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Forum "Lineare Abbildungen" - Abbildungen zwischen Mengen
Abbildungen zwischen Mengen < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Abbildungen zwischen Mengen: Abbildungen
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:50 Di 16.08.2016
Autor: Sauri

Aufgabe
Es seien X [mm] \overset{f}{\rightarrow} [/mm] Y [mm] \overset{g}{\rightarrow} [/mm] X Abbildungen von Mengen mit g [mm] \circ [/mm] f  = id. Man zeige, dass f injektiv und g surjektiv ist.

Hallo Gemeinde, ich forsche an der o. g. Aufgabe und komme nicht unbedingt weiter.

Ich habe folgende Überlegungen angestellt:

Sei f injektiv und seien [mm] x_{1}, x_{2} \in [/mm] X mit [mm] f(x_{1}) [/mm] = [mm] f(x_{2}). [/mm] Dann ist [mm] x_{1} [/mm] = [mm] x_{2} [/mm] und f ist injektiv.

Reicht dies als Beweis, dass f injektiv ist?

Viele Grüße und vielen Dank!



        
Bezug
Abbildungen zwischen Mengen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:10 Di 16.08.2016
Autor: fred97


> Es seien X [mm]\overset{f}{\rightarrow}[/mm] Y
> [mm]\overset{g}{\rightarrow}[/mm] X Abbildungen von Mengen mit g
> [mm]\circ[/mm] f  = id. Man zeige, dass f injektiv und g surjektiv
> ist.
>  Hallo Gemeinde, ich forsche an der o. g. Aufgabe und komme
> nicht unbedingt weiter.
>
> Ich habe folgende Überlegungen angestellt:
>  
> Sei f injektiv und seien [mm]x_{1}, x_{2} \in[/mm] X mit [mm]f(x_{1})[/mm] =
> [mm]f(x_{2}).[/mm] Dann ist [mm]x_{1}[/mm] = [mm]x_{2}[/mm]


hä ? es fehlt die Begründung  für [mm] x_1=x_2 [/mm]  !!

> und f ist injektiv.
>  
> Reicht dies als Beweis, dass f injektiv ist?

Natürlich nicht . ein Beweis geht immer dann in die Hosen,  wenn man keine der Voraussetzungen benutzt

fred


>  
> Viele Grüße und vielen Dank!
>  
>  


Bezug
                
Bezug
Abbildungen zwischen Mengen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:55 Di 16.08.2016
Autor: Sauri

Hallo Fred,

die Begründung ist:

Mit [mm] f(x_{1}) [/mm] und [mm] f(x_{2}) [/mm] existiert y.

Reicht das als Voraussetzung?

Viele Grüße



Bezug
                        
Bezug
Abbildungen zwischen Mengen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 05:49 Mi 17.08.2016
Autor: fred97


> Hallo Fred,
>  
> die Begründung ist:
>
> Mit [mm]f(x_{1})[/mm] und [mm]f(x_{2})[/mm] existiert y.

Ach was ? Lies Deine "Begründung" nochmal. Vielleicht merkst Du dann, dass das großer Unfug ist.

Genauso hättest Du sagen können: " Mit [mm]f(x_{1})[/mm] und [mm]f(x_{2})[/mm] ist heute Mittwoch".


>
> Reicht das als Voraussetzung?

Die Voraussetzung ist:

      Es seien X $ [mm] \overset{f}{\rightarrow} [/mm] $ Y $ [mm] \overset{g}{\rightarrow} [/mm] $ X Abbildungen von Mengen mit $g  [mm] \circ [/mm]  f  = id$.






Nun nehmen wir uns [mm] x_1,x_2 \in [/mm] X mit [mm] f(x_1)=f(x_2) [/mm] her. Zu zeigen ist: [mm] x_1=x_2. [/mm]

Los gehts:

   [mm] x_1 =id(x_1)=(g \circ f)(x_1)=g(f(x_1))=..... [/mm]


Jetzt bist Du dran !

FRED

>  
> Viele Grüße
>  
>  


Bezug
                                
Bezug
Abbildungen zwischen Mengen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:00 Mi 17.08.2016
Autor: Sauri

Hallo Fred,

Dankeschön für deine Antwort:

[mm] x_{1} [/mm] = [mm] id(x_{1}) [/mm] = [mm] g(f(x_{1})) [/mm] = [mm] f(x_{1}) [/mm] = [mm] f(x_{2}) [/mm] = [mm] g(f(x_{2})) [/mm] = [mm] id(x_{2}) [/mm] = [mm] x_{2} [/mm]

Jetzt kommt nur noch die Surjektivität für die Abbildung g:

Zu zeigen für alle x [mm] \in [/mm] X ist [mm] f(X)^{-1}nicht [/mm] leer

Sei x [mm] \in [/mm] X und y [mm] \in [/mm] Y

x = id(x) = g(f(x)) = f(y) = x

Ist es jetzt so korrekt?

Viele Grüße

Bezug
                                        
Bezug
Abbildungen zwischen Mengen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:42 Mi 17.08.2016
Autor: Chris84


> Hallo Fred,
>  
> Dankeschön für deine Antwort:
>  
> [mm]x_{1}[/mm] = [mm]id(x_{1})[/mm] = [mm]g(f(x_{1}))[/mm] = [mm]f(x_{1})[/mm] = [mm]f(x_{2})[/mm] =
> [mm]g(f(x_{2}))[/mm] = [mm]id(x_{2})[/mm] = [mm]x_{2}[/mm]

Hier ist was in der Mitte schief gelaufen. Es ist doch nicht [mm] $g(f(x_1))=f(x_1)$. [/mm] Benutze doch gleich [mm] $g(f(x_1))=g(f(x_2))$. [/mm] Dann bist du doch fertig.

>  
> Jetzt kommt nur noch die Surjektivität für die Abbildung
> g:
>
> Zu zeigen für alle x [mm]\in[/mm] X ist [mm]f(X)^{-1}nicht[/mm] leer
>  
> Sei x [mm]\in[/mm] X und y [mm]\in[/mm] Y
>
> x = id(x) = g(f(x)) = f(y) = x

Wie kommst du von $g(f(x))$ auf $f(y)$. Offensichtlich finde ich das nicht. Die Idee ist aber gut.

Mit $x=id(x)=g(f(x))$ bist du doch quasi fertig. Vlt. noch ein oder zwei Saetze dazu schreiben!? (Oder uebersehe ich irgendwas?)

>  
> Ist es jetzt so korrekt?

Vielleicht generell noch ein Kommentar: Man darf auch in der Mathematik gerne ein oder zwei (vlt sogar drei ^^) Saetze schreiben, um Gedanken offensichtlicher zu machen. Wenn man nur Formeln hinklatscht, kann das ganze irgendwann doch recht unverstaendlich werden....

>  
> Viele Grüße

Gruss,
Chris

Bezug
                                                
Bezug
Abbildungen zwischen Mengen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:45 Mi 17.08.2016
Autor: Sauri

Hallo Chris,
du hast natürlich recht!
Im ersten Fall hat das ... = f(x) nichts verloren. Das ist ja y.

Zum Zweiten Fall:
Ist hier f(y) nicht = x?! die Abbildung ist doch: g: Y [mm] \rightarrow [/mm] X

Besten Dank und viele Grüße!



Bezug
                                                        
Bezug
Abbildungen zwischen Mengen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:44 Mi 17.08.2016
Autor: Chris84


> Hallo Chris,

Huhu

> du hast natürlich recht!
> Im ersten Fall hat das ... = f(x) nichts verloren. Das ist
> ja y.
>  
> Zum Zweiten Fall:
>  Ist hier f(y) nicht = x?! die Abbildung ist doch: g: Y
> [mm]\rightarrow[/mm] X

Ich ahne, was du vorhast, aber muesste es dann nicht $g(y)=x$ lauten? Aber immer noch: Da fehlen mir Saetze, was du ueberhaupt machst!? Was du zu zeigen scheinst, ist, dass $x=x$. Ist richtig, nett, irgendwie trivial, aber nicht wirklich zielfuehrend.

Surjektivitaet heisst doch (fuer die hier gegebenen Mengen und Funktionen):

Fuer alle [mm] $x\in [/mm] X$ existiert ein [mm] $y\in [/mm] Y$ derart, dass $g(y)=x$.

Also musst du genau die Existenz eines solchen $y$ zeigen bzw. ein solches $y$ finden/explizit angeben (ich nehme an, das wolltest du...).

Also:

Sei (irgendein) [mm] $x\in [/mm] X$ vorgegeben, dann ist
$x=id(x)=g(f(x))$

Nun ein  Satz und du solltest fertig sein :)


>  
> Besten Dank und viele Grüße!
>  
>  

Gruss,
Chris

Bezug
                                        
Bezug
Abbildungen zwischen Mengen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:17 Do 18.08.2016
Autor: fred97


> Hallo Fred,
>  
> Dankeschön für deine Antwort:
>  
> [mm]x_{1}[/mm] = [mm]id(x_{1})[/mm] = [mm]g(f(x_{1}))[/mm] = [mm]f(x_{1})[/mm] = [mm]f(x_{2})[/mm] =
> [mm]g(f(x_{2}))[/mm] = [mm]id(x_{2})[/mm] = [mm]x_{2}[/mm]

Dazu hat Chris84 schon etwas gesagt.....


>  
> Jetzt kommt nur noch die Surjektivität für die Abbildung
> g:
>
> Zu zeigen für alle x [mm]\in[/mm] X ist [mm]f(X)^{-1}nicht[/mm] leer

Upps, was soll denn [mm]f(X)^{-1}[/mm] sein ???

Wenn Du damit [mm]f^{-1}(X)[/mm] meinst, so ist das Blödsinn, denn

     [mm] f^{-1}(X)=\{x \in X:f(x) \in X\}. [/mm]

Auch das ist Blödsinn, denn f(x) [mm] \in [/mm] Y für jedes x [mm] \in [/mm] X.


>  
> Sei x [mm]\in[/mm] X und y [mm]\in[/mm] Y
>
> x = id(x) = g(f(x)) = f(y) = x
>  
> Ist es jetzt so korrekt?

Nee, das 3. "=" ist abenteuerlich ! Das letzte "=" ist grober Unfug, denn y [mm] \in [/mm] Y, also ist y i.a. nicht im Def.-Bereich von f , also nicht in X.

Nicht böse sein, aber Deine Art Beweise zu führen ist völlig unüberlegt und chaotisch. Du machst das in etwa so:

   man stopfe die Symbole x, =, (, ), id, y, g und f in einen Sack.
   nun ziehe man diese Symbole wahllos aus dem Sack und ordne sie irgendwie an.

Nur so kann das

    " x = id(x) = g(f(x)) = f(y) = x"

zustande kommen.

Zur Surjektivität von g: zu zeigen ist: g(Y)=X.

Klar ist: $g(Y) [mm] \subseteq [/mm] X.$

Weiter ist

  $X=id(X)=g(f(X)) [mm] \subseteq [/mm] g(Y).$

Bei mir kommt der Verdacht auf, dass Dir nicht klar ist, was id bedeutet. Ist das so ?

FRED

>  
> Viele Grüße


Bezug
        
Bezug
Abbildungen zwischen Mengen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:31 Di 16.08.2016
Autor: Teufel

Hi!

Du folgerst aus $f$ injektiv, dass $f$ injektiv ist! Mein Tipp für die Aufgabe: arbeite mit einem Widerspruchsbeweis. Nimm mal an, dass $f$ nicht injektiv ist. Dann gibt es [mm] $x\not=x'$ [/mm] mit ... usw.
Und mit $g$ das gleiche. Nimm an, dass $g$ nicht surjektiv ist. Dann gibt es ein [mm] $x\in [/mm] X$, das nicht getroffen wird, also...

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