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Hallo Ihr,
also hier ist eine Aufgabe:
"Welche der folgenden Teilmengen [mm] \IR^{\IR} [/mm] = {f|f ist Abbildung von [mm] \IR \to \IR} [/mm] sind Teilräume?
(i) {f: [mm] \IR \to \IR [/mm] |f(1) * f(2)= 0}
(ii) {f: [mm] \IR \to \IR [/mm] | f(1)>f(4)}
Würde gerne wissen wie ich die rechnen soll.
MfG Andi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:40 Mi 24.11.2004 | | Autor: | Clemens |
Hallo Andi!
Du musst einfach nur die Abgeschlossenheit bezüglich der Addition von Funktionen und der Skalarmultiplikation zeigen. Die restlichen Vektorraumaxiome übertragen sich von [mm] \IR^{\IR} [/mm] auf die entsprechende Menge.
Z. B. bei (i):
Sei f: [mm] \IR [/mm] --> [mm] \IR, [/mm] x --> f(x)
f(x) = 0, wenn x = 1
f(x) = 1, wenn x [mm] \not= [/mm] 1
und
g: [mm] \IR [/mm] --> [mm] \R, [/mm] x --> g(x)
g(x) = 1, wenn x = 1
g(x) = 0, wenn x [mm] \not= [/mm] 1
Offensichtlich gilt f(1)*f(2) = 0 und g(1)*g(2) = 0, also f,g [mm] \in [/mm] (i).
Jetzt musst du überprüfen, ob auch (g+f) in dieser Menge liegt.
Gruß
Clemens
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Kannst du das mal zeigen, wie ich das beweise, dass die Summe auch enthakten ist? Da war nämlich gerade mein Problem.
MfG Andi
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:56 Do 25.11.2004 | | Autor: | Clemens |
Hallo!
> Kannst du das mal zeigen, wie ich das beweise, dass die
> Summe auch enthakten ist? Da war nämlich gerade mein
> Problem.
Ich habe das Beispiel gewählt, weil du anhand eines Beispiels - falls es nicht klappt - siehst, dass es sich um keinen Vektorraum handelt und weil du anhand dieses Beispiels - falls es klappt - siehst, wie du allgemein beweisen kannst, dass es sich um einen Vektorraum handelt.
Die Summe kannst du selbst ausrechnen:
(f + g)(x) := f(x) + g(x)
Jetzt kannst du (f + g)(1) und (f + g)(2) ausrechnen und dann überprüfen, ob (f + g)(1)*(f + g)(2) = 0. Wo liegt denn das Problem bei der Ausrechnung der Summe?
Gruß Clemens
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