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Abbildungen Eigenschaften: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Date: 17:15 Sa 18/11/2017
Author: Dimmest

Aufgabe 1
(a) Es sei R [mm] \subseteq [/mm] A [mm] \times [/mm] B eine Relation. Zeigen Sie:

R ist rechtseindeutig [mm] \gdw [/mm] R^- (B1 [mm] \cap [/mm] B2) = R^- (B1) [mm] \cap [/mm] R^-(B2)

für alle Mengen B1, B2 [mm] \subseteq [/mm] B


(R^- = "R hoch Minus", Inverses (y,x) falls (x,y) in R)

Aufgabe 2
(b) Es sei f: X -> Y eine Abbildung. Zeigen Sie:

f ist injektiv [mm] \gdw [/mm] für jede Teilmenge A [mm] \subseteq [/mm] X gilt f(not(A)) = not(f(A))

wobei das Komplement bezüglich eines gemeinsamen Universums U genommen wird.


("not" = Strich über dem Term = Komplement)

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

(a) Den Beweis des rechten Teils findet man fast überall für den Fall, dass man mit Funktionen arbeitet. Aber hier liegt ja noch keine Funktion (linkstotal + rechtseindeutig) vor, sondern erst eine Relation.

Ohne weitere Erklärung habe ich noch gefunden R ist linkseindeutig [mm] \gdw [/mm] R^- ist rechtseindeutig. Ob der Umkehrfall gilt oder ob mir das hilft weiss ich aber nicht.

Ich könnte einen elementweisen Beiweis für die rechte Seite führen, aber da fällt mir kein offensichtlicher Fehler auf, falls R nicht rechtseindeutig ist (auch nicht wenn R nicht linkseindeutig). Also gerade nicht: jedes Element aus A hat höchstens einen Partner in B)

Hat jemand da einen Tipp wie ich anfangen kann?


(b) Ich bin so weit bekommen, dass injektiv = linkseindeutig (= jedes Element aus Y hat höchstens einen Partner in X). Wenn ich mir eine Skizze male kann ich es auch nachvollziehen: Wenn 2 unterschiedliche x1,x2 auf das gleiche y zeigen würden, so wäre es möglich, dass x1 in A und x2 in not(A) liegt und die Gleichung wäre nicht mehr erfüllt. Nur wie schreibt man sowas ordentlich auf?

        
Bezug
Abbildungen Eigenschaften: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Statement) No reaction required Status 
Date: 17:20 Di 21/11/2017
Author: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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