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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:05 Mi 13.04.2011 | | Autor: | kushkush |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | Sei $V'= \b{F_{2}\left[ t \right]_{4}$ und $g= \frac{d}{dt}$.
a) Zeige, dass $g(V') \subset V'$.
b) Finde eine Basis $\b{B}$ von V' mit $\psi _{\b{B}}(g)= \vektor{J(0,2)&0&0 \\ 0& J(0,2) & 0 \\ 0&0& J(0,1)}$ |
Hallo,
a)
Eine Basis von $V'$ ist $(a_{0},a_{1}t,a_{2}t^{2},a_{3}t^{3},a_{4}t^{4})$
und damit ist $g(V')$ bezüglich dieser Basis: $(0,a_{1},2a_{2}t,3a_{3}t^{2},4a_{4}t^{3})$
In $\b{F}_{2}$ sind $2a_{2}t$ und $4a_{4}t^{3}$ null. Also ist zu zeigen,
dass
$g(V')= (0,a_{1},0,3a_{3}t^{2},0) \subset (a_{0},a_{1}t,a_{2}t^{2},a_{3}t^{3},a_{4}t^{4}) = V'$
Es existiert eine Abbildungsmatrix für g(V') bezüglich der gewählten Basis von V': $\vektor{0 & \frac{a_{1}}{a_{0}} &0&0&0 \\
0& 0 & 0 &0 &0\\
0&0&0&3\frac{a_{3}}{a_{2}}&0 \\
0&0&0&0 &0\\
0&0&0&0 &0}$
daraus schliesst man, dass $g(V') \subset V'$ sein muss.
In b) wird eine 3x3 Matrix als Abbildungsmatrix bezüglich einer Basis von V' angegeben, daher kann meine nicht stimmen.
Warum stimmt meine nicht?
Danke und Gruss
kushkush
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> Sei [mm]V'= \b{F_{2}\left[ t \right]_{4}[/mm] und [mm]g= \frac{d}{dt}[/mm].
>
> a) Zeige, dass [mm]g(V') \subset V'[/mm].
>
> b) Finde eine Basis [mm]\b{B}[/mm] von V' mit [mm]\psi _{\b{B}}(g)= \vektor{J(0,2)&0&0 \\
0& J(0,2) & 0 \\
0&0& J(0,1)}[/mm]
>
> Hallo,
>
>
> a)
>
> Eine Basis von [mm]V'[/mm] ist
> [mm](a_{0},a_{1}t,a_{2}t^{2},a_{3}t^{3},a_{4}t^{4})[/mm]
Hallo,
ob das stimmt, hängt stark von den [mm] a_i [/mm] ab.
Gib' eine Basis an, die keine Fragen offen läßt.
>
> und damit ist [mm]g(V')[/mm] bezüglich dieser Basis:
Was meinst Du denn mit dieser Formulierung?
> [mm](0,a_{1},2a_{2}t,3a_{3}t^{2},4a_{4}t^{3})[/mm]
>
> In [mm]\b{F}_{2}[/mm] sind [mm]2a_{2}t[/mm] und [mm]4a_{4}t^{3}[/mm] null.
Ja.
> Also ist zu
> zeigen,
>
> dass
>
> [mm]g(V')= (0,a_{1},0,3a_{3}t^{2},0) \subset (a_{0},a_{1}t,a_{2}t^{2},a_{3}t^{3},a_{4}t^{4}) = V'[/mm]
Es ist nicht [mm] V'=(a_0, [/mm] a_1t, [mm] a_2t^2, a_3t^3, a_4t^4).
[/mm]
Du meinst wohl dies:
[mm] V'=, [/mm] wobei die spitzen Klammern hier fürs Erzeugnis stehen. (Aufmerke: stimmen tut das nur für die richtigen [mm] a_i)
[/mm]
Fürs Zeigen von [mm] g(V')\subseteq [/mm] V' mußt Du doch bloß vormachen, daß für jedes Polynom [mm] p=a_0+a_1t+a_2t^2+a_3t^3+a_4t^4 [/mm] das Polynom g(p) auch in V' ist, g(p) also ein Polynom über [mm] F_2 [/mm] vom Höchstgrad 4 ist.
Eine Abbildungsmatrix braucht man dafür eigentlich nicht.
Oder anders gesagt: man kann sie erst aufstellen, wenn man den Raum, in welchen abgebildet wird, und eine Basis desselbne kennt.
Na gut, Du hast das alles simultan gemacht.
>
>
> Es existiert eine Abbildungsmatrix für g(V') bezüglich
> der gewählten Basis von V': [mm]$\vektor{0 & \frac{a_{1}}{a_{0}} &0&0&0 \\
0& 0 & 0 &0 &0\\
0&0&0&3\frac{a_{3}}{a_{2}}&0 \\
0&0&0&0 &0\\
0&0&0&0 &0}$[/mm]
Hm. Du hast hier aber mit [mm] a_0,a_2=0 [/mm] ggf. ziemlich schlechte Karten...
Was sind das für Brüche? Sollten nicht Elemente des [mm] F_2 [/mm] in der Matrix stehen?
>
> daraus schliesst man, dass [mm]g(V') \subset V'[/mm] sein muss.
>
>
> In b) wird eine 3x3 Matrix als Abbildungsmatrix bezüglich
> einer Basis von V' angegeben,
oh, oh, oh...
> daher kann meine nicht
> stimmen.
s.o.
>
> Warum stimmt meine nicht?
Sie hat durchaus Idealmaße...
Gruß v. Angela
>
>
>
>
> Danke und Gruss
> kushkush
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:24 Mi 13.04.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo,
> gib eine Basis an die keine Fragen offen lässt
Eine Basis von $V'$ ist : [mm] $(a_{0},a_{1}t,a_{2}t^{2},a_{3}t^{3},a_{4}t^{4})$ [/mm] mit $i=0,1,2,3,4$ [mm] $a_{i}$ [/mm] ungerade und nicht null.
Das ist dasselbe wie [mm] :$V'=$ [/mm] mit $i=0,1,2,3,4$ [mm] $a_{i}$ [/mm] ungerade und nicht null. ?
> Was meinst Du denn mit dieser Formulierung?
Damit meine ich die Abbildung meiner gewählten Basis.
Die Abbildung dieser Basis ergibt : [mm] $(0,a_{1}t,0,3a_{3}t^{2},0)$
[/mm]
> Fürs Zeigen von
$p(t) = [mm] a_{0}+a_{1}t+a_{2}t^{2}+a_{3}t^{3}+a_{4}t^{4}$
[/mm]
$g(p(t))= 0 [mm] \cdot a_{0} [/mm] + [mm] a_{1} [/mm] + [mm] 2a_{2}t+3a_{3}t^{2}+4a_{4}t^{3}+0\cdot t^{4} [/mm] $
$ [mm] \Rightarrow [/mm] g(p(t)) [mm] \subset [/mm] p(t) [mm] \gdw g(V')\subset [/mm] V' $
> oh, oh, oh...
Man hat die Abbildungsmatrix: [mm] $\vektor{0 & 1 &0 &0 &0 \\ 0&0&0&0&0 \\ 0&0&0&1&0 \\ 0&0&0&0&0 \\ 0&0&0&0&0&}$
[/mm]
Jetzt soll eine Basis von V' angegeben werden, die diese Abbildungsmatrix ergibt. Also eine Basis, die in [mm] $\b{F}_{2}$ [/mm] abgeleitet ergeben muss: [mm] $a_{0} [/mm] + [mm] a_{2}t^{2}$
[/mm]
Also ist eine mögliche Basis: [mm] $(a_{0},a_{0}t,3a_{2}t^{2},a_{2}t^{3},a_{4}t^{4})$
[/mm]
So richtig?
> GruB
Danke
Gruss
kushkush
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> Hallo,
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>
> > gib eine Basis an die keine Fragen offen lässt
>
> Eine Basis von [mm]V'[/mm] ist :
> [mm](a_{0},a_{1}t,a_{2}t^{2},a_{3}t^{3},a_{4}t^{4})[/mm] mit
> [mm]i=0,1,2,3,4[/mm] [mm]a_{i}[/mm] ungerade und nicht null.
Hallo,
und was hättest Du dann für [mm] a_i [/mm] in Deinem Bauchladen?
>
> Das ist dasselbe wie
> :[mm]V'=[/mm] mit
> [mm]i=0,1,2,3,4[/mm] [mm]a_{i}[/mm] ungerade und nicht null. ?
???
Ich weiß nicht, was Du damit meinst.
Eine Basis erzeugt den Raum. Klar. Sonst wär's ja keine Basis.
Gruß v. Angela
>
> > Was meinst Du denn mit dieser Formulierung?
>
> Damit meine ich die Abbildung meiner gewählten Basis.
>
> Die Abbildung dieser Basis ergibt :
> [mm](0,a_{1}t,0,3a_{3}t^{2},0)[/mm]
>
> > Fürs Zeigen von
>
> [mm]p(t) = a_{0}+a_{1}t+a_{2}t^{2}+a_{3}t^{3}+a_{4}t^{4}[/mm]
>
> [mm]g(p(t))= 0 \cdot a_{0} + a_{1} + 2a_{2}t+3a_{3}t^{2}+4a_{4}t^{3}+0\cdot t^{4}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow g(p(t)) \subset p(t) \gdw g(V')\subset V'[/mm]
>
> > oh, oh, oh...
>
> Man hat die Abbildungsmatrix: [mm]\vektor{0 & 1 &0 &0 &0 \\
0&0&0&0&0 \\
0&0&0&1&0 \\
0&0&0&0&0 \\
0&0&0&0&0&}[/mm]
>
> Jetzt soll eine Basis von V' angegeben werden, die diese
> Abbildungsmatrix ergibt. Also eine Basis, die in [mm]\b{F}_{2}[/mm]
> abgeleitet ergeben muss: [mm]a_{0} + a_{2}t^{2}[/mm]
>
> Also ist eine mögliche Basis:
> [mm](a_{0},a_{0}t,3a_{2}t^{2},a_{2}t^{3},a_{4}t^{4})[/mm]
>
>
> So richtig?
>
>
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> > GruB
>
> Danke
>
>
>
> Gruss
> kushkush
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:09 Mi 13.04.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo
> Bauchladen
[mm] $a_{0}=1$, $a_{2}= [/mm] 3$ , [mm] $a_{3}=5$, $a_{4}=7$ [/mm] ?
> Ich weiß nicht, was Du damit meinst
Ok dann ist es falsch und ich schreibs nicht so.
Was stimmt denn am Rest nicht?
> GruB
Danke
Gruss
kushkush
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> [mm]a_{0}=1[/mm], [mm]a_{2}= 3[/mm] , [mm]a_{3}=5[/mm], [mm]a_{4}=7[/mm] ?
Hallo,
das Schlimme ist nur, daß 3,5,7 überhaupt nicht in [mm] F_2 [/mm] sind...
Was ist eigentlich [mm] F_2? [/mm] Ist Dir das klar? Was ist da drin? Welche Auswahl hast Du für die Koeffizienten [mm] a_i?
[/mm]
Eigentlich ist es doch klar, daß [mm] B:=(1,t,t^2, t^3, t^4) [/mm] eine Basis des Raumes ist, oder?
Nun mußt Du glaubhaft machen, daß g(p) für jedes [mm] p\in [/mm] V' ein Polynom vom Höchstgrad 4 mit Koeffizienten aus [mm] F_2 [/mm] ist.
Damit ist dann [mm] g(V')\subseteq [/mm] V' gezeigt.
Weil Du inzwischen eine Basis von V' gefunden hast und weißt, daß g in denRaum V' abbildet, kannst Du die Abbildungsmatrix von g bzgl dieser Basis aufstellen.
Wenn Du das tust, wirst Du sehen, daß Du im Vorübergehen Teil b) gelöst hast.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:34 Mi 13.04.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo,
[mm] $\b{F}_{2}$ [/mm] ist der Primkörper der Ordnung 2. Es gibt in ihm nur [mm] $\b{F}_{2}=\{0,1\}$ [/mm]
> g(V') zeigen
ich habe ja die Basis abgebildet, kann ich die abgebildete von der Basis abziehen und sagen:
$B- g(B) [mm] \ge [/mm] 0 [mm] \Rightarrow [/mm] g(B) [mm] \subset [/mm] B [mm] \Rightarrow [/mm] g(V') [mm] \subset [/mm] V'$
> Basis ist gegeben durch [mm] $B:=(1,t,t^{2},t^{3},t^{4}) [/mm] $
$g(B) = [mm] (0,1,0,t^{2},0)$ [/mm]
Abbildungsmatrix: [mm] $\vektor{0&1&0&0&0\\0&0&0&0&0\\ 0&0&0&1&0 \\ 0&0&0&0&0 \\ 0&0&0&0&0} $ [/mm]
und das ist b) also ist hier die gesuchte Basis $B:= [mm] (1,t,t^{2},t^{3},t^{4})$
[/mm]
> GruB
Danke!
Gruss
kushkush
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> Hallo,
>
>
> [mm]\b{F}_{2}[/mm] ist der Primkörper der Ordnung 2. Es gibt in ihm
> nur [mm]\b{F}_{2}=\{0,1\}[/mm]
Hallo,
eben.
>
> > g(V') zeigen
>
> ich habe ja die Basis abgebildet, kann ich die abgebildete
> von der Basis abziehen
Hast Du in Eurer Vorlesung, Eurem Skript, dem von Dir verwendeten Buch diese Operation kennengelernt? Die Addition bzw. Subtraktion von Basen und Folgerungen daraus?
Was meinst Du damit, daß [mm] B-g(B)\ge [/mm] 0 ist?
Wie wurde das in Deiner Vorlesung/Deinem Buch definiert?
> und sagen:
>
> [mm]B- g(B) \ge 0 \Rightarrow \red{g(B) \subset B \Rightarrow g(V') \subset V'}[/mm]
>
Die rotmarkierte Folgerung ist eine sinnvolle.
> > Basis ist gegeben durch [mm]B:=(1,t,t^{2},t^{3},t^{4})[/mm]
>
> [mm]g(B) = (0,1,0,t^{2},0)[/mm]
>
> Abbildungsmatrix: [mm]\vektor{0&1&0&0&0\\
0&0&0&0&0\\
0&0&0&1&0 \\
0&0&0&0&0 \\
0&0&0&0&0} [/mm]
Ja.
>
> und das ist b) also ist hier die gesuchte Basis [mm]B:= (1,t,t^{2},t^{3},t^{4})[/mm]
Ja.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:28 Mo 18.04.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo,
> Korrektur
Danke
> GruB
Gruss
kushkush
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