Abbildungsmatrix bestimmen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:45 Do 13.03.2008 | | Autor: | kinga |
| Aufgabe | Eine ägyptische Pyramide hat die Form einer senkrechten, quadratischen Pyramide. Die Seitenlänge des Quadrats beträgt 144 m, die Höhe 90 m. Zur Vermessung wird ein kartesisches Koordinatensystem mit der Längeneinheit 1 m verwendet, dessen Ursprung in der Mitte der quadratischen Grundfläche liegt und dessen x- und y-Achse parallel zu den Grundkaten verlaufen. Die Eckpunkte der Grundfläche sind A,B,C,D und die Spitze ist S.
Aufgaben:
1.1 Geben Sie die Koordinaten der Eckpunkte A, B, C, D und S an.
1.2 Berechnen Sie die Länge der Seitenkante AS
1.3 Bestimmen Sie die Ebene durch die Punkte A, B und S
2.1 Die Pyramide wird parallel zur Geraden [mm] g:\overrightarrow{x}=\lambda\vektor{4 \\ -4 \\ -3} [/mm] angestrahlt. Bestimmen Sie die Abbildungsmatrix der Parallelprojektion in die x-y-Ebene. Bestimmen Sie die Koordinaten der Bildpunkte A' und S'. |
Nach meiner Lösung der Aufgabe
1.1, haben die Eckpunkte folgende Koordinaten: A(72,72,0), B(-72,72,0), C(-72,-72,0), D(72,-72,0), S(0,0,90).
1.2 [mm] \wurzel{90^{2}+wurzel{72^{2}+72^{2}}}
[/mm]
1.3 [mm] 5x_{2}+4x_{3}=360
[/mm]
Bei der Aufgabe 2 fällt mir leider jede Idee. Zum Einen weiß ich nicht genau, wie die Abbildungsmatrix gebildet wird, schon gar nicht, wenn es die Abbildungsmatrix der Parallelprojektion sein sollte und das auch noch beschränkt auf die x-y-Ebene. Von den Bildpunkten ganz zu schweigen...
Hilfe!
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Hallo,
die von Dir bearbeiteten Aufgaben sind richtig.
Zur Abbildungsmatrix:
stell zunächst die Vektoren, für deren Bild Du Dich interessierst, als Linearkombination von [mm] \vektor{4 \\ -4 \\ -3}, \vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] und [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0} [/mm] dar.
Beispiel:
[mm] \vektor{7 \\ -2 \\ -3}= 1*\vektor{4 \\ -4 \\ -3}+3*\vektor{1 \\ 0 \\ 0}+2*\vektor{0 \\ 1 \\ 0}
[/mm]
Das Bild von [mm] \vektor{7 \\ -2 \\ -3} [/mm] unter der Projektion ist dann [mm] 3*\vektor{1 \\ 0 \\ 0}+2*\vektor{0 \\ 1 \\ 0}.
[/mm]
Damit solltest Du nun weiterkommen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:00 So 16.03.2008 | | Autor: | kinga |
| Aufgabe | 1.4 Welchen Neigungswinkel besitzt die Seitenkante zur Grundfläche?
1.5 Wie groß ist der Neigungswinkel einer Seitenfläche zur Grundgläche |
Bezugnehmend auf die erste Frage: Zunächst vielen Dank für den Tip. Habe ich es richtig verstanden, ist die Abbildungsmatrix in diesem Fall [mm] \pmat{ 4 & 1 & 0\\ -4 & 0 & 1 \\ -3 & 0 & 0} [/mm] ?
Ich bekomme für den Punkt A' die gleichen Koordinaten wie die vom Punkt A, heißt es der Punkt A auf sich selbst projeziert wird?
Ich habe noch ein weiteres Problem bzg. der Neigungswinkel entdeckt. Bei der Aufgabe 1.5 Neigungswinkel der Seitenfläche zur Grundfläche war es einfach, habe einen Vektor der Grundfläche genommen (z.B. [mm] \overrightarrow{AB}) [/mm] und habe zusätzlich einen Vektor ausgerechnet, der von der Spitze der Pyramide bis zur Mitte der Grundflächenkante führt. Ich habe diesen Vektor [mm] \overrightarrow{SAB'} [/mm] genannt .Habe die beiden Vektoren in folgende Formel eingesetz: cos [mm] \alpha [/mm] = [mm] \bruch{\overrightarrow{AB}*\overrightarrow{SAB'}}{\vmat{ \overrightarrow{AB} }*\vmat{ \overrightarrow{SAB'}}}. [/mm] Nun das Ergebnis stimmt mit der Vorgabe des Lehrers überein. Bei der Aufgabe 1.4 hat es mit der gleichen Formel nicht geklappt, oder verstehe ich die Aufgabe vielleicht falsch? Nimmt man nicht einfach Seitenkante und Grundfläche als Vektoren?
Vielen Dank im Voraus für die Rückmeldung.
Gruß
Marianna
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> 1.4 Welchen Neigungswinkel besitzt die Seitenkante zur
> Grundfläche?
> 1.5 Wie groß ist der Neigungswinkel einer Seitenfläche zur
> Grundgläche
> Bezugnehmend auf die erste Frage: Zunächst vielen Dank für
> den Tip. Habe ich es richtig verstanden, ist die
> Abbildungsmatrix in diesem Fall [mm]\pmat{ 4 & 1 & 0\\ -4 & 0 & 1 \\ -3 & 0 & 0}[/mm]
> ?
Hallo,
nein, das hast Du nicht richtig verstanden.
Ich nehme mal an, daß Du als Basis weiterhin die Standardbasis des [mm] \IR^3 [/mm] verwenden möchtest.
Die Abbildungsmatrix bzgl einer Basis erhält man, indem in die Spalten der Abbildungsmatrix die Bilder der Basisvektoren stellt.
Winkel zwischen Ebenen kannst Du berechnen, indem Du dem Winkel zwischen ihren Normalenvektoren berechnest.
Wenn Du den Winkel [mm] \alpha [/mm] zwischen einer Ebene und einer Geraden berechnen möchtest, bekommst Du ihn so:
Berechne den Winkel [mm] \beta [/mm] zwischen dem Normalenvektor der Ebene und dem Richtungsvektor der Geraden. Den gesuchten Schnittwinkel [mm] \alpha [/mm] erhältst Du aus [mm] \alpha=90°-\beta. [/mm]
Gruß v. Angela
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