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Hallo, ich hoffe mir kann hier jemand sagen, was ich überhapt machen muss! Die aufgabe stammt aus dem ersten Übungszettel der linearen Algebra. In der Vorlesung wurde der Begriff der Abbildung nur ganz kurz eingeführt. Und leider kann ich im Tutorium auch nicht nachfragen, da selbiges leider am Abgabetag statfindet.
So und hier nun die Aufgabe:
Wir schreiben [2] abkürzend für die Menge {1,2}.
1. Bestimmen sie die Menge Abb([2],[2]) aller Abbildungen f:[2] [mm] \to[2].
[/mm]
2. Bestimmen Sie alle f Abb([2],[2]) mit f(f(i))=i für alle i[2].
3. Bestimmen Sie alle f Abb([2],[2]) mit f(f(i)) = f(i) füralle i [2].
So ich habe keine Ahnung was ich hier machen muss.
Aber für Tipps bin ich sehr dankbar
mfg mr.arminia
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Hallo!
> Hallo, ich hoffe mir kann hier jemand sagen, was ich
> überhapt machen muss! Die aufgabe stammt aus dem ersten
> Übungszettel der linearen Algebra. In der Vorlesung wurde
> der Begriff der Abbildung nur ganz kurz eingeführt. Und
> leider kann ich im Tutorium auch nicht nachfragen, da
> selbiges leider am Abgabetag statfindet.
Das ist natürlich dumm gemacht. Bei uns wird auch der erste Übungszettel nächste Woche abgegeben, aber die Übungen beginnen erst übernächste Woche... Aber zum Glück ist der Zettel ziemlich einfach. 
> So und hier nun die Aufgabe:
>
> Wir schreiben [2] abkürzend für die Menge {1,2}.
> 1. Bestimmen sie die Menge Abb([2],[2]) aller Abbildungen
> f:[2] [mm]\to[2].[/mm]
Du hast also die Menge {1,2} und sollst nun alle Abbildungen von dieser Menge in sich selbst angeben. Nun - was kannst du machen? Du kannst die 1 auf die 1 abbilden, du kannst auch die 1 auf die 2 abbilden, oder auch die 2 auf die 1 oder die 2 auf die 2. Dann wäre z. B. eine der gesuchten Abbildungen:
f(1)=1 und f(2)=2
oder eine andere Abbildung wäre
f(1)=2 und f(2)=1
oder noch eine andere Abbildung wäre
f(1)=1 und f(2)=1 (diese Abbildung wäre also nicht injektiv, falls ihr diesen Begriff schon gehabt habt)
oder die letzte Abbildung wäre
f(1)=2 und f(2)=2
oder habe ich etwa eine vergessen? Ich glaube nicht. Demnacht wäre die Menge aller Abbildungen eben die Menge dieser 4 Abbildungen. Vielleicht nennst du sie nicht alle f sondern [mm] f_1, f_2, f_3 [/mm] und [mm] f_4 [/mm] und dann kannst du als "Lösung" schreiben: [mm] Abb([2],[2])=\{f_1,f_2,f_3,f_4\}
[/mm]
Und da ich dir die Aufgabe jetzt schon gelöst habe, kannst du ja mal überlegen, wie das wäre, wenn du Abb([3],[3]) angeben solltest, oder wie das aussieht für Abb([n],[n]).
> 2. Bestimmen Sie alle f Abb([2],[2]) mit f(f(i))=i für
> alle i[2].
Sieh dir mal genau meine erste Funktion an und überlege mal, was f(f(i)) da wäre.
> 3. Bestimmen Sie alle f Abb([2],[2]) mit f(f(i)) = f(i)
> füralle i [2].
Hierfür kannst du dir nochmal meine erste Funktion angucken.
Und da du ja insgesamt nur vier Funktionen hast, kannst du für alle i (i kann ja nur 1 oder 2 sein) alles ausprobieren, was f(i) ist bzw. f(f(i)) und dann siehst du, wo es =i bzw. =f(i) ist.
> So ich habe keine Ahnung was ich hier machen muss.
> Aber für Tipps bin ich sehr dankbar
Hast du jetzt eine Ahnung?
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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So ich nochmal. Also lautet die Abbildungsvorschrift ganz einfach "bilden Sie aus der Menge {1,2} 'irgendwie' in die Menge {1,2} ab"!
Aber nun frage ich mich wo der unterschied zu den Aufgabenteilen 2 und 3 sein soll. Z.B. muss ich bei 2 ja durch die Reihung der Abbildungen von [2] nach [2] abbilden und das ganze dann noch mal um wieder in die Menge [2] zu kommen. Genauso bei 3, nur das ich dabei nicht in die Menge [2] abbilde, sondern in f([2]), was ja im Prinzip die Gleichen Zahlen sind.
So das war vielleicht ein wenig kompiziert formuliert, aber vielleicht kann mir ja wer sagen, wo der Unterschied zwischen 1,2,3 ist. Oder denke ich zu komplizíert, wie in teil 1????
Schonmal danke
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Hallo!
Diese Aufgabe funktioniert wohl in erster Linie nach dem Prinzip "schau genau".
Zu 2.:
Aus der Menge [mm] $\{f_1,f_2,f_3,f_4\}$ [/mm] sollst du jetzt diejenigen aussuchen, die selbstinvers sind, d.h. [mm] $f_k\circ f_k=\mathrm{id}$. [/mm] Was genau bedeutet das?
Testen wir's mal mit [mm] $f_1$ [/mm] (ich benutze jetzt einfach Bastianes Reihenfolge...):
[mm] $f_1(1)=1$, [/mm] also ist [mm] $f_1(f_1(1))=f_1(1)=1$. [/mm] Und [mm] $f_1(1)=1$, [/mm] also ist [mm] $f_1(f_1(2))=f_1(2)=2$.
[/mm]
Also gilt für alle [mm] $i\in[2]$: $f_1(f_1(i))=i$.
[/mm]
Teste das jetzt auch für die anderen!
Zu 3:
Hier sollst du die Funktionen auswählen, bei denen $f(f(i))=f(i)$. Testen wir z.B. mal [mm] $f_2$:
[/mm]
[mm] $f_2(1)=2$, [/mm] aber [mm] $f_2(f_2(1))=f_2(2)=1$. [/mm] Also ist [mm] $f_2$ [/mm] keine der gesuchten Funktionen.
Hast du den Unterschied jetzt verstanden? Sonst kannst du gerne nochmal nachfragen...
Gruß, banachella
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Also jetzt verstehe ich garnichts mehr.
Erstens (noch zu nr.1):
Ich bilde von der Menge{1,2} in die Menge {1,2} ab.
Also wäre meine Lösung jetzt schlicht und einfach:
f(1)=1; f(1)=2; f(2)=1; f(2)=2
Bzw. als Menge L:{(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)}
So richtig, oder falsch?
Und nun zu zwei: ich gehe mal davon aus, das meine Lösung aus eins richtig wäre, also:
Ich setzte einfach ein f(f(i))=i
also ist
f(f(1))=f(1)=1
f(f(1))=f(1)=2
f(f(1))=f(2)=1
f(f(1))=f(2)=2
und so weiter.
So und nun würde ich nr. 3 analog dazu machen
f(f(1))=f(1)=f(1)=1
" " " =2
und so weiter.
So das wäre meine Version der Aufgabe. Was stimmt daran und was ist leider völlig falsch.
Danke schonmal für die Mühe, bei einen so hoffnungslosen Fall.
MfG
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Hallo!
Eigentlich ist es gar nicht so schwierig - ich habe es schon soo schön erklärt in meiner ersten Antwort.
> Erstens (noch zu nr.1):
>
> Ich bilde von der Menge{1,2} in die Menge {1,2} ab.
>
> Also wäre meine Lösung jetzt schlicht und einfach:
>
> f(1)=1; f(1)=2; f(2)=1; f(2)=2
>
> Bzw. als Menge L:{(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)}
>
> So richtig, oder falsch?
Falsch! Du kannst einem x-Wert nur jeweils einen y-Wert zuordnen. Du ordnest aber der 1 sowohl die 1 als auch die 2 zu, und der 2 ordnest du ebenfalls sowohl die 1 als auch die 2 zu. Demnach ist das dann gar keine Abbildung mehr. Lies dir doch bitte nochmal meine erste Antwort genau durch und beachte, dass ich jeweils davor geschrieben habe: "eine Abbildung wäre also", und da drunter steht dann die ganze Abbildung. Und zwar besteht die ganze Abbildung sowohl aus f(1) als auch aus f(2), aber nicht aus zweimal f(1) und zweimal f(2).
Und erst, wenn du das richtig verstanden hast (die Lösung habe ich übrigens auch schon angegeben), versuchst du dich nochmal an den anderen beiden Aufgaben.
Sorry, aber ich weiß wirklich nicht, wie man das noch anders erklären kann - vielleicht fällt ja jemandem anders noch etwas ein.
Viele Grüße
Bastiane
![[banane]](/images/smileys/banane.gif "[banane]")
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