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Abbildungsmatrix Spiegelung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:49 Mo 27.02.2017
Autor: Austinn

Aufgabe
Wir betrachten in [mm] \IR^{3} [/mm] den Untervektorraum:
E:={ [mm] {x\vektor{1 \\ 0 \\ 1}+y\vektor{0 \\ 1 \\ 2} : x, y \in \IR } [/mm] }
Geometrisch ist dies eine Ebene durch den Ursprung. Weiter sei Φ: [mm] \IR^{3}→\IR^{3} [/mm] die lineare Abbildung, die durch die Spiegelung an der Ebene E gegeben ist.  
a) Wählen Sie eine Basis B' des [mm] \IR^{3} [/mm] , für die die Bilder der Basisvektoren unter Φ leicht anzugeben sind, und geben Sie die Bilder der Basisvektoren an.
b) Bestimmen Sie die Abbildungsmatrix [mm] M_{B'}^{B'} [/mm] von Φ bezüglich B'.

a) verstehe ich. hier habe ich für B' ={(1; 0; 1)T , (0; 1; 2)T , (1; 2; -1)T}

Bei b) habe ich keine Idee. Kann jemand anschaulich erklären und zeigen wie man die b) macht, vor allem das mit der Spiegelung erklären?

Danke!

        
Bezug
Abbildungsmatrix Spiegelung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:29 Mo 27.02.2017
Autor: angela.h.b.


> Wir betrachten in [mm]\IR^{3}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

den Untervektorraum:

>  E:={ [mm]{x\vektor{1 \\ 0 \\ 1}+y\vektor{0 \\ 1 \\ 2} : x, y \in \IR }[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)


> }
> Geometrisch ist dies eine Ebene durch den Ursprung. Weiter
> sei Φ: [mm]\IR^{3}→\IR^{3}[/mm] die lineare Abbildung, die durch
> die Spiegelung an der Ebene E gegeben ist.  
> a) Wählen Sie eine Basis B' des [mm]\IR^{3}[/mm] , für die die
> Bilder der Basisvektoren unter Φ leicht anzugeben sind,
> und geben Sie die Bilder der Basisvektoren an.
>  b) Bestimmen Sie die Abbildungsmatrix [mm]M_{B'}^{B'}[/mm] von Φ
> bezüglich B'.
>  a) verstehe ich. hier habe ich für B' ={(1; 0; 1)T , (0;
> 1; 2)T , (1; 2; -1)T}

Hallo,

ja, genau.

Du hast den anderen Teil der Frage a nicht beantwortet,

jedoch hoffe ich, Dir ist klar, daß

[mm] \Phi(\vektor{1\\0\\1})=\vektor{1\\0\\1}. [/mm]

[mm] \Phi(\vektor{0\\1\\2})=\vektor{0\\1\\2} [/mm]

[mm] \Phi(\vektor{1\\2\\-1}=-\vektor{1\\2\\-1}. [/mm]

Die Vektoren parallel zur Ebene bleiben, und der zur Ebene senkrechte "klappt um".

>  
> Bei b) habe ich keine Idee. Kann jemand anschaulich
> erklären und zeigen wie man die b) macht, vor allem das
> mit der Spiegelung erklären?

Sprüchlein:
"In den Spalten der Abbildungsmatrix von [mm] \Phi [/mm] bzgl. der Basis B' stehen die Bilder der Basisvcektoren von B' in Koordinaten bzgl B'."

Schauen wir uns [mm] \Phi(\vektor{1\\0\\1}) [/mm] an, woraus wir die erste Spalte gewinnwn:

[mm] \Phi(\vektor{1\\0\\1})=\vektor{1\\0\\1}=1*\vektor{1\\0\\1}+0*\vektor{0\\1\\2}+0*\vektor{1\\2\\-1}=\vektor{1\\0\\0}_{(B')}. [/mm]

Analog gewinnst Du die anderen Spalten.

LG Angela


>  
> Danke!


Bezug
                
Bezug
Abbildungsmatrix Spiegelung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:33 Mo 27.02.2017
Autor: Austinn

hast du [mm] $\Phi(\vektor{1\\0\\1})=\vektor{1\\0\\1}=1\cdot{}\vektor{1\\0\\1}+0\cdot{}\vektor{0\\1\\2}+0\cdot{}\vektor{1\\2\\-1}=\vektor{1\\0\\0}_{(B')}. [/mm] $mit dem lgs gelöst?

falls ja bekomme ich für [mm] \vektor{1\\0\\1} [/mm]
I.   x +       z  = 1
II.  y +     2z  = 0
III. x + y -  z  = 1
tatsächlich [mm] \vektor{1\\0\\0} [/mm]

aber für [mm] \vektor{0\\1\\2} [/mm] bekomme ich mit
I.   x +       z  = 0
II.       y +2z  = 1
III. x + y -  z  = 2
ein komisches Ergebnis.
Stimmt überhaupt meine Herangehensweise ?

Danke!

Bezug
                        
Bezug
Abbildungsmatrix Spiegelung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:15 Di 28.02.2017
Autor: meili

Hallo Austinn,

> hast du
> [mm]\Phi(\vektor{1\\0\\1})=\vektor{1\\0\\1}=1\cdot{}\vektor{1\\0\\1}+0\cdot{}\vektor{0\\1\\2}+0\cdot{}\vektor{1\\2\\-1}=\vektor{1\\0\\0}_{(B')}. [/mm]mit
> dem lgs gelöst?
>  
> falls ja bekomme ich für [mm]\vektor{1\\0\\1}[/mm]
>  I.   x +       z  = 1
>  II.  y +     2z  = 0
>  III. x + y -  z  = 1
>  tatsächlich [mm]\vektor{1\\0\\0}[/mm]

Kann man so machen. "Sieht" man aber auch, wenn aus 3 Basisvektoren
der erste Basisvektor zusammengesetzt werden soll, dass die 1. Komponente
1 und die anderen beiden 0 sind.
Leider hat sich in der III. Zeile deines Gleichungssystem ein Fehler
eingeschlichen, es ist:
III. x + 2y - z = 1

>  
> aber für [mm]\vektor{0\\1\\2}[/mm] bekomme ich mit
> I.   x +       z  = 0
>  II.       y +2z  = 1
>  III. x + y -  z  = 2
>  ein komisches Ergebnis.
>  Stimmt überhaupt meine Herangehensweise ?

Das komische Ergebnis kommt von der falschen III. Zeile, die

III. x + 2y - z = 2

sein müsste.

>  
> Danke!
>  

Gruß
meili

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