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| Aufgabe | | Es sei M eine nichtleere Menge und P(M) ihre Potenzmenge. Es sei f: M -> P(M) eine Funktion und A := {a [mm] \in [/mm] M : a [mm] \not\in [/mm] f(a) }. Zeigen Sie, dass kein m [mm] \in [/mm] M existiert mit f(m) = A. |
Ich hab grad echt nen Brett vorm Kopf, eigentlich hatte ich die Aufgabe schon einmal gelöst, kriegs aber nicht mehr zusammen. Letztlich muss man die Gegenannahme, es existiert solch ein m, widerlegen.
Angenommen M = {1,2,3}, dann ist P(M) = {{}, {1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}}
In A sind jetzt alle Elemente aus M, die nicht auf sich selbst abbilden. So könnten doch z.B. 1 -> {}, 2 -> {1,2}, 3 -> {1,2,3} mögliche Abbildungen sein, somit würde keines auf sich selbst abbilden, A somit = {1,2,3} und da die 3 auf {1,2,3} abbildet, habe ich ein Element [mm] \in [/mm] M gefunden, welches auf A abbildet ...
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Hallo,
> Es sei M eine nichtleere Menge und P(M) ihre Potenzmenge.
> Es sei f: M -> P(M) eine Funktion und A := {a [mm] \in] [/mm] M : [mm] a\not\in [/mm] f(a) }. Zeigen Sie, dass kein m [mm]\in[/mm] M existiert mit f(m) = A.
> Ich hab grad echt nen Brett vorm Kopf, eigentlich hatte
> ich die Aufgabe schon einmal gelöst, kriegs aber nicht
> mehr zusammen. Letztlich muss man die Gegenannahme, es
> existiert solch ein m, widerlegen.
>
> Angenommen M = {1,2,3}, dann ist P(M) = {{},
> {1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}}
>
> In A sind jetzt alle Elemente aus M, die nicht auf sich
> selbst abbilden.
Nein. A ist die Menge derjenigen [mm] a\in [/mm] M, für a im Bild f(a) nicht enthalten ist. f(a) ist eine Menge und a soll kein Element von dieser Menge sein.
> So könnten doch z.B. 1 -> {}, 2 -> {1,2},
> 3 -> {1,2,3} mögliche Abbildungen sein, somit würde
> keines auf sich selbst abbilden, A somit = {1,2,3} und da
> die 3 auf {1,2,3} abbildet, habe ich ein Element [mm]\in[/mm] M
> gefunden, welches auf A abbildet ...
>
>
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:23 So 13.03.2011 | | Autor: | G-Hoernle |
Ich glaube, du hast es verdreht, hast mich aber trotzdem auf die richtige spur gebracht :)
A ist die Menge derjenigen $ [mm] a\in [/mm] $ M, für a im Bild f(a) nicht enthalten ist. Demnach sind die Abbildungen, die ich unten angegeben habe, nicht korrekt ...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:31 So 13.03.2011 | | Autor: | kamaleonti |
> Ich glaube, du hast es verdreht, hast mich aber trotzdem
> auf die richtige spur gebracht :)
Glück gehabt. 
>
> A ist die Menge derjenigen [mm]a\in[/mm] M, für a im Bild f(a)
> nicht enthalten ist. Demnach sind die Abbildungen, die ich
> unten angegeben habe, nicht korrekt ...
Ja.
Nimm an es gibt ein [mm] m\in [/mm] M mit f(m)=A.
Dann mache z. B. eine Fallunterscheidung
a) [mm] m\in A\Rightarrow m\notin [/mm] f(m) wegen Definition von A. Das aber ist ein Widerspruch zu [mm] f(m)=A\Rightarrow m\in [/mm] f(m)
b) [mm] m\notin [/mm] A [mm] \ldots
[/mm]
LG
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Puh daran hatte ich jetzt zu knabbern :), tue mich immer schwer, wenn ich die Zahlen nicht konkret sehen kann. Ich versuche mal in Worte zu fassen, was sich grad gedanklich bei mir abspielt.
Angenommen m [mm] \in [/mm] A, dann wäre das ein Wiederspruch zur Definition von A, denn m darf nicht Element der Menge sein, auf das m abgebildet wird.
Wenn andererseits m [mm] \not\in [/mm] A, dann würde A um das Element m erweitert werden müssen, da m ja auf eine Menge abbildet, in der m nicht enthalten ist. Wurde A aber um m erweitert, so sind wir wieder bei Annahme 1.
Folglich kann kein m [mm] \in [/mm] M existieren mit f(m) = A.
Puh da hab ich jetzt echt lange dran rumgemacht, hoffentlich stimmts auch :)
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Hallo,
> Puh daran hatte ich jetzt zu knabbern :), tue mich immer
> schwer, wenn ich die Zahlen nicht konkret sehen kann. Ich
> versuche mal in Worte zu fassen, was sich grad gedanklich
> bei mir abspielt.
>
> Angenommen m [mm]\in[/mm] A, dann wäre das ein Wiederspruch zur
> Definition von A, denn m darf nicht Element der Menge sein,
> auf das m abgebildet wird.
Wo genau soll der Widerspruch sein? Die Antwort steht unten (Fall a)
>
> Wenn andererseits m [mm]\not\in[/mm] A, dann würde A um das Element m erweitert werden müssen,
Diese Formulierung ist mir unklar. Arbeite bitte mit mathematischer Symbolik. Beweis gebe ich unten, damit die Übersicht bleibt.
> da m ja auf eine Menge abbildet, in der m nicht enthalten ist. Wurde A aber um m erweitert, so sind wir wieder bei Annahme 1.
?
>
> Folglich kann kein m [mm]\in[/mm] M existieren mit f(m) = A.
>
> Puh da hab ich jetzt echt lange dran rumgemacht,
> hoffentlich stimmts auch :)
Tut mir leid, aber ich werde aus deinem Beweis nicht schlau. Bei solchen 'paradoxen' Beweisen kommt es ganz genau darauf an, mathematisch exakt zu sein.
Die Annahme (*) ist, es existiert [mm] m\in [/mm] M mit f(m)=A
[mm] \qquad $A:=\{m\in M| m\notin f(m)\}$
[/mm]
Hier die Fallunterscheidung:
a) [mm] $m\in A\Rightarrow m\notin [/mm] f(m)$ wegen Definition von A. Das aber ist ein Widerspruch zu (*), denn wegen f(m)=A und der vorangegangenen Schlussfolgerung $ [mm] m\notin [/mm] f(m)$ müsste auch gelten [mm] $m\notin [/mm] A$
b) [mm] $m\notin A\Rightarrow m\in [/mm] f(m)$ wegen Definition von A. Hier wieder der direkte Widerspruch zu (*), denn aus f(m)=A und der Schlussfolgerung [mm] $m\in [/mm] f(m)$ folgt [mm] $m\in [/mm] A$.
Gruß
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