Abbildungsgrad, Windungszahl < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Für jede stetige Abbildung [mm] $f:S^1\to S^1$ [/mm] mit $f(1)=1$ definieren wir den Abbildungsgrad $deg(f)$ als die Windungszahl des Weges [mm] $f\circ w_1$.
[/mm]
Zeige:
a) [mm] $def(f\circ w_1)=n\Leftrightarrow f\circ w_1\sim w_n$
[/mm]
b) Ist $deg(f)=1$, so ist $f$ homotop zur Identität.
c) Sind $f,g$ stetige Abbildungen mit $f(1)=g(1)=1$, so ist
[mm] $deg(f\circ [/mm] g)=deg(f)deg(g)$ |
Hallo,
ich habe eine Frage zu dieser Aufgabe.
Erstmal zu a):
Ich bin mir nicht sicher, was mit [mm] $w_n$ [/mm] gemeint ist.
[mm] $deg(f)=n=W(f\circ w_1)=\overline{f\circ w_1}(1)-\overline{f\circ w_1}(0)=n$
[/mm]
Wobei [mm] $f\circ w_1$ [/mm] ein Weg in [mm] $S^1$ [/mm] ist mit [mm] $(f\circ w_1)(0)=p(t)
[/mm]
[mm] $p:\mathbb{R}\to S^1$, $t\mapsto e^{2\pi it}$, [/mm] dann [mm] $\overline{(f\circ w_1)} [/mm] mit [mm] $p\circ \overline{(f\circ w_1)}=f\circ w_1$ [/mm] und [mm] $\overline{f\circ w_1}(0)=t.
[/mm]
Aber was genau für Wege sind nun [mm] $w_1$ [/mm] und [mm] $w_n$?
[/mm]
Weiß da jemand von euch weiter und kann dies klären?
Vielen Dank im voraus.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:56 Mi 15.06.2016 | | Autor: | Ladon |
Es wäre hilfreich, wenn du sagen könntest, was [mm] $w_1$ [/mm] und [mm] $w_n$ [/mm] ist.
Ad b):
[mm] $\deg(f)=1$ [/mm] folgt [mm] $f_\ast:H_1(S^1,\IZ)\to H_1(S^1,\IZ)$ [/mm] ist von der Form [mm] $f_\ast[\alpha]=[1\cdot \alpha]=[\alpha]$, [/mm] d.h. [mm] $f_\ast$ [/mm] ist [mm] $id_\ast$. [/mm] Wegen [mm] $[\alpha]=f_\ast[\alpha]=[f(\alpha)]$ [/mm] ist [mm] $f\simeq [/mm] id$.
Ad c):
[mm] $\deg(f\circ g)=\deg(f)\cdot \deg(g)$. [/mm]
Aus [mm] $(f\circ g)_\ast=f_\ast\circ g_\ast$ [/mm] und [mm] $(f\circ g)_\ast(\alpha)=\deg(f\circ g)\alpha$ [/mm] sowie [mm] $f_\ast((g_\ast(\alpha))=f_\ast(\deg(g)\alpha)=\deg(f)\deg(g)\alpha$ [/mm] folgt die Behauptung.
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Vielen Dank für deine Antwort.
Zu der Bedeutung von [mm] w_1 [/mm] und [mm] w_n [/mm] bin ich mir leider selbst im unklaren. Aber ich vermute, dass
[mm] $w_n: t\mapsto e^{2\pi int}$ [/mm]
gemeint ist. Dies sollte ein, zu der von dir zitierten Definition, äquivalente Abbildung sein.
Edit: > $ [mm] \deg(f)=1 [/mm] $ folgt $ [mm] f_\ast:H_1(S^1,\IZ)\to H_1(S^1,\IZ) [/mm] $
Bezeichnest du mit [mm] $H_1$ [/mm] die Fundamentalgruppe?
Wir haben die Fundamentalgruppe zu einem Basispunkt definiert, und nicht zu zwei Mengen. Also etwa [mm] $H_1(X,x)$
[/mm]
Du meinst mit [mm] $f_{\ast}$ [/mm] die Abbildung
[mm] $f_\{\ast}:H_1(X,x)\to H_1(Y, [/mm] f(x))$ wobei $f$ eine stetige Abbildung topologischer Räume ist und [mm] $x\in [/mm] X$
mit [mm] $[w]\mapsto [f\circ [/mm] w]$ und dies ist ein Gruppenhomomorphismus.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:43 Do 16.06.2016 | | Autor: | Ladon |
> Vielen Dank für deine Antwort.
> Zu der Bedeutung von [mm]w_1[/mm] und [mm]w_n[/mm] bin ich mir leider selbst
> im unklaren. Aber ich vermute, dass
>
> [mm]w_n: t\mapsto e^{2\pi int}[/mm]
>
> gemeint ist. Dies sollte ein, zu der von dir zitierten
> Definition, äquivalente Abbildung sein.
In der Tat.
Deine Definition
[mm] $$\mbox{Der Abbildungsgrad }deg(f) \mbox{ ist die Windungszahl des Weges } f\circ w_1.$$
[/mm]
sollte zu meiner Definition äquivalent sein:
[mm] $$\mbox{Die induzierte Abb. }f_\ast\colon H_1(S^1,\IZ)\cong\IZ\to \IZ\cong H_1(S^1,\IZ) \mbox{ ist ein Homomorphismus } \IZ\to\IZ \mbox{ und hat daher die Form }f_\ast(\alpha)=n\alpha,\mbox{ wobei wir definieren: }deg(f):=n.$$
[/mm]
Genauso kann man mit der dir bekannten Fundamentalgruppe und [mm] $f_\ast\colon\pi_1(S^1,1)\to\pi_1(S^1,1)$ [/mm] mit [mm] $f_\ast[w]=[f(w)]$ [/mm] obige Definition übernehmen, da in diesem Fall [mm] $\pi_1(S^1,1)\cong H_1(S^1,\IZ)$ [/mm] ist. Jetzt könntest du obige Beweise übernehmen, wenn du die Äquivalenz der Definitionen zeigst. Das ist aber ziemlich einfach, da die Schleife [mm] $w_1$ [/mm] Erzeuger von [mm] $\pi_1(S^1,1)$ [/mm] ist. Vielleicht kannst du mit diesen Argumenten im Sinn auch aus meinen obigen Beweisen etwas für einen Beweis mit deiner Definition ableiten.
Um etwas über die Richtigkeit deines Beweises zu a) auszusagen, müsste ich wissen, was $W(...)$ ist.
Hast du einmal a) gezeigt, kannst du sie für b) und c) nutzen.
Viele Grüße
Ladon
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$W(w)$ ist die Windungszahl des Weges $w$.
[mm] $deg(f)=W(f\circ w_1):=\widetilde{(f\circ w_1)}(1)-\widetilde{(f\circ w_1)}(0)$
[/mm]
> Jetzt könntest du obige Beweise übernehmen, wenn du die Äquivalenz der Definitionen zeigst.
Die Äquivalenz welcher Definitionen? Ich kenne die Homologiegruppe ja bisher nicht.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:35 Do 16.06.2016 | | Autor: | Ladon |
Ich habe geschrieben, dass du statt der Homologiegruppe auch die Fundamentalgruppe betrachten kannst, genauer die induzierte Abbildung [mm] $f_\ast [/mm] $ auf der Fundamentalgruppe.
Hier ein erster Tip: [mm] $\deg [/mm] (f)=1$ folgt [mm] $f\circ w_1\sim w_1$. [/mm] Was folgt daraus?
Liebe Grüße
Ladon
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> Hier ein erster Tip: $ [mm] \deg [/mm] (f)=1 $ folgt $ [mm] f\circ w_1\sim w_1 [/mm] $. Was folgt daraus?
[mm] $f\circ w_1\sim w_1$, [/mm] dann ist auch [mm] $f\circ w_1\sim id\circ w_1$, [/mm] also [mm] $f\sim [/mm] id$
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:46 Do 16.06.2016 | | Autor: | Ladon |
Wenn dir der letzte Schritt aufgrund der Surjektivität von [mm] $w_1$ [/mm] klar ist, dann ist das in Ordnung.
Zu c):
Sei [mm] $\deg(f\circ g)=n_{ges}, \deg(f)=n_1,\deg(g)=n_2$.
[/mm]
[mm] $$w_{n_{ges}}\sim (f\circ g)\circ w_1=f\circ (g\circ w_1)\sim f\circ w_{n_2}\sim w_{n_1\cdot n_2}$$
[/mm]
Den letzten Schritt und die Implikation musst du dir noch mal überlegen!
Viele Grüße
Ladon
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> Wenn dir der letzte Schritt aufgrund der Surjektivität von $ [mm] w_1 [/mm] $ klar ist, dann ist das in Ordnung.
Dann ist es mir wohl leider noch nicht klar, weshalb die surjektivität von [mm] $w_1$ [/mm] dafür verantwortlich ist.
zu c)
Leider weiß ich nicht wie die Argumentation fortzuführen ist. :(
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 Sa 18.06.2016 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:02 Mi 15.06.2016 | | Autor: | Ladon |
Ich kann ja nur vermuten, was du mit [mm] $w_1, w_n$ [/mm] bezeichnest.
Eventuell meinst du das gleiche, wie ![[]](/images/popup.gif) Hatcher in seinem Buch Algebraic Topology (S. 29).
Dort wird die Schleife [mm] $w_n(s)=(\cos(2\pi ns),\sin(2\pi [/mm] ns))$ definiert.
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