eine Bewegung.
http://de.wikipedia.org/wiki/Bewegung_(Mathematik)
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:35 Mi 11.05.2011 | | Autor: | Fawkes |
Vielen Dank für deine Antwort.
Bezogen auf [mm] \alpha_1(x,y) [/mm] = (x + 3, y − 1) folgt dann also:
Sei P(a/b) und Q(c/d) so muss gelten:
[mm] d(\alpha_1(P),\alpha_1(Q)) [/mm] = d(P,Q)
[mm] \gdw [/mm] d((a+3,b-1),(c+3,d-1)) = d((a,b),(c,d))
[mm] \gdw [/mm] ||(c+3-(a+3),d-1-(b-1))|| = ||(c-a,d-b)||
[mm] \gdw [/mm] ||(c-a,d-b)|| = ||(c-a,d-b)||
Damit hätte ich nun gezeigt, dass die erste affine Abb. eine eukl. Abb. ist?!
Gruß Fawkes
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Moin,
> Vielen Dank für deine Antwort.
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> Bezogen auf [mm]\alpha_1(x,y)[/mm] = (x + 3, y − 1) folgt dann
> also:
>
> Sei P(a/b) und Q(c/d) so muss gelten:
>
> [mm]d(\alpha_1(P),\alpha_1(Q))[/mm] = d(P,Q)
>
> [mm]\gdw[/mm] d((a+3,b-1),(c+3,d-1)) = d((a,b),(c,d))
>
> [mm]\gdw[/mm] ||(c+3-(a+3),d-1-(b-1))|| = ||(c-a,d-b)||
>
> [mm]\gdw[/mm] ||(c-a,d-b)|| = ||(c-a,d-b)||
>
> Damit hätte ich nun gezeigt, dass die erste affine Abb.
> eine eukl. Abb. ist?!
Jo.
Außerdem lässt sich die affine Abbildung in Translation+orthogonale Abbildung zerlegen:
[mm] \alpha_1(x,y)=\pmat{1&0\\0&1}\pmat{x\\y}+\pmat{3\\-1}
[/mm]
Das ist ebenfalls hinreichend.
>
> Gruß Fawkes
LG
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 09:05 Fr 13.05.2011 | | Autor: | Fawkes |
Vielen Dank für deine Antwort.
Also reicht es bei der Aufgabe lediglich zu zeigen, dass die affine Abb. y als y=Ax+b geschrieben werden kann?
Damit folgt:
[mm] \alpha_1(x,y)=(x [/mm] + 3, y − [mm] 1)=\pmat{1&0\\0&1}\pmat{x\\y}+\pmat{3\\-1}
[/mm]
[mm] \alpha_2(x,y)=\bruch{1}{53}(45x [/mm] + 28y, 45y − [mm] 28x)=\bruch{1}{53}\pmat{45&28\\-28&45}\pmat{x\\y}+\pmat{0\\0}
[/mm]
[mm] \alpha_3(x,y)=\bruch{1}{5}(2 [/mm] − 3x + 4y, 5 + 4x + [mm] 3y)=\bruch{1}{5}(\pmat{-3&4\\4&3}\pmat{x\\y}+\pmat{2\\5})
[/mm]
Wäre in jedem Fall wesentlich weniger Arbeit als der andere Weg...
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:20 So 15.05.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Frage) überfällig | | Datum: | 15:31 Mo 16.05.2011 | | Autor: | Fawkes |
Bin jetzt einfach beide Weg durchgegangen und denke dass ich somit hinreichend gezeigt habe, dass die affinen Abb. eukl. Abb. sind.
Was mir für die vollständige Bearbeitung noch fehlt ist, dass ich eine Abb. als Hintereinanderausführung von Spiegelungen schreibe und bestimme wie viele Spiegelungen für jede der Abb. nötig sind.
Soweit ich weiß sind für keine Abb. mehr als 3 Spiegelungen nötig. Da dim=2 und somit ist jede längenerhaltene aff. Abb. Komposition von höchstens 2+1 Spiegelungen...
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:21 Mi 18.05.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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