Abbildungsmatrix < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:38 Di 11.01.2011 | | Autor: | Spalding |
| Aufgabe | Interpretieren Sie die obigen Matrizen als lineare Abbildungen (benutzen Sie dabei die
kanonischen Basen). Geben Sie Bild- und Urbildbereiche an.
[mm] \pmat{ 1 & 0 & -1 & -4 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & -1 & 1 & 0 } [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
In der Vorlesung haben wir bisher nur gesagt, dass man solch eine Matrix als Lineare Abbildung betrachten kann.
Die Spaltenvektoren wären dabei die Bilder der kanonischen Basis ?
Nur wie gehe ich dann weiter vor ?
Man hat doch dann
F(e1) = (1, 0, 0, 0)
F(e2) = (0, 0, 0, -1)
.
.
.
oder etwa nicht ?
Vielen Dank
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Hallo Spalding,
> Interpretieren Sie die obigen Matrizen als lineare
> Abbildungen (benutzen Sie dabei die
> kanonischen Basen). Geben Sie Bild- und Urbildbereiche
> an.
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> [mm]\pmat{ 1 & 0 & -1 & -4 \\
0 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 2 \\
0 & -1 & 1 & 0 }[/mm]
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> In der Vorlesung haben wir bisher nur gesagt, dass man
> solch eine Matrix als Lineare Abbildung betrachten kann.
> Die Spaltenvektoren wären dabei die Bilder der kanonischen
> Basis ?
Ja, stimmt!
>
> Nur wie gehe ich dann weiter vor ?
> Man hat doch dann
>
> F(e1) = (1, 0, 0, 0)
> F(e2) = (0, 0, 0, -1) ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> .
> .
> .
>
> oder etwa nicht ?
Doch doch.
Die Matrix ist vom Format [mm] $4\times [/mm] 4$, beschreibt also eine lineare Abbildung von [mm] $V\to [/mm] W$ mit [mm] $\dim(V)=\dim(W)=4$, [/mm] etwa [mm] $V=W=\IR^4$
[/mm]
Weitere Informationen kannst du gewinnen, wenn du dir mal den Rang der Matrix anschaust, der ist ja relativ offensichtlich.
>
> Vielen Dank
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:15 Di 11.01.2011 | | Autor: | Spalding |
Danke schonmal.
Also habe ich
F(e1) = (1, 0, 0, 0)
F(e2) = (0, 0, 0, -1)
F(e3) = (-1, 1, 0, 1)
F(e4) = (-4, 1, 2, 0)
Nach Elementarer Zeilenumformung (Zeilentauschen) [darf man das hier ? weil dann würde sich ja zb F(e2) ändern]
$ [mm] \pmat{ 1 & 0 & -1 & -4 \\ 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 } [/mm] $
dann wäre der Rang = 4.
Weiter weiß ich allerdings garnicht was ich überhaupt suche ?
Bildbereich = Wertebereich ? Urbildbereich = Definitionsbereich ? Und was ist mit Interpretieren der Matrix gemeint ?
Besten Dank.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:23 Di 11.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> Danke schonmal.
>
> Also habe ich
>
> F(e1) = (1, 0, 0, 0)
> F(e2) = (0, 0, 0, -1)
> F(e3) = (-1, 1, 0, 1)
> F(e4) = (-4, 1, 2, 0)
>
> Nach Elementarer Zeilenumformung (Zeilentauschen) [darf man
> das hier ? weil dann würde sich ja zb F(e2) ändern]
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & -1 & -4 \\ 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 }[/mm]
>
> dann wäre der Rang = 4.
Richtig.
>
>
> Weiter weiß ich allerdings garnicht was ich überhaupt
> suche ?
> Bildbereich = Wertebereich ?
Die Abbildung ist surjektiv, also ist [mm] F(\IR^4)=\IR^4
[/mm]
Die Abbildung ist auch injektiv (warum ?)
> Urbildbereich =
> Definitionsbereich ?
Ja, Definitionsbereich = [mm] \IR^4
[/mm]
> Und was ist mit Interpretieren der
> Matrix gemeint ?
Oben steht: " Interpretieren Sie die obigen Matrizen als lineare Abbildungen "
Eine nxn - Matrix ist ja keine Abbildung, kann aber über die Vorschrift
$x [mm] \to [/mm] A*x$ (x [mm] \in \IR^n)
[/mm]
als Abbildung interpretiert werden
FRED
>
> Besten Dank.
>
>
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:14 Di 11.01.2011 | | Autor: | Spalding |
Die Abbildung ist surjektiv, also ist [mm]F(\IR^4)=\IR^4[/mm]
Ist das so, weil der Rang von der Matrix auch 4 ist ?
Die Abbildung ist auch injektiv (warum ?)
Weil der Urbildbereich auch [mm] R^4 [/mm] ist ?
Gilt allgemein: Der Rang der Matrix = Dimension vom Bildbereich?
Und wie käme ich dann auf die Dimension vom Urbildbereich?
Hat das was mit der Dimension des Zeilenrangs zu tun?
Oben steht: "Interpretieren Sie die obigen Matrizen als
lineare Abbildungen"
Eine nxn - Matrix ist ja keine Abbildung, kann aber über
Die Vorschrift
[mm]x \to A*x[/mm] (x [mm]\in \IR^n)[/mm]
als Abbildung interpretiert werden
Genau da ist meine Frage. Wie soll ich da was reininterpretieren ?
kann ich irgendwie eine Funktionsvorschrift da raus bekommen?
Mit einem linearen Gleichungssystem ?
F(e1) = (1, 0 , 0, 0)
also eine Gleichung das x1 = w1 oder irgendwie sowas?
Besten Dank.
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Hallo nochmal,
> Die Abbildung ist surjektiv, also ist [mm]F(\IR^4)=\IR^4[/mm]
> Ist das so, weil der Rang von der Matrix auch 4 ist ?
>
>
> Die Abbildung ist auch injektiv (warum ?)
> Weil der Urbildbereich auch [mm]R^4[/mm] ist ?
Nein, in für lineare Abb. zw. endlichdimensionalen VR gilt
[mm]\text{injektiv}\gdw\text{surjektiv}\gdw\text{bijektiv}[/mm]
Welche Charakterisierungen kennst du denn für injektive lineare Abb.?
Da war was mit Kern ...
Und dann denke an die Dimensionsformel für lin. Abbildungen ...
>
>
> Gilt allgemein: Der Rang der Matrix = Dimension vom
> Bildbereich?
> Und wie käme ich dann auf die Dimension vom
> Urbildbereich?
Dimensionssatz, siehe oben
> Hat das was mit der Dimension des Zeilenrangs zu tun?
Nein, Zeilenrang=Spaltenrang
>
>
> Oben steht: "Interpretieren Sie die obigen Matrizen als
> lineare Abbildungen"
>
> Eine nxn - Matrix ist ja keine Abbildung, kann aber über
> Die Vorschrift
>
> [mm]x \to A*x[/mm] (x [mm]\in \IR^n)[/mm]
> als Abbildung interpretiert
> werden
>
> Genau da ist meine Frage. Wie soll ich da was
> reininterpretieren ?
Nicht reininterpretieren, sondern die Matrix als Abbildungsmatrix (bzgl. der kanonischen Basen) als lineare Abb. auffassen.
Jede lineare Abb. kannst du (bzgl. fester Basen) durch eine Abbmatrix darstellen
Umgekehrt lässt sich jede [mm]m\times n[/mm]-Matrix als Abbmatrix einer linearen Abb. von einem n-dim VR in einen m-dim VR auffassen (bzgl. geeigneter Basen)
> kann ich irgendwie eine Funktionsvorschrift da raus
> bekommen?
Du meinst, eine explizite Funktionsvorschrift?
Ja, du musst bestimmen, worauf [mm]\vektor{x_1\\
x_2\\
x_3\\
x_4}[/mm] abgebildet wird mithilfe der dir bekannten Bilder der Basisvektoren.
[mm]\vektor{x_1\\
x_2\\
x_3\\
x_4}=x_1\cdot{}\vektor{1\\
0\\
0\\
0}+x_2\cdot{}\vektor{0\\
1\\
0\\
0}+x_3\cdot{}\vektor{0\\
0\\
1\\
0}+x_4\cdot{}\vektor{0\\
0\\
0\\
1}\mapsto \ldots[/mm]
Nutze die Linearität der Abbildung!
>
> Mit einem linearen Gleichungssystem ?
>
> F(e1) = (1, 0 , 0, 0)
> also eine Gleichung das x1 = w1 oder irgendwie sowas?
>
> Besten Dank.
>
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:22 Mi 12.01.2011 | | Autor: | Spalding |
Hallo,
Als injektiv kenne ich nur f(x1)=f(x2) => x1=x2.
Um auf die funktionsvorschrift zu kommen muss ich also die Matrix =(1,1,1,1) setzen und auflösen ?
Also um die Aufgabe zu lösen muss ich dim bestimmen. Bildbereich urbildbereich angeben sowie die funktionsforschrift.
Und dann noch gucken ob subjektiv bzw injektiv bzw bijektiv? Aber das ist ja alles gleichbedeutend .
Gruß spalding
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:35 Mi 12.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
> Als injektiv kenne ich nur f(x1)=f(x2) => x1=x2.
ist f eine lineare Abbildung, so gilt:
f ist injektiv [mm] \gdw [/mm] kern(f):= { x [mm] \inV: [/mm] f(x)=0 } = { 0 }
>
> Um auf die funktionsvorschrift zu kommen muss ich also die
> Matrix =(1,1,1,1) setzen und auflösen ?
Quatsch ! Wie kommst Du darauf ?
FRED
>
> Also um die Aufgabe zu lösen muss ich dim bestimmen.
> Bildbereich urbildbereich angeben sowie die
> funktionsforschrift.
> Und dann noch gucken ob subjektiv bzw injektiv bzw
> bijektiv? Aber das ist ja alles gleichbedeutend .
>
> Gruß spalding
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> Interpretieren Sie die obigen Matrizen als lineare
> Abbildungen (benutzen Sie dabei die
> kanonischen Basen). Geben Sie Bild- und Urbildbereiche
> an.
>
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & -1 & -4 \\
0 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 2 \\
0 & -1 & 1 & 0 }[/mm]
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> In der Vorlesung haben wir bisher nur gesagt, dass man
> solch eine Matrix als Lineare Abbildung betrachten kann.
> Die Spaltenvektoren wären dabei die Bilder der kanonischen
> Basis ?
Hallo,
ja.
Alles Wichtige wurde im Thread ja schon gesagt.
Trotzdem nochmal ein Blick auf Deine Aufgabe aus einem geringfügig anderen Blickwinkel, welcher möglicherweise etwas besser zu dem paßt, was bisher in der Vorlesung dran war - was wirklich dran war, wissen wir ja nicht.
Die Matrix ist die darstellende Matrix der Abbildung
[mm] f(\vektor{x_1\\x_2\\x_3\\x_4}):=x_1*\vektor{1\\0\\0\\0}+x_2*\vektor{0\\0\\0\\-1}+x_3*\vektor{-1\\1\\0\\1}+ x_4*\vektor{-4\\1\\2\\0},
[/mm]
also die darstellende Matrix einer linearen Abbildung aus dem [mm] \IR^4 [/mm] in den [mm] \IR^4.
[/mm]
Du solltest Dir klarmachen, daß das Bild von f der Raum ist, der von den Spalten der Matrix erzeugt wird.
Sind die Spalten ein Erzeugendensystem des [mm] \IR^4, [/mm] so ist die Abbildung surjektiv.
Ihr habt sicher im Zusammenhang mit linearen Abbildungen besprochen, daß injektive lineare Abbildungen linear unabhängige Vektoren auf linear unabhängige Vektoren abbilden.
Du kannst also die Injektivität der Abbildung prüfen, indem Du nachschaust, ob die vier Einheitsvektoren auf linear unabhängige Vektoren abgebildet werden, ob also die Spalten der Matrix linear unabhängig sind.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:11 Mi 12.01.2011 | | Autor: | Spalding |
Vielen dank für die antworten.
Allerdings habe ich nochmals eine fragen.
Die matrix
2 0 1
0 3 4
4 3 6
Wie bestimme ich hierbei bild und urbildbereich?
In zeilestufenform wäre die untere Zeile ja 0.
Vielen dank für die Hilfe
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:59 Mi 12.01.2011 | | Autor: | Spalding |
Vielen Dank für alle Antworten.
Nach einigen Rechnungen habe ich es geschaft !
Gruß Spalding
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