matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenUni-SonstigesAbbildungen/Rekursion
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Deutsch • Englisch • Französisch • Latein • Spanisch • Russisch • Griechisch
Forum "Uni-Sonstiges" - Abbildungen/Rekursion
Abbildungen/Rekursion < Sonstiges < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Sonstiges"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Abbildungen/Rekursion: Übungsaufgabe 1
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:39 Do 04.11.2010
Autor: Blackpearl

Aufgabe
Die Abbildungen [mm]f,g: \IN_0 \to \IN_0[/mm] seien folgendermaßen definiert:
[mm] f(0) =0, f(1) = 1, f(n) = 3f(n-1) - 2f(n-2)[/mm] für alle [mm] n \ge 2[/mm], bzw.
[mm] g(0) = 0, g(n) = g(n-1) + 2^{n-1}[/mm] für alle [mm] n \ge 1.[/mm]

Zeigen Sie, dass [mm]f = g[/mm] gilt, d.h. beide Rekursionsvorschriften stellen dieselbe Funktion dar.
Geben Sie eine explizite Formel für [mm]f(n)[/mm] an, d.h. eine Funktionsvorschrift, die nicht rekursiv
definiert ist.

Verdammt!

Ich sitz hier seit ca. 1 Stunde und was einfach nicht was ich tun soll? Jemand der mir einen anstupser in die richtige Richtung geben kann?

Was ist an Wissen vorrausgesetzt, schaue mir grad Rekursion und Abbildungen genauer an in meinem Buch.

Ich geh erstmal davon aus das ich f=g setzen muss also die beiden Vorschriften erstmal aufschreiben auf beiden Seiten. Geht es um eine Äquivalenzrelation oder was soll das ganze?


        
Bezug
Abbildungen/Rekursion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:39 Do 04.11.2010
Autor: abakus


> Die Abbildungen [mm]f,g: \IN_0 \to \IN_0[/mm] seien folgendermaßen
> definiert:
>  [mm]f(0) =0, f(1) = 1, f(n) = 3f(n-1) - 2f(n-2)[/mm] für alle [mm]n \ge 2[/mm],
> bzw.
>  [mm]g(0) = 0, g(n) = g(n-1) + 2^{n-1}[/mm] für alle [mm]n \ge 1.[/mm]
>  
> Zeigen Sie, dass [mm]f = g[/mm] gilt, d.h. beide

Also muss f(0)=g(0) gelten (das tut es),
außerdem f(1)=g(1) (tut es das?),
und letztendlich müsste
f(n) =g(n) sein.
Nun gilt
g(n)=g(n-1) + [mm] 2^{n-1} [/mm]
und
f(n) = 3f(n-1) - 2f(n-2)
Letzteres kann man auseinandernehmen zu
f(n)= f(n-1)+2f(n-1)-2f(n-2)
Zu zeigen wäre (wegen f(n)=g(n)) also die Übereinstimmung der hinteren Teile.
Weise nach, dass [mm] 2f(n-1)-2f(n-2)=2^{n-1} [/mm] gilt.
Gruß Abakus

> Rekursionsvorschriften stellen dieselbe Funktion dar.
>  Geben Sie eine explizite Formel für [mm]f(n)[/mm] an, d.h. eine
> Funktionsvorschrift, die nicht rekursiv
>  definiert ist.
>  Verdammt!
>  
> Ich sitz hier seit ca. 1 Stunde und was einfach nicht was
> ich tun soll? Jemand der mir einen anstupser in die
> richtige Richtung geben kann?
>  
> Was ist an Wissen vorrausgesetzt, schaue mir grad Rekursion
> und Abbildungen genauer an in meinem Buch.
>  
> Ich geh erstmal davon aus das ich f=g setzen muss also die
> beiden Vorschriften erstmal aufschreiben auf beiden Seiten.
> Geht es um eine Äquivalenzrelation oder was soll das
> ganze?
>  


Bezug
                
Bezug
Abbildungen/Rekursion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 04:39 Sa 06.11.2010
Autor: Blackpearl

f(n) = 3f(n-1) - 2f(n-2)
Letzteres kann man auseinandernehmen zu
f(n)= f(n-1)+2f(n-1)-2f(n-2)



Kannst du darauf nochmal eingehen? Versteh den Schritt nicht!

Bezug
                        
Bezug
Abbildungen/Rekursion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:16 Sa 06.11.2010
Autor: abakus


> f(n) = 3f(n-1) - 2f(n-2)
>  Letzteres kann man auseinandernehmen zu
>  f(n)= f(n-1)+2f(n-1)-2f(n-2)
>
>
>
> Kannst du darauf nochmal eingehen? Versteh den Schritt
> nicht!

Hallo,
ich habe lediglich
3*f(n-1)
zerlegt in  
1*f(n-1) + 2*f(n-1)

Gruß Abakus



Bezug
                                
Bezug
Abbildungen/Rekursion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:09 So 07.11.2010
Autor: emse88

Also ich sitze gerade an der gleichen Aufgabe.
Ich weiß zwar noch nicht, wie ich f=g zeige, ich habe
aber schonmal ne Vorschrift ohne Rekursion gefunden.

Ist h(x) = 2*(2^(x-1))-1 korrekt? Bis x=5 stimmt es überein.

Bezug
                                        
Bezug
Abbildungen/Rekursion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:05 So 07.11.2010
Autor: angela.h.b.


> Also ich sitze gerade an der gleichen Aufgabe.
>  Ich weiß zwar noch nicht, wie ich f=g zeige, ich habe
>  aber schonmal ne Vorschrift ohne Rekursion gefunden.
>  
> Ist h(x) = 2*(2^(x-1))-1 korrekt? Bis x=5 stimmt es
> überein.

Hallo,

[willkommenmr].

Deine Vorschrift stimmt, es ist [mm] h(n)=2^n-1. [/mm]

Beweise jetzt per Induktion [mm] f(n)=2^n-1, g(n)=2^n-1. [/mm]

Dann müssen ide Funktionen ja wohl oder übel gleich sein..

Gruß v. Angela




Bezug
                                                
Bezug
Abbildungen/Rekursion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:48 So 07.11.2010
Autor: emse88

Also ich weißb zwar, wie eine vollst. Induktion geht, habe dies aber bis jetzt nur mit Folgen gemacht. Wie muss ich die Induktion im I.S. aufbauen, wenn ich auf der linken Seite eine rekursive Abbildung habe und rechts dann eben [mm] (2^n)-1? [/mm]

Bezug
                                                        
Bezug
Abbildungen/Rekursion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:56 So 07.11.2010
Autor: angela.h.b.


> Also ich weißb zwar, wie eine vollst. Induktion geht, habe
> dies aber bis jetzt nur mit Folgen gemacht.

Hallo,

dann liegst Du mit dieser Aufgabe goldrichtig!

f und g bilden doch beide aus den natürlichen Zahlen heraus ab - nichts anderes sind Folgen: Abbildungen aus dem [mm] \IN [/mm] in eine andere Menge.

Wenn's Dir besser bekömlich ist, kannst Du auch schreiben [mm] a_n:=f(n) [/mm] und [mm] b_n:=g(n), [/mm] und ziehst dann das Ding durch.

> Wie muss ich
> die Induktion im I.S. aufbauen, wenn ich auf der linken
> Seite eine rekursive Abbildung habe und rechts dann eben
> [mm](2^n)-1?[/mm]  

Genauso, wie Du es kennst:

Induktionsbehauptung: es ist [mm] f(n+1)=2^{n+1}-1. [/mm]

Beweis:

f(n+1)=3f(n)-2f(n)  [mm] \qquad [/mm] (Rekursion)

= ... - ... [mm] \qquad [/mm] (Induktionsannahme)

= ...

Gruß v. Angela


Bezug
                                                                
Bezug
Abbildungen/Rekursion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:26 So 07.11.2010
Autor: emse88

Danke, habe es jetzt hinbekommen. Man muss bei der Umformung einmal ziemlich um die Ecke denken, aber wenn mans hat, ist es einfach, wie immer. ^.^

Bezug
                                                                        
Bezug
Abbildungen/Rekursion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:28 So 07.11.2010
Autor: Rudy


O.O wie hast du es gelöst???
Ich hab es immernoch nicht geschaft.


Bezug
                                                                                
Bezug
Abbildungen/Rekursion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:30 So 07.11.2010
Autor: angela.h.b.


>
> O.O wie hast du es gelöst???
>  Ich hab es immernoch nicht geschaft.


Hallo,

vielleicht zeigst Du mal, wie weit Deine Induktion gediehen ist und an welcher Stelle genau Du hängst.

Gruß v. Angela


Bezug
                                                                
Bezug
Abbildungen/Rekursion: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 21:54 So 07.11.2010
Autor: Blackpearl

die letzten beiden schritte die du mit "...." angedeutet hast, kannst du mir dazu mal weiterhelfen?

was setze ich jetzt für das k ein also den laufindex in der induktion? was mach ich ausserdem mit dem f?

Bezug
                                                                        
Bezug
Abbildungen/Rekursion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:06 So 07.11.2010
Autor: angela.h.b.


> die letzten beiden schritte die du mit "...." angedeutet
> hast, kannst du mir dazu mal weiterhelfen?

Hallo,

dann bereite alles vor, damit man Dir gut weiterhelfen kann.

Es war f wie definiert?

Diezu zeigende Aussage ist welche?

BEWEIS (durch Induktion)

Induktionsanfang: ...

Induktionsannahme: Es sei ... für ...

Induktionsbehauptung: Dann gilt ...

  Beweis: Es ist f(n+1)= ...

Gruß v. Angela




>  
> was setze ich jetzt für das k ein also den laufindex in
> der induktion? was mach ich ausserdem mit dem f?


Bezug
                                                                                
Bezug
Abbildungen/Rekursion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:24 So 07.11.2010
Autor: Blackpearl

f war definiert als
[mm] f = 2^n -1[/mm]

die zu zeigende behauptung ist:
[mm] f(n+1)=3f(n) -2f(n)[/mm]

aber auf die vollstaendige induktion komm ich nicht klar ich weiss einfach garnicht was ich da tun soll

Bezug
                                                                                        
Bezug
Abbildungen/Rekursion: editiert
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:31 So 07.11.2010
Autor: angela.h.b.


> f war definiert als
> [mm]f\red{ (n)}= 2^n -1[/mm]
>  
> die zu zeigende behauptung ist:
>  [mm]f(n+1)=3f(n) -2f(n\red{-1})[/mm]

EDIT:  Nein! f war definiert (!) durch f(0):=0, f(1):=1, f(n):=3f(n-1)-2f(n-2).
Da gibt's nix zu zeigen.

Zu zeigen ist, daß [mm] f(n)=2^n-1 [/mm] richtig ist.

>  
> aber auf die vollstaendige induktion komm ich nicht klar
> ich weiss einfach garnicht was ich da tun soll

Hallo,

dann nimm Dir jetzt erstmal ein schlaues Buch o.ä., lies Dich schlauer und starte einen Versuch. Bei MBInduktion müßte es auch erklärt sein.

Gruß v. Angela


Bezug
                                                                                                
Bezug
Abbildungen/Rekursion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:38 So 07.11.2010
Autor: Blackpearl

ok dann mal zum induktionsanfang.. der stimmt doch dann nichmehr?

bei n=1 z.B.:
f(1+1)= 3f(1) - 2f(1)
2 = 1  (f) ???

Bezug
                                                                                                        
Bezug
Abbildungen/Rekursion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 05:41 Mo 08.11.2010
Autor: angela.h.b.


> ok dann mal zum induktionsanfang.. der stimmt doch dann
> nichmehr?

Hallo,

Du willst doch die Behauptung [mm] f(n)=2^n-1 [/mm] beweisen.

f(n)=3f(n-1) - 2f(n-2) ist nichts, was man beweisen muß, sondern Teil der Definition der Funktion/Folge.
Schreib Dir doch mal die ersten 10 Funktionswerte auf, damit Du kapierst, was eine rekursiv definierte Funktion ist.

Die zu beweisende Behauptung ist also [mm] f(n)=2^n-1. [/mm]

In Induktionsanfang mußt Du also vorrechnen, daß [mm] f(1)=2^1-1 [/mm] richtig ist.
f(1) entnimmst Du der Definition von f, [mm] 2^1-1 [/mm] rechnest Du aus.

Dann mach weiter mit Induktionsannahme usw.

Gruß v. Angela







Bezug
        
Bezug
Abbildungen/Rekursion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 05:04 Sa 06.11.2010
Autor: angela.h.b.


> Die Abbildungen [mm]f,g: \IN_0 \to \IN_0[/mm] seien folgendermaßen
> definiert:
>  [mm]f(0) =0, f(1) = 1, f(n) = 3f(n-1) - 2f(n-2)[/mm] für alle [mm]n \ge 2[/mm],
> bzw.
>  [mm]g(0) = 0, g(n) = g(n-1) + 2^{n-1}[/mm] für alle [mm]n \ge 1.[/mm]
>  
> Zeigen Sie, dass [mm]f = g[/mm] gilt, d.h. beide
> Rekursionsvorschriften stellen dieselbe Funktion dar.
>  Geben Sie eine explizite Formel für [mm]f(n)[/mm] an, d.h. eine
> Funktionsvorschrift, die nicht rekursiv
>  definiert ist.

Hallo,

es sind hier zwei Funktionen rekursiv angegeben, dh. es wird gesagt, wie man einen Funktionswert jeweils durch Rückgriff auf vorhergehende Funktionswerte berechnen kann.

Mein Vorschlag: such' erstmal die explzite Funktionsvorschrift.
(Explizite Vorschift ist sawas wie [mm] h(x):=x^2+5 [/mm] oder [mm] h(x):=sin(3x)+e^{4711\wurzel{2}} [/mm]

Diese Vorschrift findet man hier recht leicht.
Rechne einfach mal die ersten 10 Funktionswerte von f aus.

f(0)=0
f(1)=1
f(2)=...
[mm] \vdots [/mm]

Nun schöpfe einen Verdacht, wie die Funktionsvorschrift lautet: f(n):=...

Beweise diese Formel nun duch vollständige Induktion.

Beweise dann duch vollständige Induktion, daß g(n) dieselbe explizite Darstellung hat.

Gruß v. Angela


Bezug
        
Bezug
Abbildungen/Rekursion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:43 Mo 08.11.2010
Autor: felixf

Moin!

> Die Abbildungen [mm]f,g: \IN_0 \to \IN_0[/mm] seien folgendermaßen
> definiert:
>  [mm]f(0) =0, f(1) = 1, f(n) = 3f(n-1) - 2f(n-2)[/mm] für alle [mm]n \ge 2[/mm],
> bzw.
>  [mm]g(0) = 0, g(n) = g(n-1) + 2^{n-1}[/mm] für alle [mm]n \ge 1.[/mm]
>  
> Zeigen Sie, dass [mm]f = g[/mm] gilt, d.h. beide
> Rekursionsvorschriften stellen dieselbe Funktion dar.
>  Geben Sie eine explizite Formel für [mm]f(n)[/mm] an, d.h. eine
> Funktionsvorschrift, die nicht rekursiv
>  definiert ist.
>  Verdammt!
>  
> Ich sitz hier seit ca. 1 Stunde und was einfach nicht was
> ich tun soll? Jemand der mir einen anstupser in die
> richtige Richtung geben kann?

Gleichheit zeigt man schnell per Induktion:

Gilt die Behauptung fuer alle $n' < n$, so ist $f(n) = 3 f(n - 1) - 2 f(n - 2) = 3 g(n - 1) - 2 g(n - 2) = 3 g(n - 2) + 3 [mm] \cdot 2^{n-2} [/mm] - 2 g(n - 2) = g(n - 2) + [mm] 2^{n - 2} [/mm] + 2 [mm] \cdot 2^{n-2} [/mm] = g(n - 1) + [mm] 2^{n-1} [/mm] = g(n)$.

Und die Formel leitet man via $g(n)$ her: es ist $g(n) = g(n - 1) + [mm] 2^{n-1} [/mm] = g(n - 2) + [mm] 2^{n-2} [/mm] + [mm] 2^{n-1} [/mm] = [mm] \dots [/mm] = 0 + [mm] 2^0 [/mm] + [mm] 2^1 [/mm] + [mm] \dots [/mm] + [mm] 2^{n-1} [/mm] = [mm] \sum_{k=0}^{n-1} 2^k$. [/mm]

Nach der geometrischen Summenformel ist das gleich [mm] $\frac{2^n - 1}{2 - 1} [/mm] = [mm] 2^n [/mm] - 1$.

LG Felix


Bezug
                
Bezug
Abbildungen/Rekursion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:00 Do 11.11.2010
Autor: jikz

Hallo!

Wäre es möglich, dass Du diesen Ausdruck:

> Gilt die Behauptung fuer alle [mm]n' < n[/mm], so ist [mm]f(n) = 3 f(n - 1) - 2 f(n - 2) = 3 g(n - 1) - 2 g(n - 2) = 3 g(n - 2) + 3 \cdot 2^{n-2} - 2 g(n - 2) = g(n - 2) + 2^{n - 2} + 2 \cdot 2^{n-2} = g(n - 1) + 2^{n-1} = g(n)[/mm].

noch einmal erläuterst und inwiefern das etwas mit Induktion zu tun hat? Ich hab's versucht nachzuvollziehen, stehe aber irgendwie auf dem Schlauch.

Beim ersten Schritt

[mm]f(n) = 3 f(n - 1) - 2 f(n - 2) = 3 g(n - 1) - 2 g(n - 2)[/mm]

dachte ich mir, dass davon ausgegangen wird, dass f(n) = g(n), also ist es logisch, dass die f funktion durch die g funktion getauscht werden kann.

Beim nächsten Schritt versteh ich aber nicht mehr ganz was die Absicht war? geht es um einen Induktionsschritt von n-2 auf n-1?

[mm]3 g(n - 2) + 3 \cdot 2^{n-2} - 2 g(n - 2)[/mm]

Wie entsteht das [mm]3 \cdot 2^{n-2}[/mm]?

Es wäre toll, wenn Du da noch einmal etwas ausführlicher andeuten könntest, wie genau Deine Argumentation hier funktioniert.

> Nach der geometrischen Summenformel ist das gleich
> [mm]\frac{2^n - 1}{2 - 1} = 2^n - 1[/mm].

Was genau ist hier gleich? Ich meine - was hast Du in die geo. Summenformel eingesetzt und womit gleich gesetzt (bzw. aus welcher Stelle den Ausdruck genommen)?

Sorry, dass ich so grundlegende Dinge frage und grad eher wenige Zusammenhänge sehe. Ich bin jedoch sehr daran interessiert die Gedankengänge nachvollziehen zu können.

> LG Felix
>  

Grüße zurück, Thomas

Bezug
                        
Bezug
Abbildungen/Rekursion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 05:50 Do 11.11.2010
Autor: angela.h.b.


> Hallo!
>  
> Wäre es möglich, dass Du diesen Ausdruck:
>  
> > Gilt die Behauptung fuer alle [mm]n' < n[/mm], so ist [mm]f(n) = 3 f(n - 1) - 2 f(n - 2) = 3 g(n - 1) - 2 g(n - 2) = 3 g(n - 2) + 3 \cdot 2^{n-2} - 2 g(n - 2) = g(n - 2) + 2^{n - 2} + 2 \cdot 2^{n-2} = g(n - 1) + 2^{n-1} = g(n)[/mm].
>  
> noch einmal erläuterst und inwiefern das etwas mit
> Induktion zu tun hat? Ich hab's versucht nachzuvollziehen,
> stehe aber irgendwie auf dem Schlauch.

Hallo,

wir haben

$ f(0) =0, f(1) = 1, f(n) = 3f(n-1) - 2f(n-2) $ für alle $ n [mm] \ge [/mm] 2 $, bzw.
$ g(0) = 0, g(n) = g(n-1) + [mm] 2^{n-1} [/mm] $ für alle $ n [mm] \ge [/mm] 1. $

Das ist Definition, hier gibt es nichts zu beweisen.

Per Induktion soll nun bewiesen werden die

Beh.: f(n)=g(n) für alle [mm] n\in \IN [/mm]

I.A.: ... paßt.

Induktionsvoraussetzung:  
es sei [mm] n\in \IN, [/mm] und
es gelte f(k)=g(k)  für alle [mm] 0\le k\le [/mm] n-1.

[Bem: dann gilt die Aussage insbes. für k=n-1 und  k=n-2]

Induktionsschluß:

zu zeigen: dann ist auch f(n)=g(n)

Bew.

> $f(n) = 3 f(n - 1) - 2 f(n - 2)

   das ist die  Def. von f

> = 3 g(n - 1) - 2 g(n - 2)

   Hier wird die Induktionsannahme benutzt

> = 3 g(n - 2) + 3 [mm] \cdot 2^{n-2} [/mm] - 2 g(n - 2)
Das ist die Def. von g, verwendet für g(n-1)

> = g(n - 2) + [mm] 2^{n - 2} [/mm] + 2 [mm] \cdot 2^{n-2} [/mm]

   Termumformung

> = g(n - 1) + [mm] 2^{n-1} [/mm] = g(n)$.

  Def. von g, verwendet für g(n-1)


>  
> > Nach der geometrischen Summenformel ist das gleich
> > [mm]\frac{2^n - 1}{2 - 1} = 2^n - 1[/mm].
>  
> Was genau ist hier gleich? Ich meine - was hast Du in die
> geo. Summenformel eingesetzt und womit gleich gesetzt (bzw.
> aus welcher Stelle den Ausdruck genommen)?

Ich weiß nicht, ob es Dir ganz klar ist: der Beweis für die Gleichheit von f und g ist nun abgeschlossen.

Felix' nächstes Ziel ist die Herleitung der expliziten Darstellung von g.

Er stellt fest, daß $ g(n) =  [mm] \sum_{k=0}^{n-1} 2^k [/mm] $, und nutzt hierfür dann die Formel für die endl. geometr. Reihe.


> Sorry, dass ich so grundlegende Dinge frage und grad eher
> wenige Zusammenhänge sehe. Ich bin jedoch sehr daran
> interessiert die Gedankengänge nachvollziehen zu können.

Ich weiß nicht, wieviel Du gelesen hast im Thread.
Mein Lösungsvorschlag war etwas anders:
1.Experimentell eine Vermutung für die explizite Darstellung finden,
2. diese per Induktion für beiden Funktionen beweisen,
3. wenn's gelingt, müssen f und g ja gleich sein.

Gruß v. Angela


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Sonstiges"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]