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| Aufgabe | Es sei a [mm] \in \IR+ [/mm] beliebig gewählt und die Abbildung [mm] \alpha [/mm] a gegeben durch: [mm] \alpha [/mm] a: [mm] \IR [/mm] --> [mm] \IR [/mm] ;
x --> [mm] \alpha [/mm] a (x)= ax.
a) Zeigen Sie [mm] \alpha [/mm] a ist bijektiv für alle a [mm] \in \IR+.
[/mm]
b) Es bezeichne Abb [mm] (\IR, \IR) [/mm] die Menge aller Abbildungen von [mm] \IR [/mm] nach [mm] \IR.
[/mm]
Weiter sei [mm] \beta: \IR+ [/mm] --> Abb [mm] (\IR,\IR) [/mm] ; a --> [mm] \beta [/mm] (a)= [mm] \alpha [/mm] a.
Zeigen Sie: [mm] \beta [/mm] ist injektiv aber nicht surjektiv.
c) Zeigen Sie: [mm] \beta [/mm] ist ein Homomorphismus, d.h. es gilt
[mm] \forall [/mm] a,b [mm] \in \IR+: \beta (a*b)=\beta(a)\circ \beta [/mm] (b). |
So das sind Aufgaben die ich vorbereiten soll ... leider weiss ich wirklich nicht wie ich rangehen soll, weshalb ich sie jetzt hier online gestellt habe.. ich muss sie vortragen, deshalb wäre ich dankbar, wenn jmd. mit mir schritt für schritt die aufgabe durchgehen würde...
PS: Für Alpha und Beta standen eigentlich andere griechische Buchstaben, aber das ist nicht so schlimm oder? ... habe die Buchstaben hier nämlich nicht gefunden...
für jede hilfe bin ich dankbar... :(
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Welche Buchstaben Du nimmst, ist völlig egal.
Ich setze an einer Stelle einen Index - wahrscheinlich war das im Original sogar auch so.
Nicht gut ist es, daß Du keinerlei Lösungsansatz lieferst.
Wir wissen ja noch nicht einmal, ob Du die Definitionen von injektiv und surjektiv kennst.
Wir wollen auch von Dir sehen, was Du bisher versucht hast.
> Es sei a [mm]\in \IR+[/mm] beliebig gewählt und die Abbildung
> [mm] \alpha_a [/mm] gegeben durch: [mm] \alpha_a:[/mm] [mm]\IR[/mm] --> [mm]\IR[/mm] ;
> x --> [mm] \alpha_a(x):= [/mm] ax.
Hier wird eine Abbildung [mm] \alpha_a [/mm] definiert.
Sie bildet aus dem [mm] \IR [/mm] in den [mm] \IR [/mm] ab, undzwar derart, daß sie jeder reellen Zahl ihr [mm] \a-faches [/mm] zuordnet.
Für a=5 zum Beispiel hätte man also [mm] \alpha_5:\IR\to \IR [/mm] mit
[mm] \alpha_5(x):=5x.
[/mm]
> a) Zeigen Sie [mm] \alpha_a [/mm] ist bijektiv für alle a [mm]\in \IR+.[/mm]
Um Bijektivität zu zeigen, mußt Du "injektiv" und "surjektiv" nachweisen.
Definitionen?
Was ist also hier zu zeigen?
Erste Versuche?
Den anderen Aufgabenteil stellen wir zurück, bis dies hier klar ist.
Immer schön der Reihe nach.
Gruß v. Angela
>
> b) Es bezeichne Abb [mm](\IR, \IR)[/mm] die Menge aller Abbildungen
> von [mm]\IR[/mm] nach [mm]\IR.[/mm]
> Weiter sei [mm]\beta: \IR+[/mm] --> Abb [mm](\IR,\IR)[/mm] ; a --> [mm]\beta[/mm](a)= [mm] \alpha_a.
[/mm]
>
> Zeigen Sie: [mm]\beta[/mm] ist injektiv aber nicht surjektiv.
>
> c) Zeigen Sie: [mm]\beta[/mm] ist ein Homomorphismus, d.h. es gilt
> [mm]\forall[/mm] a,b [mm]\in \IR+: \beta (a*b)=\beta(a)\circ \beta[/mm] (b).
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surjektivität: wenn gitl: für alle y [mm] \in [/mm] Y existiert ein x [mm] \in [/mm] X: f(x)=y ..
wenn ich, wie du gesagt hast für x=5 setze wäre die surjektivität doch erfüllt, oder ? da ich für x=5 ein y ja habe ?
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Hallo s.,
> surjektivität: wenn gitl: für alle y [mm]\in[/mm] Y existiert ein
> x [mm]\in[/mm] X: f(x)=y .. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Wobei [mm]f(x)[/mm] hier [mm]\alpha_a(x)[/mm] ist ...
> wenn ich, wie du gesagt hast für x=5 setze ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Angela sagte etwas, von [mm]\red{a}=5[/mm], um dir ein Bsp. zu geben, wie die Funktion [mm]\alpha_a[/mm] für ein konkretes [mm]a>0[/mm] aussieht
> wäre die
> surjektivität doch erfüllt, oder ? da ich für x=5 ein y
> ja habe ?
Du sollst es für allg. [mm]a>0[/mm] zeigen!
Nimm dir ein beliebiges [mm]y\in\IR[/mm] her.
Wie kannst du ein [mm]x\in\IR[/mm] wählen, so dass [mm]\alpha_a(x)=y[/mm]
Also [mm]ax=y[/mm]
Doch mit [mm]x:=\frac{y}{a}[/mm]
Das ist wohldefiniert, da [mm]a>0[/mm] vorausgesetzt ist.
Somit hast du Surjektivität!
Probe: Sei [mm]y\in\IR[/mm] bel., wähle [mm]x:=\frac{y}{a}\in\IR[/mm]
Dann ist [mm]\alpha_a(x)=\alpha_a\left(\frac{y}{a}\right)=a\cdot{}\frac{y}{a}=y[/mm]
Passt!
Nun machst du mal die Injektivität!
Gruß
schachuzipus
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die definition für die injektivität wäre ja: für alle x1,x2 [mm] \in [/mm] X: f(x1)= f(x2) --> x1=x2 (oder x1 ungleich x2 --> f(x1) ungleich f(x2) )
mein ansatz: f(x) = [mm] \alpha [/mm] a(x) --> y ungleich ax ... wäre das der beweis daüfr, dass es injektiv ist...
wenn eine abbildung surjektiv und injektiv ist, ist es ja auch bijektiv... die bijektivität muss man dann aber nicht noch einmal extra beweisen oder?
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Hallo,
schau Dir beim schreiben des nächsten Posts mal die Eingabehilfen unterhalb des Eingabefensters an: man kann schöne Indizes schreiben und vieles mehr. Du willst es dem Leser und potentiellen helfer doch sicher angenehm machen?
> die definition für die injektivität wäre ja: für alle
> x1,x2 [mm]\in[/mm] X: f(x1)= f(x2) --> x1=x2 (oder x1 ungleich x2
> --> f(x1) ungleich f(x2) )
Ja.
Die Definition kannst Du also hinschreiben.
Jetzt mußt Du sie nur noch 1:1 anwenden, und nicht irgendein Gestammel produzieren...
>
>
> mein ansatz: f(x) = [mm]\alpha[/mm] a(x) --> y ungleich ax ... wäre
> das der beweis daüfr, dass es injektiv ist...
So, wie es jetzt dasteht, ist es kein Beweis für irgendwas, sondern ein Grund für einen hysterischen Anfall... Macht nichts!
Jetzt setze das, was Du oben über Injektivität schreibst, doch mal um.
Deine Funktion heißt jetzt nicht mehr f, sondern [mm] \alpha_a,
[/mm]
Dein [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] kommt nicht aus der Menge X sondern aus [mm] \IR.
[/mm]
Seien also [mm] x_1, x_2\in \IR [/mm] mit
[mm] \alpha_a(x_1)=\alpha_a(x_2)
[/mm]
==> ... = ... (Funktionswerte hinschreiben)
==> ????
> wenn eine abbildung surjektiv und injektiv ist, ist es ja
> auch bijektiv...
Ja.
> die bijektivität muss man dann aber nicht
> noch einmal extra beweisen oder?
Nein.
Gruß v. Angela
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[mm] \alpha [/mm] a (x1) = [mm] \alpha [/mm] a (x2)
ax1=ax2 .. wäre das so richtig ? .. muss ich das jetzt noch irgendwie umstellen ?
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Hallo,
gibt es einen Grund dafür, daß Du schon wieder ohne Indizes postest?
(Mir geht das echt auf den Wecker. Wir geben uns doch auch Mühe, Dir zu helfen.)
> [mm]\alpha[/mm] a (x1) = [mm]\alpha[/mm] a (x2)
>
> ax1=ax2 .. wäre das so richtig ?
Ja.
.. muss ich das jetzt
> noch irgendwie umstellen ?
Was ist denn Dein Ziel? Was willst Du herausbekommen?
Als kleine Hilfe kfür Dich selbst könntest Du zwischendurch mal die Injektivität von [mm] \alpha_5 [/mm] zeigen. Da wirst Du nämlich sofort wissen, was zu tun ist, wenn Du an obiger Stelle angekommen bist.
Gruß v. Angela
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ich will zeigen dass f(x1) = f (x2) ist ... soll ich für a=5 einsetzen ?
5x1=5x2 ... dann könnte man durch 5 teilen und man hätte x1=x2 .. somit wäre bewiesen dass es injektiv ist, oder?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:36 Do 18.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> ich will zeigen dass f(x1) = f (x2) ist ... soll ich für
> a=5 einsetzen ?
>
> 5x1=5x2 ... dann könnte man durch 5 teilen und man hätte
> x1=x2 .. somit wäre bewiesen dass es injektiv ist, oder?
Was willst Du mit der 5 ?
[mm] $\alpha_a(x_1)= \alpha_a(x_2)$ \gdw $ax_1=ax_2$
[/mm]
Jetzt nutze aus, dass a [mm] \ne [/mm] 0 ist.
FRED
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> > ich will zeigen dass f(x1) = f (x2) ist ... soll ich für
> > a=5 einsetzen ?
> >
> > 5x1=5x2 ... dann könnte man durch 5 teilen und man hätte
> > x1=x2 .. somit wäre bewiesen dass es injektiv ist, oder?
>
> Was willst Du mit der 5 ?
Er ist bloß meinem guten Rat gefolgt...
Allerdings hat der Transfer nicht so geklappt.
Jetzt bin ich meinem Vorsatz untreu geworden: solange sormanehaldeyim keine Indizes spendiert, wollt' ich nix mehr sagen.
Gruß v. Angela
>
> [mm]\alpha_a(x_1)= \alpha_a(x_2)[/mm] [mm]\gdw[/mm] [mm]ax_1=ax_2[/mm]
>
> Jetzt nutze aus, dass a [mm]\ne[/mm] 0 ist.
>
> FRED
>
>
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