matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenLineare Algebra - Moduln und VektorräumeAbbildungsmatrix, Faktorraum
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Deutsch • Englisch • Französisch • Latein • Spanisch • Russisch • Griechisch
Forum "Lineare Algebra - Moduln und Vektorräume" - Abbildungsmatrix, Faktorraum
Abbildungsmatrix, Faktorraum < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra - Moduln und Vektorräume"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Abbildungsmatrix, Faktorraum: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:48 Sa 11.04.2015
Autor: duduknow

Aufgabe
Es seien $V$ ein Vektorraum, $U$ ein Untervektorraum von $V$ und [mm] $\rho$ [/mm] ein Endomorphismus von $V$ mit [mm] $\rho(U) \subset [/mm] U$.

(a) Zeigen Sie, dass durch [mm] $$\overline{p}:V/_U \rightarrow [/mm] V/_U, [x] = x + U [mm] \mapsto [\rho(x)] [/mm] = [mm] \rho(x) [/mm] + U$$ eine lineare Abbildung definiert wird.

(b) Weiter sei [mm] $(v_1, \dots, v_k)$ [/mm] eine geordnete Basis von $U$, die durch [mm] $v_{k + 1}, \dots, v_n$ [/mm] zu einer Basis [mm] $\mathcc{B} [/mm] = [mm] (v_1, \dots, v_n)$ [/mm] von $V$ ergänzt werde. Die Abbildungsmatrix von [mm] $\rho$ [/mm] bezüglich $B$ sei $A = [mm] (a_{ij})_{i,j = 1, \dots, n}$. [/mm]

Zeigen Sie, dass [mm] $(v_{k + 1} [/mm] + U, [mm] \dots, v_n [/mm] + U)$ eine Basis von $V/_U$ ist, bezüglich derer [mm] $\overline{\rho}$ [/mm] die Abbildungsmatrix [mm] $(a_{ij})_{i,j = k+1, \dots, n}$ [/mm] hat.

Hi,

zu dieser Aufgabe ist Folgendes mein Ansatz. Ich verwende aber gar nirgends, dass [mm] $\rho$ [/mm] invariant unter $U$ ist. Wo wird das falsch?

Es ist [mm] $\overline{\rho}$ [/mm] eine lineare Abbildung, denn
[mm] $$\overline{\rho}([x] [/mm] + [mm] \lambda [/mm] [y]) = [mm] \overline{\rho}([x [/mm] + [mm] \lambda [/mm] y]) = [mm] [\rho(x [/mm] + [mm] \lambda [/mm] y)] = [mm] [\rho(x) [/mm] + [mm] \lambda \rho(y)] [/mm] = [mm] [\rho(x)] [/mm] + [mm] \lambda [\rho(y)] [/mm] = [mm] \overline{\rho}([x]) [/mm] + [mm] \lambda \overline{\rho}([y])\text{.}$$ [/mm]

Für $k + 1 [mm] \le [/mm] s [mm] \le [/mm] n$ gilt
[mm] $$\overline{\rho}([v_s]) [/mm] = [mm] [\rho(v_s)] [/mm] = [mm] [\sum^n_{i = 1} a_{i,s} v_i] [/mm] = [mm] \underbrace{[\sum^k_{i = 1} a_{i,s} v_i]}_{= [0]\text{ , da } \in U} [/mm] + [mm] [\sum^n_{i = k + 1} a_{i,s} v_i] [/mm] = [mm] [\sum^n_{i = k + 1} a_{i,s} v_i] [/mm] = [mm] \sum^n_{i = k + 1} a_{i,s} [v_i]\text{.}$$ [/mm]
Also bilden die [mm] $a_{i,s}$ [/mm] die $s - k - 1$-te Spalte von [mm] $\mathcc{M}_\mathcc{C}^\mathcc{C}(\overline{\rho})$. [/mm]

        
Bezug
Abbildungsmatrix, Faktorraum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:58 So 12.04.2015
Autor: hippias

Die Voraussetzung geht auch in ganz subtiler Weise in das Problem ein: Du hast gezeigt, wenn [mm] $\overline{\rho}$ [/mm] eine Funktion ist, dann ist sie linear. Aber ist [mm] $\overline{\rho}$ [/mm] ueberhaupt eine Funktion?

Was Du noch ueberpruefen ist die sogenannte Wohldefiniertheit. Ich moechte es so erlaeutern: Bisher haben wir eine Relation definiert [mm] $\overline{\rho}= \{(X,Y)\in (V/U)^{2}|\exists x\in X\: Y= x\rho+U\}$. [/mm] Damit eine Funktion vorliegt, muss diese Relation folgende Eigenschaft erfuellen: fuer beliebige $(X,Y), [mm] (X,Y')\in \overline{\rho}$ [/mm] folgt, dass $Y= Y'$ ist.
Dies bedeutet, dass es zu einem Argument genau einen Funktionswert gibt. Und fuer den Nachweis dieser Eigenschaft wirst Du die Invarianz benoetigen.

Bezug
                
Bezug
Abbildungsmatrix, Faktorraum: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:22 So 12.04.2015
Autor: duduknow

Ah, danke!

Also so: Sei $[x], [y] [mm] \in [/mm] V/_U$ mit $[x] = [y]$, d.h. es gibt ein $u [mm] \in [/mm] U$ mit $x = y + u$.

Dann gilt [mm] $\overline{\rho}([x]) [/mm] = [mm] [\rho(y [/mm] + u)] = [mm] [\rho(y) [/mm] + [mm] \rho(u)] [/mm] = [mm] [\rho(y)] [/mm] + [mm] [\rho(u)] [/mm] = [mm] \overline{\rho}([y])$, [/mm] und für [mm] $[\rho(u)] [/mm] = [0]$ brauch ich die Invarianz.

Bezug
                        
Bezug
Abbildungsmatrix, Faktorraum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:46 So 12.04.2015
Autor: tobit09

Hallo duduknow!


> Ah, danke!
>
> Also so: Sei [mm][x], [y] \in V/_U[/mm] mit [mm][x] = [y][/mm], d.h. es gibt
> ein [mm]u \in U[/mm] mit [mm]x = y + u[/mm].
>
> Dann gilt [mm]\overline{\rho}([x]) = [\rho(y + u)] = [\rho(y) + \rho(u)] = [\rho(y)] + [\rho(u)] = \overline{\rho}([y])[/mm],
> und für [mm][\rho(u)] = [0][/mm] brauch ich die Invarianz.  

[ok] Genau!

(Ich finde es etwas unglücklich, schon [mm] $\overline{\rho}([x])$ [/mm] zu schreiben, solange noch nicht klar ist, dass [mm] $\overline{\rho}$ [/mm] überhaupt wohldefiniert ist, auch wenn viele Mathematiker Wohldefiniertheits-Beweise so notieren.
Um dieses Problem zu vermeiden, schreibe [mm] $[\rho(x)]$ [/mm] anstelle von [mm] $\overline{\rho}([x])$. [/mm]
Analog mit y statt x.)


Viele Grüße
Tobias

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra - Moduln und Vektorräume"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


Alle Foren
Status vor 4h 09m 3. TS85
MaßTheo/Sigma-Algebra = P(X)
Status vor 21h 57m 8. Gonozal_IX
MaßTheo/Beweis Sigma-Algebra
Status vor 1d 20h 40m 6. hohohaha1234
USons/Größtmöglichstes Produkt
Status vor 2d 2. matux MR Agent
Mathematica/parametrischen Plot
Status vor 2d 3. Gonozal_IX
UAuslg/Log. Äquivl. vs. log. Schluss
^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]