Abbildungen, die die Determinantenaxiome z. T. erfüllen < Determinanten < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:19 Do 15.07.2004 | | Autor: | Frosty |
Hallo,
ich habe ein Problem bei dieser Aufgabe:
Nenne Beispiele von Abbildungen
[mm]d:M(2 \times 2,K) \to K[/mm],
die jeweils zwei der Determinantenaxiome D1, D2, D3, nicht jedoch das dritte erfüllen.
Also ich suche drei Abbildungen, die D1, D2, !D3 / D1, !D2, D3 / !D1, D2, D3 erfüllen. Diese Abbildungen müssen eine [mm]2 \times 2[/mm] Matrix auf eine [mm]1 \times 1[/mm] Matrix "werfen". Ich dachte erst, dass es eigentlich ganz einfach sein müsste, aber ich finde einfach keine Abbildungen mit den Eigenschaften. Könnte mir vielleicht jemand einen Tipp geben, wie ich solche Abbildungen finde?
Schon mal vielen Dank im Voraus
Frosty
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:59 Do 15.07.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Frosty
ich weiss nicht, ob die Bezeichnungen der Determinantenaxiome international normiert sind. Ich weiss jedenfalls nicht, was D1, D2 und D3 konkret sind. Kannst du mich diesbezüglich noch erleuchten?
Mit lieben Grüssen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:02 Do 15.07.2004 | | Autor: | Micha |
Also ich vermute mal die Axiome wurden wie im Fischer (14. Auflage bezeichnet).
Ansonsten ist halt nur die Bezeichung anders:
D1 det ist linear in jeder Zeile, also:
[mm] $\forall [/mm] i [mm] \in \{1, \dots , n\}$ [/mm] gilt:
a) Ist [mm] $a_i [/mm] = a'_i + a''_i$, so ist
[mm]\det \begin{pmatrix}
\vdots \\
a_i\\
\vdots \\
\end{pmatrix} =\det \begin{pmatrix}
\vdots \\
a'_i\\
\vdots \\
\end{pmatrix} + \det \begin{pmatrix}
\vdots \\
a''_i\\
\vdots \\
\end{pmatrix}[/mm].
b) Ist [mm] $a_i [/mm] = [mm] \lambda \cdot [/mm] a'_i$ , so ist
[mm]\det \begin{pmatrix}
\vdots \\
a_i\\
\vdots \\
\end{pmatrix} = \lambda \cdot \det \begin{pmatrix}
\vdots \\
a'_i\\
\vdots \\
\end{pmatrix}[/mm].
D2 det ist alternierend, d.h. sind zwei Zeilen gleich, ist [mm] $\det [/mm] A = 0$.
D3 det ist normiert, also [mm] $\det E_n [/mm] = 1 $.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:11 Do 15.07.2004 | | Autor: | Micha |
Ich hab mir nur was für die Abbildung überlegt, die D1 und D2 erfüllt, aber nicht D3:
Setze mal [mm] $\alpha [/mm] : M(2x2; K) [mm] \to [/mm] K $ mit $ [mm] \alpha [/mm] = 2 [mm] \cdot [/mm] det $
dann gilt weiterhin D1:
a)
$ 2 [mm] \cdot \det \begin{pmatrix} \vdots \\ a_i\\ \vdots \\ \end{pmatrix} [/mm] = 2 [mm] \cdot \left( \det \begin{pmatrix} \vdots \\ a'_i\\ \vdots \\ \end{pmatrix} + \det \begin{pmatrix} \vdots \\ a''_i\\ \vdots \\ \end{pmatrix} \right)$
[/mm]
b)
$ [mm] 2\cdot \det \begin{pmatrix} \vdots \\ a_i\\ \vdots \\ \end{pmatrix} [/mm] = 2 [mm] \lambda \cdot \det \begin{pmatrix} \vdots \\ a'_i\\ \vdots \\ \end{pmatrix} [/mm] $
und D2:
$ [mm] \alpha [/mm] ( A ) = 0 [mm] \gdw [/mm] 2 [mm] \cdot \det [/mm] A = 0 [mm] \gdw \det [/mm] A = 0 $
aber D3:
[mm] $\alpha (E_n [/mm] ) = 2 [mm] \cdot \det E_n [/mm] = 2 [mm] \cdot [/mm] 1 = 2 [mm] \ne [/mm] 1 $
und du hast eine solche Abbildung. Zu den anderen überlege ich mir noch was.
Gruß, Micha
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:31 Do 15.07.2004 | | Autor: | Frosty |
D1: [mm]det(c*a,...) = c * det(a,...)[/mm]
D2: [mm]det(a^1+a^k,...) = det(a^1,...)[/mm]
D3: [mm]det(E_n) = 1[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:36 Do 15.07.2004 | | Autor: | Micha |
Hab mir jetzt folgende Abbildung überlegt, die D2 nich erfüllen soll:
Sei [mm] $\beta [/mm] : M(2x2; K ) [mm] \to [/mm] K$ gegeben durch [mm] $\beta [/mm] (A) = [mm] a_{11} [/mm] + a{12}$ (also die Summe der Elemente der ersten Zeile).
Dann ist für D1 :
$ [mm] \beta \left( \begin{pmatrix} a_{11} + a'_{11} & a_{12} + a'_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ \end{pmatrix} \right) [/mm] = [mm] a_{11} [/mm] + a'_{11} + [mm] a_{12} [/mm] + a'_{12} = [mm] a_{11} [/mm] + [mm] a_{12} [/mm] + a'_{11} + a'_{12} = [mm] \beta \left( \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ \end{pmatrix} \right)+ \beta \left( \begin{pmatrix} a'_{11}& a'_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ \end{pmatrix} \right) [/mm] $
für die erste Zeile und
$ [mm] \beta \left( \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\a_{21} + a'_{21} & a_{22} + a'_{22} \\ \end{pmatrix} \right) [/mm] = [mm] a_{11} [/mm] + [mm] a_{12} [/mm] = [mm] \beta \left( \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ \end{pmatrix} \right)+ \beta \left( \begin{pmatrix} a'_{11}& a'_{12} \\ a'_{21} & a'_{22} \\ \end{pmatrix} \right) [/mm] $
Was wohl nicht stimmt, aber was dich evtl weiterbringt. Muss jetzt leider los. Vielleicht hilts dir ja ein bisschen. Viel Spaß beim Knobeln!
(Für D3 gilt: [mm] \beta (E_n ) = 1 [/mm] , wie man eindeutig erkennt.)
Gruß, Micha
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:45 Do 15.07.2004 | | Autor: | Micha |
Vielleicht probierst du mal Spur (A) / 2 !
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:00 Do 15.07.2004 | | Autor: | Frosty |
Hallo Hathorman,
dank Deiner Denkanstöße bin ich auf folgendes gekommen:
D1, D2, !D3: [mm]d = 2*det[/mm]
D1, !D2, D3: [mm]d = a_{1_1} *a_{2_2} + a_{1_2} *a_{2_1}[/mm]
!D1, D2, D3: [mm]d = det^2[/mm]
Guck mal, ob das mit meinen D1-3 passt.
Frosty
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:28 Do 15.07.2004 | | Autor: | Micha |
D1, D2, !D3: $d = 2 [mm] \cdot \det [/mm] $ hab ich dir ja schon gezeigt.
!D1, D2, D3: $d = det²$ hab ich auch gefunden:
Es gilt nämlich:
D2:
A hat zwei gleiche Zeilen [mm] \Rightarrow d(A) = \det A \cdot \det A = 0 \cdot 0 = 0 [/mm]
D3:
[mm] d(E_n ) = \det E_n \cdot \det E_n = 1 \cdot 1 = 1 [/mm]
aber zu D1:
[mm]d \left( \begin{pmatrix}
\lambda \cdot a_{11} & \lambda \cdot a_{12}\\
a_{21} & a_{22} \\
\end{pmatrix} \right) = \det \begin{pmatrix}
\lambda \cdot a_{11} & \lambda \cdot a_{12} \\
a_{21} & a_{22} \\
\end{pmatrix} \cdot \det \begin{pmatrix}
\lambda \cdot a_{11} & \lambda \cdot a_{12} \\
a_{21} & a_{22} \\
\end{pmatrix} = \lambda^2 \det \begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22} \\
\end{pmatrix} \ne \lambda \det \begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22} \\
\end{pmatrix}
\forall \lambda \ne 1[/mm]
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Für D1, !D2, D3 riecht auch schon $d = [mm] a_{11} \cdot a_{22} [/mm] $:
D1:
[mm] d \left( \begin{pmatrix}
a_{11} + a'_{11} & a_{12} + a'_{12} \\
a_{12} & a_{22} \\
\end{pmatrix} \right) = ( a_{11} + a'_{11} ) \cdot a_{22} = a_{11} a_{22} + a'_{11}a_{22} = d \left( \begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12}\\
a_{12} & a_{22} \\
\end{pmatrix} \right) + d \left( \begin{pmatrix}
a'_{11} & a'_{12} \\
a_{12} & a_{22} \\
\end{pmatrix} \right)
[/mm]
ebenso die 2. Zeile...
und:
[mm] d \left( \begin{pmatrix}
\lambda \cdot a_{11} & \lambda \cdot a_{12} \\
a_{12} & a_{22} \\
\end{pmatrix} \right) = \lambda \cdot a_{11} a_{22} = \lambda \cdot d \left( \begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12}\\
a_{12} & a_{22} \\
\end{pmatrix} \right)[/mm]
D3:
[mm] d (E_n ) = 1[/mm]
D2:
[mm]d\left( \begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{11} & a_{12} \\
\end{pmatrix} \right) = a_{11}a_{12} = 0 [/mm] gilt nur für [mm] $a_{11} [/mm] = 0 [mm] \vee a_{12} [/mm] = 0 $
Wenn du dazu noch Fragen hast, dann schieß los, ich probier noch deinen Lösungsvorschlag für D1, !D2, D3 zu beweisen...
Gruß, Micha
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:47 Do 15.07.2004 | | Autor: | Micha |
ok, dein Beispiel geht auch. Hier der Beweis:
D1:
[mm] d \left( \begin{pmatrix} a_{11} + a'_{11} & a_{12} + a'_{12} \\ a_{12} & a_{22} \\ \end{pmatrix} \right) = ( a_{11} + a'_{11} ) \cdot a_{22} + ( a_{12} + a'_{12} ) \cdot a_{21} = a_{11} a_{22} + a'_{11}a_{22} + a_{12} a_{21} + a'_{12}a_{21} = (a_{11} a_{22} + a_{12}a_{21}) +( a'_{11} a_{22} + a'_{12}a_{21} )= [/mm]
[mm]d \left( \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{12} & a_{22} \\ \end{pmatrix} \right) + d \left( \begin{pmatrix} a'_{11} & a'_{12} \\ a_{12} & a_{22} \\ \end{pmatrix} \right) [/mm]
ebenso 2. Zeile analog. Und:
[mm]d \left( \begin{pmatrix}\lambda \cdot a_{11} & \lambda \cdot a_{12} \\ a_{12} & a_{22} \\ \end{pmatrix} \right) = \lambda \left( a_{11}a_{22} + a_{12}a_{21} \right) = \lambda \cdot d \left( \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{12} & a_{22} \\ \end{pmatrix} \right) [/mm]
D3:
[mm] d (E_n ) = 1 \cdot 1 + 0 \cdot 0 = 1 [/mm]
aber D2 :
[mm] d \left( \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{11} & a_{12} \\ \end{pmatrix} \right) = a_{11}a_{12} + a_{11}a_{12} = 2 \cdot a_{11} a_{12} = 0 [/mm] für
[mm] $a_{11} [/mm] = 0 [mm] \vee a_{12} [/mm] = 0 $ aber eben nicht für alle [mm] $a_{11} \mbox{ und } a_{12}$
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:40 Mo 19.07.2004 | | Autor: | Richter |
Hmm ich habe mir das so ähnlich gedacht, da ich auch gerade dabei bin die aufgabe zu lösen:
1) A -> (det A)*2 für D3 nicht erfüllt
2) Abschnittsweise A-> 1 A=En und 0 sonst; für D1 nicht erfüllt da
d(En)+0 =1 also widerspruch zu d(a)=0
leider komm ich bei D2 auch noch nicht weiter, da sich immer ein widerspruch zur linearität entwickelt ( D1 )
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:08 Di 20.07.2004 | | Autor: | Micha |
> Hmm ich habe mir das so ähnlich gedacht, da ich auch gerade
> dabei bin die aufgabe zu lösen:
>
> 1) A -> (det A)*2 für D3 nicht erfüllt
stimmt.
>
> 2) Abschnittsweise A-> 1 A=En und 0 sonst; für D1 nicht
> erfüllt da
>
> d(En)+0 =1 also widerspruch zu d(a)=0
>
ich weiß zwar nicht wie du das formal meinst, aber die Grundidee stimmt schon.
> leider komm ich bei D2 auch noch nicht weiter, da sich
> immer ein widerspruch zur linearität entwickelt ( D1 )
>
Da hilft nur probieren! Am besten du fängst bei den Überlegungen damit an, dass D3 erfüllt ist, also das $d(E_ n) = 1$ ist. Dann kommt relativ schnell auf eine handvoll Möglichkeiten. Du kannst ja gern ein paar Vorschläge hier posten!
(Was war eigentlich deine genaue Frage?)
Gruß, Micha
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