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Hi,
Ist die Abbildung F = {(x,y) : x,y [mm] \in [/mm] R mit [mm] y=x^m, [/mm] m [mm] \in [/mm] N} eine Funktion? Wenn ja, ist sie surjektiv, injektiv oder bijektiv?
Also die Bedeutung von surjektiv, injektiv oder bijektiv ist mir bekannt und ich kann das auch bei den Aufgaben zuordnen wo die Abbildungen aufgelistet sind. Jedoch fällt es mir doch oft recht schwer eine Abbildung wie oben überhaupt zu lesen und zu verstehen. Ich versuche das so zu lesen:
(x,y) = Ein Element einer Menge?
: = Was heißt der Doppelpunkt in diesem Kontext?
x,y [mm] \in [/mm] R = x und y sind Elemente der Menge R
mit = was sagt "mit" genau aus? bezieht sich das nur auf R oder den ganzen vorderen Teil?
[mm] y=x^m [/mm] = eine Funktion
m [mm] \in [/mm] N = das m in dieser Funktion ist eine natürliche Zahl
Die Lösung liegt mir ansich vor, aber ich kann sie nicht verstehen solange ich nicht mal die Abbildung richtig lesen und verstehen kann. Vielleicht kann mir ja jemand erst versuchen die Einzelbedeutungen und dann die gesamte Abbildung zu erklären. Danach bin ich hoffentlich in der Lage die Aufgabe/Lösung zu verstehen und kann, falls nötig dann noch Fragen dazu stellen.
Gruß
Andreas
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Hallo Andreas!
Also, lösen kann ich deine Aufgabe leider nicht, aber wie du die Funktion lesen musst, das kann ich dir sagen. 
> Ist die Abbildung F = {(x,y) : x,y [mm] \in [/mm] R mit [mm] y=x^m, [/mm] m [mm] \in [/mm] N} eine Funktion? Wenn ja, ist sie surjektiv, injektiv oder
> bijektiv?
>
> (x,y) = Ein Element einer Menge?
Naja, also im Prinzip ist das ein Tupel (auch Paar genannt). Das bedeutet, das du zwei Elemente hast, die jeweils aus einer bestimmten Menge mit bestimmen Eigenschaften sind. Du könntest also zum Beispiel auch ein Tuper (x,y) nehmen, wobei du sagst: "x soll ein Element von Tieren sein, also vielleicht ein Elefant, und y ein Obst, also vielleicht eine Banane" (frag mich nicht, wie ich gerade auf Elefant und Banane komme, aber zur Auflockerung der sonst so trockenen Mathematik doch mal ganz schön, oder? )
Na, also jedenfalls müssen diese x und y einer Menge angehören, und welcher, das wird im Folgenden gesagt. (Noch ne kurze Erläuterung: (x,y) [mm] \not= [/mm] {x,y}. Der Unterschied liegt darin, dass (x,y) geordnet ist, das heißt, die Reihenfolge spielt eine Rolle, also [mm] (x,y)\not=(y,x), [/mm] aber {x,y} ist eine Menge, und bei Mengen ist die Reihenfolge egal! (es kann hier sogar mehrmals dasselbe Element drinstehen, ohne dass sich die Menge ändert, denn laut Definition ist in einer Menge jedes Element nur einmal vorhanden.)aber ich glaube, das brauchst du hierfür gar nicht)
> : = Was heißt der Doppelpunkt in diesem Kontext?
Der Dopperlpunkt bedeutet so viel wie "mit der Eigenschaft", oder "sodass" (manchmal wird auch ein senkrechter Strich "|" verwendet oder ein Komma oder Semikolon, lass dich davon nicht abschrecken. Das ist einfach das Zeichen dafür, dass jetzt gesagt wird, welchen Mengen die Variablen, also x und y, angehören, und somit, welche Eigenschaften sie haben.
> x,y [mm]\in[/mm] R = x und y sind Elemente der Menge R
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> mit = was sagt "mit" genau aus? bezieht sich das nur auf R
> oder den ganzen vorderen Teil?
Bei so einer Definition gehört immer alles, was in den geschweiften Klammern steht, zusammen. Das hießt hier: deine x und y sind ja aus [mm] \IR [/mm] (das hast du gerade selbst gesagt), außerdem haben sie die Eigenschaft, dass ... (das bedeutet das "mit"). Hier steht manchmal auch "sodass" oder gar nichts. Aber es bedeutet immer dasselbe, nämlich dass angegeben wird, welche "Eigenschaften" die Variablen haben.
> [mm]y=x^m[/mm] = eine Funktion
bzw. die Eigenschaften deiner Variablen
> m [mm]\in[/mm] N = das m in dieser Funktion ist eine natürliche
> Zahl
Ich hoffe, das hilft dir weiter...
Was mich bei dieser Aufgabe allerdings wundert, ist, wie die Aufgabe geschrieben ist. Ich würde es eigentlich eher so schreiben:
[mm] f(x)=x^m [/mm] - verstehst du das eher?
Ich habe auch erst gerade gemerkt, warum das so ist: und zwar gibt das F ja eine ganze Menge an, nämlich die Tupel (x,y) mit obiger Eigenschaft. Nun ist aber ein Tupel (x,y) auch dafür da, um den Graphen einer Funktion zeichnen zu können, du gehst nämlich auf der x-Achse den x-Wert ab und dann auf der y-Achse den y-Wert, aber das weißt du ja. Es ist also jedem x genau ein y zugeordnet, und das ist im Prinzip genau das, was auch deine Menge aussagt.
Mmh, irgendwie ne komische Aufgabenstellung, aber wahrscheinlich war sie genau dafür da...
Viele Grüße
Bsatiane
![[winken]](/images/smileys/winken.gif "[winken]")
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> Also, lösen kann ich deine Aufgabe leider nicht, aber wie
> du die Funktion lesen musst, das kann ich dir sagen.
Ok, du hast mir schon recht viel geholfen. Vielleicht sind wir ja zusammen in der Lage die Lösung zu vestehen. Ich schreibe sie jetzt erst mal so ab.
Lösung:
F={(x,y):x,y [mm] \in [/mm] R mit [mm] y=x^m, [/mm] m [mm] \in [/mm] N} ist eine Funktion, da die Zuordnung x [mm] \to y=x^m [/mm] eindeutig ist.
[mm] F^{-1}={(y,x):(x,y) \in F}={(y,x):y=x^m \in N}
[/mm]
Da die inverse Abbildung [mm] F^{-1} [/mm] ist in Abhängigkeit von den gewählten m [mm] \in [/mm] N zu untersuchen:
(a) m gerade:
[mm] F_m^{-1} [/mm] nicht eindeutig
denn: [mm] x^m=(-x)^m [/mm] und folglich [mm] (x^m, [/mm] x) [mm] \in F_m^{-1} [/mm] und [mm] (x^m, [/mm] -x) [mm] \in F_m^{-1}
[/mm]
d.h. [mm] F_m [/mm] , m gerade, ist nicht surjektiv, also auch nicht bijektiv.
[mm] F_m [/mm] : R [mm] \to R^{+} [/mm] Also nicht injektiv.
(b) m ungerade:
[ [mm] \wurzel{y},y \ge [/mm] 0 ]
[mm] F_m^{-1}=(y,x):x [/mm] = [ ,x,y [mm] \in [/mm] R ] ist eindeutig,
[ [mm] -\wurzel{y},y [/mm] < 0 ]
d.h. [mm] F_m [/mm] ungerade, ist surjektiv und injektiv, also auch bijektiv.
(Sorry für die Klammern oben, aber das mit den Kammern hab ich nicht hinbekommen. [ ] soll eine große geschweifte sein. Außerdem ist es immer die m-te Wurzel)
Ok, soweit kompliziert geschwafelt und was einfaches gemeint. Ich denke es ist so wie du schon gemeint hast. Ich untersuche also die Inverse Funktion von [mm] f(x)=x^m [/mm] auf gerade und ungerade m. Also einfaches Beispiel hab ich jetzt mal [mm] f(x)=5^2 [/mm] und [mm] f(x)=5^3 [/mm] genommen:
m gerade:
[mm] f(x)=5^2 [/mm] = 25
[mm] f(x)=\wurzel{25}=5
[/mm]
[mm] f(x)=(-5)^2=25
[/mm]
[mm] f(x)=\wurzel{25}=5
[/mm]
also kann man schon mal durch probieren sagen es ist nicht bijektiv, also auch nicht surjektiv und injektiv.
m ungerade:
[mm] f(x)=5^3 [/mm] = 125
[mm] f(x)=\wurzel[3]{125}=5
[/mm]
[mm] f(x)=(-5)^3=-125
[/mm]
[mm] f(x)=\wurzel[3]{-125}=-5
[/mm]
Die Funktion scheint also eine Umkehrfunktion zu haben und ist also bijektiv. Dadurch also zusätzlich auch surjektiv und injektiv.
Stimmt meine Erklärung so?
Erstes Problem war, dass ich aus dieser Aufgabenstellung nie gesehen hätte, dass man die Funktion auf gerade und ungerade m untersuchen muss. Wäre es auch legitim die Aufgabe mit einem Beispiel von der anderen Seite anzugehen wie ich es versucht habe?
Gruß
Andreas
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Deine Schreibweise stimmt bei "m gerade" nicht, aber das, was du dir dabei gedacht hast, schon.
Da du zwei verschiedene x-Werte finden kannst, so dass die y-Werte gleich sind, ist die Funktion nicht injektiv.
Und da [mm]x^m[/mm] für gerades m keine negativen Werte annehmen kann, ist f als Funktion [mm]f:\IR \to \IR[/mm] auch nicht surjektiv.
Wenn man zeigen soll, dass eine Behauptung nicht stimmt, dann reicht es schon, ein Gegenbeispiel anzugeben.
Anhand eines Beispiels versuchen, etwas zu beweisen, das wahr ist, geht allerdings nicht, deswegen ist deine Vorgehensweise bei "m ungerade" so nicht möglich ("bloß, weil's in deinem gewählten Fall stimmt, muss es nicht immer richtig sein").
Hier muss man eben "ganz ausführlich" vorgehen, wie's in deiner abgetippten Lösung gemacht wurde.
Dass Ziehen einer ungeraden Wurzel ist eindeutig, dadurch kann man auf die Injektivität der Funktion schließen.
Und bei [mm]x^m[/mm] für ungerades m gilt auch: [mm]\limes_{x\rightarrow-\infty}=-\infty[/mm], und [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}=\infty[/mm]. Da diese Funktion stetig ist, ist die auch surjektiv.
Bei dieser Aufgabe gibt's leider keine andere Möglichkeit, als zu sehen, dass man m nach 'gerade' und 'ungerade' aufspalten muss.
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![[]](/images/popup.gif){kind=small}
http://de.wikipedia.org/wiki/Funktion_(Mathematik)![[mussweg]](/images/smileys/mussweg.gif "[mussweg]"){kind=small}
. Aber vielleicht genügt es ja auch schon...
