Abbildungsmatrix Ableitungsfun < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Betrachten Sie den von f1: x-> 1, f2: x -> sin x, und f3: x -> cos x erzeugten Untervektorraum V von [mm] R^R.
[/mm]
Es bezeichne v: V -> V, f -> f' die Ableitung, d.h. v(sin x) = cos x und v(cos x) = - sin x
a)Bestimmen Sie das charateristische Polynom und das Minimalpolynom von v
Ergebnis beider sollte sein: [mm] x(x^2+1) [/mm] |
Hallo,
um das charakteristische Polynom zu bestimmen müssen wir die Abbildung als Abbildungsmatrix darstellen.
Hier scheitere ich.
Als Basis für V habe ich gewählt:
[mm]
v0 = \vektor{1\\0\\0}
v1 = \vektor{0\\sinx\\0}
v2 = \vektor{0\\0 \\ cos x}
[/mm]
Dann habe ich die Koordinaten der Ableitung der Basiselemente bestimmt:
[mm]
v0 = \vektor{0\\0\\0}
v1 = \vektor{0\\0\\1}
v2 = \vektor{0\\-1 \\ 0}
[/mm]
Dann sollte doch eig. jeder dieser Vektoren eine Spalte meiner Abbildungsmatrix bilden.
Berechne ich davon jedoch det (A-yE), erhalte ich [mm] -y^3 [/mm] und das passt leider nicht zur Musterlösung...
Weiß einer was ich hier falsch mache?
Schöne Grüße
Matthiasnet
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> Betrachten Sie den von f1: x-> 1, f2: x -> sin x, und f3: x
> -> cos x erzeugten Untervektorraum V von [mm]R^R.[/mm]
> Es bezeichne v: V -> V, f -> f' die Ableitung, d.h. v(sin
> x) = cos x und v(cos x) = - sin x
>
> a)Bestimmen Sie das charateristische Polynom und das
> Minimalpolynom von v
>
> Ergebnis beider sollte sein: [mm]x(x^2+1)[/mm]
> Hallo,
>
> um das charakteristische Polynom zu bestimmen müssen wir
> die Abbildung als Abbildungsmatrix darstellen.
Hallo,
genau.
> Hier scheitere ich.
> Als Basis für V habe ich gewählt:
> [mm]
v0 = \vektor{1\\0\\0}
v1 = \vektor{0\\sinx\\0}
v2 = \vektor{0\\0 \\ cos x}
[/mm]
Das ist nicht richtig. Dein Vektorraum V besteht ja aus Funktionen.
Ein Erzeugendensystem ist angegeben, nämlich ist [mm] V:=.
[/mm]
Du kannst Dich davon überzeugen, daß die Vektoren (=Elemente des Vektorraumes) [mm] f_1, f_2, f_3 [/mm] linear unabhängig sind, also bilden sie eine Basis B des Vektorraumes V.
Nun willst Du die Darstellungsmatrix der Abbildung v: [mm] V\to [/mm] V mit v(f):=f'.
Wie geht das? Standardsprüchelchen: In den Spalten der Darstellungsmatrix bzgl. einer Basis B stehen die Bilder der basisvektoren von B in Koordinaten bzgl B.
Du brauchst also die Bilder von [mm] f_1, f_2 [/mm] und [mm] f_3, [/mm] mußt diese dann als Linearkombination von [mm] f_1, f_2, f_3 [/mm] schreiben und den Koordinatenvektor aufstellen.
Beispiel:
[mm] v(f_2)=f_3=0*f_1+0*f_2++1*f_3=\vektor{0\\0\\1}_{(B)}.
[/mm]
Dies ist die zweite Spalte der Darstellungsmatrix - auf dubiosem Weg hattest Du dies ja auch schon herausgefunden,
die von Dir verwendete Matrix ist richtig.
> Dann habe ich die Koordinaten der Ableitung der
> Basiselemente bestimmt:
> [mm]
v0 = \vektor{0\\0\\0}
v1 = \vektor{0\\0\\1}
v2 = \vektor{0\\-1 \\ 0}
[/mm]
> Berechne ich davon jedoch det (A-yE), erhalte ich [mm]-y^3[/mm]
Rechne einfach nochmal, und wenn Du wieder dieses Ergebnis bekommst, mach genau vor, wie Du die Determinante berechnest.
Gruß v. Angela
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Danke Dir, jetzt ist es klar.
In meinen Büchern ist das chrakteristische Polynom definiert als
Xm = det(M-xE)
Bei Wikipedia wird jedoch mit Xm = det(xE-M) gerechnet.
Je nachdem erhalte ich für das charakteristische Polynom
[mm] -y(y^2+1) [/mm] oder [mm] y(y^2+1)
[/mm]
Ist das prinzipiell egal welche Methode man anwendet?
Grüße
Matthiasnet
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> Danke Dir, jetzt ist es klar.
> In meinen Büchern ist das chrakteristische Polynom
> definiert als
> Xm = det(M-xE)
>
> Bei Wikipedia wird jedoch mit Xm = det(xE-M) gerechnet.
>
> Je nachdem erhalte ich für das charakteristische Polynom
> [mm]-y(y^2+1)[/mm] oder [mm]y(y^2+1)[/mm]
> Ist das prinzipiell egal welche Methode man anwendet?
Hallo,
im Prinzip ist das egal, die Nullstellen, für welche man sich brennend interessiert, sind ja gleich.
Mach es so, wie Ihr es in der Vorlesung gesagt bekommen habt - und wenn Du es in der Klausur andersrum machst, kann ich mir kaum vorstellen, daß dies Probleme gibt.
Es hat det(M-xE) einen Riesenvorteil: man macht nicht so viel falsch. Auf der Diagonalen x zu subtrahieren schafft man noch irgendwie,
bei det(xE-M) hingegen muß man furchtbar viele Vorzeichen umdrehen, was man leicht vergißt und nicht einfach per Copy-Taste tun kann...
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:42 Sa 31.07.2010 | | Autor: | fred97 |
Dein Thema lautet: Abbildungsmatrix, Ableitungsfun
Den ersten Begriff kenne ich, aber was ist denn Ableitungsfun ?
FRED
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> Dein Thema lautet: Abbildungsmatrix, Ableitungsfun
>
> Den ersten Begriff kenne ich, aber was ist denn
> Ableitungsfun ?
Der Fun, den echte Freaks beim Ableiten haben.
Eigentlich sollte das Wort doch selbsterklärend sein.
Gruß v. Angela
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