Abbildungen in K-Vektorräumen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo ihr!
Ich habe mal ein Problem mit einer Aufgabe... Also:
Seien f: U -->V, g: V -->W Abbildungen, U, V, W K-Vektorräme. Zeige
a) g o f linear, f linear und surjektiv => g linear.
b) g o f linear, g linear und injektiv => f linear.
( o ist hier der "Kringel", also die Verknüpfung)
Bei a) und b) haben wir schon gezeigt, dass wenn f (bzw. g) linear sind, dass daraus folgt, dass g (bzw. f) linear ist.
Nun stellt sich aber folgendes Problem:
Wie müssen wir denn nun zeigen, dass f surjektiv ist und die Beziehung ohne die Surjektivität nicht gilt (bei Aufgabe b natürlich dass g injektiv ist).
Hätte da jemand einen Tipp, wie wir das lösen können?
Leider müssen wir morgen schon eine Lösung haben.
Vielen Dank im vorraus schon mal,
Anne :o)
P.S.: Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:15 Mo 28.06.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Schokolade
> Hallo ihr!
> Ich habe mal ein Problem mit einer Aufgabe... Also:
>
> Seien f: U -->V, g: V -->W Abbildungen, U, V, W
> K-Vektorräme. Zeige
> a) g o f linear, f linear und surjektiv => g linear.
> b) g o f linear, g linear und injektiv => f linear.
> ( o ist hier der "Kringel", also die Verknüpfung)
>
> Bei a) und b) haben wir schon gezeigt, dass wenn f (bzw. g)
> linear sind, dass daraus folgt, dass g (bzw. f) linear
> ist.
> Nun stellt sich aber folgendes Problem:
> Wie müssen wir denn nun zeigen, dass f surjektiv ist und
> die Beziehung ohne die Surjektivität nicht gilt (bei
> Aufgabe b natürlich dass g injektiv ist).
> Hätte da jemand einen Tipp, wie wir das lösen können?
> Leider müssen wir morgen schon eine Lösung haben.
>
Ich denke, man könnte a) etwa auf folgende Art begründen: Wenn f nicht surjektiv ist, dann gäbe es Elemente in V, die in U kein Urbild haben. Für diese Elemente dürfte g auch nicht-lineare Operationen machen, ohne dabei die Linearität von der zusammengesetzten Funktion zu gefährden (g muss nur auf der Einschränkung auf das Bild von f linear sein, was sie mit den anderen Elementen macht, ist egal, weil diese ja als Bild der zusammengesetzten Funktion nirgends auftauchen!).
Da ihr recht im Zeitdruck seid und ich für b) noch etwas mehr Zeit benötige, schicke ich diese Teilantwort mal auf die Reise. Hoffentlich könnt ihr die schon mal etwas auswerten.
Mit lieben Grüssen
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:02 Mo 28.06.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo ihr!
> Ich habe mal ein Problem mit einer Aufgabe... Also:
>
> Seien f: U -->V, g: V -->W Abbildungen, U, V, W
> K-Vektorräme. Zeige
> a) g o f linear, f linear und surjektiv => g linear.
> b) g o f linear, g linear und injektiv => f linear.
> ( o ist hier der "Kringel", also die Verknüpfung)
>
> Bei a) und b) haben wir schon gezeigt, dass wenn f (bzw. g)
> linear sind, dass daraus folgt, dass g (bzw. f) linear
> ist.
> Nun stellt sich aber folgendes Problem:
> Wie müssen wir denn nun zeigen, dass f surjektiv ist und
> die Beziehung ohne die Surjektivität nicht gilt (bei
> Aufgabe b natürlich dass g injektiv ist).
> Hätte da jemand einen Tipp, wie wir das lösen können?
> Leider müssen wir morgen schon eine Lösung haben.
>
> Vielen Dank im vorraus schon mal,
> Anne :o)
>
> P.S.: Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum
> gestellt.
>
Ehrlich gesagt, verstehe ich deine Frage gar nicht:
> Wie müssen wir denn nun zeigen, dass f surjektiv ist und
> die Beziehung ohne die Surjektivität nicht gilt (bei
> Aufgabe b natürlich dass g injektiv ist).
![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
(Vielleicht willst du auch nur wissen, wo genau die Voraussetzungen beim Beweis eingehen??? Falls ja, das siehst du dann gleich im Beweis!)
Bei der Aufgabe a) ist doch folgendes:
Voraussetzungen:
g o f linear, f linear und surjektiv
zu zeigen:
Dann gilt:
g ist linear.
Beweis
1.) Wir zeigen: [m]g(x_1+x_2)=g(x_1)+g(x_2)[/m] für alle [mm] $x_1,x_2 \in [/mm] V$.
Also:
Seien [mm] $x_1,x_2 \in [/mm] V$. Da $f$ surjektiv ist, existieren [mm] $u_1,u_2 \in [/mm] U$ mit
(I) [m]f(u_1)=x_1, f(u_2)=x_2[/m].
Dann folgt:
[m]g(x_1+x_2)=g(f(u_1)+f(u_2))=...[/m] ($f$ ist linear)
[m]...=g(f(u_1+u_2))=(g[/m][mm] o$f)(u_1+u_2)=...$ [/mm] (g o f ist linear)
$...=(g$ o [mm] $f)(u_1)+(g$ [/mm] o [mm] $f)(u_2)=g(f(u_1))+g(f(u_2))=...$ [/mm] (beachte (I))
[mm] $...=g(x_1)+g(x_2)$.
[/mm]
2.) Wir zeigen: [mm] $g(\lambda*x)=\lambda*g(x)$ [/mm] für alle [mm] $\lambda \in [/mm] K, x [mm] \in [/mm] V$!
Also:
Sei $x [mm] \in [/mm] V$ und [mm] $\lambda \in [/mm] K$. Da $f$ surjektiv ist, existiert ein [m]u \in U[/m] mit
(II) [m]f(u)=x[/m].
Dann folgt:
[m]g(\lambda*x)=g(\lambda*f(u))=...[/m] ($f$ ist linear)
[m]...=g(f(\lambda*u))=(g[/m][mm] o$f)(\lambda*u)=...$ [/mm] (g o f ist linear)
[mm] $...=\lambda*(g$ [/mm] o [mm] $f)(u)=\lambda*g(f(u))=...$ [/mm] (beachte (II))
[mm] $...=\lambda*g(x)$.
[/mm]
Ich schreibe auch gleich noch was zu Teil b)...
Viele Grüße
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:25 Mo 28.06.2004 | | Autor: | Marcel |
> Seien f: U -->V, g: V -->W Abbildungen, U, V, W
> K-Vektorräme. Zeige
> b) g o f linear, g linear und injektiv => f linear.
Voraussetzungen:
g o f linear, g linear und injektiv
zu zeigen:
Dann ist f linear.
1.) Wir zeigen: [mm] $f(u_1+u_2)=f(u_1)+f(u_2)$ [/mm] für alle [mm] $u_1,u_2 \in [/mm] U$.
Annahme:
Es gibt $a,b [mm] \in [/mm] U$, so dass
(I) [mm] $f(a+b)\ne [/mm] f(a)+f(b)$.
Dann gilt:
g(f([m]a+b[/m]))=(g o f)($a+b$)$=...$ (g o f ist linear)
$...=$(g o f)($a$)+(g o f)($b$)$=$g(f($a$))+g(f($b$))$=...$ (g ist linear)
$...=$g(f($a$)+f($b$)).
Setzen wir also $r:=f(a+b)$ [mm] $(\in [/mm] V)$ und $s:=f(a)+f(b)$ [mm] $(\in [/mm] V)$, so gilt wegen (I):
$r [mm] \ne [/mm] s$.
In der kurzen Rechnung (nach: Dann gilt:...) haben wir aber gesehen:
Dann gilt auch: $g(r)=g(s)$.
Widerspruch zur Injektivität von $g$.
(PS:
Man hätte den Beweis auch direkt führen können:
Es gilt für alle [mm] $u_1,u_2 \in [/mm] U$:
g(f([m]u_1+u_2[/m]))=(g o [mm] f)($u_1+u_2$)$=...$ [/mm] (g o f ist linear)
$...=$(g o [mm] f)($u_1$)+(g [/mm] o [mm] f)($u_2$)$=$g(f($u_1$))+g(f($u_2$))$=...$ [/mm] (g ist linear)
[mm] $...=$g(f($u_1$)+f($u_2$)).
[/mm]
Weil nun g injektiv ist, folgt daraus (die Rechnung zeigt ja:
g(f([m]u_1+u_2[/m][mm] ))$=$g(f($u_1$)+f($u_2$)) [/mm] für alle [mm] $u_1,u_2 \in [/mm] U$):
f([m]u_1+u_2[/m][mm] )=f($u_1$)+f($u_2$) [/mm] (für alle [mm] $u_1,u_2 \in [/mm] U$).
Ist vielleicht formal eleganter...)
2.) Wir zeigen: [mm] $f(\lambda*u)=\lambda*f(u)$ [/mm] für alle [m]\lambda \in K, u \in U[/m] (und nun führen wir den Beweis direkt  ):
Sei also [m]\lambda \in K, u \in U[/m]. Dann folgt:
g(f([m]\lambda*u[/m]))=(g o f)([m]\lambda*u[/m])$=...$ (g o f ist linear)
[mm] $...=\lambda*$(g [/mm] o [mm] f)($u$)$=\lambda*$g(f($u$))$=...$ [/mm] (g ist linear)
[mm] $...=$g($\lambda*$f($u$)).
[/mm]
Weil g injektiv ist, folgt (für alle [m]\lambda \in K, u \in U[/m]):
f([m]\lambda*u[/m][mm] )=$\lambda*$f($u$)
[/mm]
Liebe Grüße
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:25 Mo 28.06.2004 | | Autor: | Stella |
Hallo Marcel,
ich habe da auch noch mal eine Frage zu.
könne ich auch argumentieren, da g injektiv ist gibt es eine umkehrabeildung zu g nämlich g-?
ungfähr so:
f(u+u') =(g-°g)f(u+u')=g-(g°f)(u+u')=g-((g°f)(u)+(g°f)(u'))=(g-°g)(f(u))+(g-°g)(f(u'))=f(u)+f(u')
Danke schon mal für die Antwort.
Viele Grüße
Jana
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:47 Mo 28.06.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo Jana,
> Hallo Marcel,
>
> ich habe da auch noch mal eine Frage zu.
> könne ich auch argumentieren, da g injektiv ist gibt es
> eine umkehrabeildung zu g nämlich g-?
> ungfähr so:
>
> f(u+u')
> =(g-°g)f(u+u')=g-(g°f)(u+u')=g-((g°f)(u)+(g°f)(u'))=(g-°g)(f(u))+(g-°g)(f(u'))=f(u)+f(u')
>
> Danke schon mal für die Antwort.
> Viele Grüße
> Jana
Für eine Umkehrabbildung benötigt man ja auch die Surjektivität, d.h. g müßte bijektiv sein. g ist ja im Allgemeinen nicht bijektiv, also existiert g- im Allgemeinen auch nicht. Der Wertebereich von g kann ja eine echte Teilmenge von [m]W[/m] sein. Wenn du allerdings mit g- eine Funktion meinst, deren Definitionsbereich gerade der Wertebereich von g ist (g[m]_1[/m]: $V$ [m]\rightarrow[/m] g($V$) mit [mm] $g_1(v):=g(v)$ [/mm] für alle $v [mm] \in [/mm] V$ ist dann ja bijektiv, also umkehrbar; d.h. du meinst mit g- eine Funktion:
g- : g($V$) [m]\rightarrow[/m]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
$V$, wobei g($V$):=$\{w \in W:$ es gibt [m]v \in V[/m]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
mit $g(v)=w\}$, also eigentlich g$_1$-, also eigentlich die Umkehrfunktion von g[m]_1[/m]), dann ist das okay.
(Entschuldige diesen Satz, ich hoffe, man kann ihn noch verstehen! )
Du mußt das dann aber irgendwo ergänzen.
PS: Ich vervollständige doch noch beide Aufgaben... Klick nachher die Antworten nochmal an...
Liebe Grüße
Marcel
|
|
|
|
