Abbildungen in euklidische VR < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:49 Mo 20.05.2013 | | Autor: | petapahn |
| Aufgabe | Sei V= [mm] \IC [/mm] und f eine lineare Abbildung f: V --> V, [mm] f_{a}(x)=x*a [/mm] mit a [mm] \in \IC. [/mm] Betrachte nun den euklidischen VR (V, <,>) mit <,> als Standardskalarprodukt.
Berechne nun [mm] det(f_{a}). [/mm] |
Hallo,
ich bräuchte Hilfe. Also die Funktion ist ja eindimensional, d.h die [mm] det(f_{a})= [/mm] x*a.
Aber wie ist das jetzt in diesem euklidischen VR?
Kann mir jemand helfen?
petapahn
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> Sei V= [mm]\IC[/mm] und f eine lineare Abbildung f: V --> V,
> [mm]f_{a}(x)=x*a[/mm] mit a [mm]\in \IC.[/mm] Betrachte nun den euklidischen
> VR (V, <,>) mit <,> als Standardskalarprodukt.
> Berechne nun [mm]det(f_{a}).[/mm]
> Hallo,
> ich bräuchte Hilfe. Also die Funktion ist ja
> eindimensional,
Hallo,
Funktionen haben keine Dimensionen.
> d.h die [mm]det(f_{a})=[/mm] x*a.
Wie ist bei Dir "Determinante einer linearen Funktion" definiert?
> Aber wie ist das jetzt in diesem euklidischen VR?
Zunächst einmal mußt Du die Definition von "Determinante einer lin. Funktion" wissen.
Ein euklidischer VR ist eine VR über [mm] \IR.
[/mm]
Welche Dimension hat der VR [mm] \IC [/mm] betrachtet als VR über [mm] \IR?
[/mm]
Kannst Du eine Basis nennen?
LG Angela
> Kann mir jemand helfen?
> petapahn
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:33 Mo 20.05.2013 | | Autor: | petapahn |
Hi,
danke erstmal.
> Wie ist bei Dir "Determinante einer linearen Funktion" definiert?
Die Determinante einer lin. Funktion ist doch die Determinante der Darstellungsmatrix der lin. Funktion, d.h. man stellt die lin. Fkt. als A*x dar mit A als Darstellungsmatrix dar.
> Welche Dimension hat der VR $ [mm] \IC [/mm] $ betrachtet als VR über $ [mm] \IR? [/mm] $
2
> Kannst Du eine Basis nennen?
DIe beiden Einheitsvektoren e1 und e2 beispielweise.
Ok wenn ich jetzt diese Abbildung [mm] f_{a}=x*a [/mm] ansehe, habe ich als Ergebnis immer die Form [mm] \vektor{Re(x)*Re(a) - Im(x)*Im(a) \\ Re(x)*Im(a) + Im(x)* Re(a)}. [/mm] (Das ist ja die Multiplikation von komplexen Zahlen)
Also könnte ich eine Form bauen mit [mm] \vektor{Re(x)*Re(a) - Im(x)*Im(a) \\ Re(x)*Im(a) + Im(x)* Re(a)} [/mm] = A*x. Damit wäre A= [mm] \pmat{ Re(a) & -Im(a) \\ Im(a) & Re(a) } [/mm] und somit det(A)= [mm] Re(a)^2 [/mm] + [mm] Im(a)^2.
[/mm]
Aber ich hab iwie das Gefühl, dass ich immer von [mm] \IR^2 [/mm] ausgehe und nicht von diesem euklidischen VR mit dem Skalarprodukt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:27 Di 21.05.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hi,
> danke erstmal.
>
> > Wie ist bei Dir "Determinante einer linearen Funktion"
> definiert?
>
> Die Determinante einer lin. Funktion ist doch die
> Determinante der Darstellungsmatrix der lin. Funktion, d.h.
> man stellt die lin. Fkt. als A*x dar mit A als
> Darstellungsmatrix dar.
> > Welche Dimension hat der VR [mm]\IC[/mm] betrachtet als VR über
> [mm]\IR?[/mm]
> 2
> > Kannst Du eine Basis nennen?
> DIe beiden Einheitsvektoren e1 und e2 beispielweise.
>
> Ok wenn ich jetzt diese Abbildung [mm]f_{a}=x*a[/mm] ansehe, habe
> ich als Ergebnis immer die Form [mm]\vektor{Re(x)*Re(a) - Im(x)*Im(a) \\ Re(x)*Im(a) + Im(x)* Re(a)}.[/mm]
> (Das ist ja die Multiplikation von komplexen Zahlen)
> Also könnte ich eine Form bauen mit [mm]\vektor{Re(x)*Re(a) - Im(x)*Im(a) \\ Re(x)*Im(a) + Im(x)* Re(a)}[/mm]
> = A*x. Damit wäre A= [mm]\pmat{ Re(a) & -Im(a) \\ Im(a) & Re(a) }[/mm]
> und somit det(A)= [mm]Re(a)^2[/mm] + [mm]Im(a)^2.[/mm]
> Aber ich hab iwie das Gefühl, dass ich immer von [mm]\IR^2[/mm]
> ausgehe und nicht von diesem euklidischen VR mit dem
> Skalarprodukt.
>
>
Alles bestens. Eine Vereinfachung kannst Du noch anbringen:
det(A)= [mm]Re(a)^2[/mm] + [mm]Im(a)^2=|a|^2[/mm]
FRED
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