Abbildungsmatrizen < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 03:00 Fr 07.10.2011 | | Autor: | perl |
| Aufgabe | [mm] u_{1}=\bruch{2}{3}\vektor{ 1\\ 1\\ -\bruch{1}{2}}
[/mm]
[mm] u_{2}=\bruch{2}{3}\vektor{ \bruch{1}{2} \\ -1\\ -1 }
[/mm]
[mm] u_{3}=\bruch{2}{3}\vektor{ -1\\ -\bruch{1}{2}\\ -1 }
[/mm]
Zeigen sie dass es genau eine orthogonale lineare Abbildung [mm] \IR^{3} -->\IR^{3} [/mm] gibt mit [mm] \gamma(u_{j})=e_{j}, [/mm] j = 1,2,3 wobei [mm] e_{1},e_{2},e_{3} [/mm] Standardbasis von [mm] \IR^{3}. [/mm] |
Hallo,
ich bin mit den Abbildungsmatrizen irgendwie auf Kriegsfuß -.-
[mm] \gamma(u_{j})=e_{j} [/mm] heißt doch, dass ich [mm] \gamma(u_{j}), [/mm] also DIE Matrix suche, die [mm] u_{j} [/mm] auf [mm] e_{j} [/mm] abbildet, oder?
die matrix die U-->E ist doch U (die Identität), dh. U-Koordinaten gehen in E-Koord. über, indem [mm] u_{j}U.
[/mm]
--> [mm] (u_{j})U=e_{j}
[/mm]
Oder ist hier die Abbildung E-->U gemeint, die [mm] U^{-1}=U^{T} [/mm] wäre.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:29 Fr 07.10.2011 | | Autor: | fred97 |
1. Du mußt keine Matrix suchen !
2. Nimm mal an , Du hast 2 invertierbare lineare Abbildungen [mm] \gamma [/mm] und [mm] \delta [/mm] mit
$ [mm] \gamma(u_{j})=e_{j}= \delta(u_j) [/mm] $ für j = 1,2,3 .
Dann folgt: [mm] \gamma^{-1}(e_j)=u_j= \delta^{-1}(e_j) [/mm] für j = 1,2,3 .
Ist Dir klar, dass nun [mm] \gamma=\delta [/mm] folgt ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:21 Fr 07.10.2011 | | Autor: | perl |
> 1. Du mußt keine Matrix suchen !
>
2. Die Aufgabe ist blöd !
>
> 3. Nimm mal an , Du hast 2 invertierbare lineare
> Abbildungen [mm]\gamma[/mm] und [mm]\delta[/mm] mit
>
> [mm]\gamma(u_{j})=e_{j}= \delta(u_j)[/mm] für j = 1,2,3 .
>
> Dann folgt: [mm]\gamma^{-1}(e_j)=u_j= \delta^{-1}(e_j)[/mm] für
> j = 1,2,3 .
>
> Ist Dir klar, dass nun [mm]\gamma=\delta[/mm] folgt ?
>
[mm] da\delta [/mm] beliebig gewählt war folgt aus [mm] \gamma=\delta [/mm] die Eindeutigkeit der lin. Abb.
also, dass nur [mm] \gamma [/mm] von u--->e und von e--->u abbildet, mit [mm] \gamma(u_{j})=e_{j} [/mm] und [mm] \gamma^{-1}(e_j)=u_{j}.
[/mm]
Wenn das so richtig ist, wie ich es geschrieben habe, bin ich von der "Musterlösung" mehr erstaunt als von der Aufgabe -.-
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:26 Fr 07.10.2011 | | Autor: | fred97 |
> > 1. Du mußt keine Matrix suchen !
> >
> 2. Die Aufgabe ist blöd !
> >
> > 3. Nimm mal an , Du hast 2 invertierbare lineare
> > Abbildungen [mm]\gamma[/mm] und [mm]\delta[/mm] mit
> >
> > [mm]\gamma(u_{j})=e_{j}= \delta(u_j)[/mm] für j = 1,2,3 .
> >
> > Dann folgt: [mm]\gamma^{-1}(e_j)=u_j= \delta^{-1}(e_j)[/mm] für
> > j = 1,2,3 .
> >
> > Ist Dir klar, dass nun [mm]\gamma=\delta[/mm] folgt ?
> >
> [mm]da\delta[/mm] beliebig gewählt war
[mm] \delta [/mm] war nicht bel. gewählt. Ich habe angenommen, dass es 2 invertierbare lineare Abbildungen gibt mit
$ [mm] \gamma(u_{j})=e_{j}= \delta(u_j) [/mm] $ für j = 1,2,3 .
Es folgt: [mm] \gamma= \delta.
[/mm]
> folgt aus [mm]\gamma=\delta[/mm] die
> Eindeutigkeit der lin. Abb.
> also, dass nur [mm]\gamma[/mm] von u--->e und von e--->u abbildet,
> mit [mm]\gamma(u_{j})=e_{j}[/mm] und [mm]\gamma^{-1}(e_j)=u_{j}.[/mm]
>
> Wenn das so richtig ist, wie ich es geschrieben habe, bin
> ich von der "Musterlösung" mehr erstaunt als von der
> Aufgabe -.-
Oh bitte, lass mich an der Musterlösung teilhaben.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:39 Fr 07.10.2011 | | Autor: | perl |
die erste Lösung sagt nur kurz:
[mm] S^{-1}=S^{t}, [/mm] da [mm] u_{i} [/mm] ONB. Somit [mm] S^{T} [/mm] eindeutig und orthogonal.
2. Lösungsweg:
es wird gezeigt [mm] \gamma(u_{j})=^{!}e_{j}
[/mm]
also die [mm] e_{i} [/mm] werden als linearkombi von [mm] u_1 [/mm] , [mm] u_2, u_3 [/mm] geschrieben und die vorfaktoren der lin. kombi bilden die matrix. diese matrix ergibt [mm] U^{T}. [/mm] daraus folgt dann die Eindeutigkeit.
Mit [mm] UU^{T}=E [/mm] wird die orthogonalität gezeigt.
Ja... also ich mein... deinem Lösungsweg kann ich um einiges mehr abgewinnen!
Danke FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:41 Fr 07.10.2011 | | Autor: | fred97 |
> die erste Lösung sagt nur kurz:
>
> [mm]S^{-1}=S^{t},[/mm] da [mm]u_{i}[/mm] ONB. Somit [mm]S^{T}[/mm] eindeutig und
> orthogonal.
>
>
> 2. Lösungsweg:
>
> es wird gezeigt [mm]\gamma(u_{j})=^{!}e_{j}[/mm]
> also die [mm]e_{i}[/mm] werden als linearkombi von [mm]u_1[/mm] , [mm]u_2, u_3[/mm]
> geschrieben und die vorfaktoren der lin. kombi bilden die
> matrix. diese matrix ergibt [mm]U^{T}.[/mm] daraus folgt dann die
> Eindeutigkeit.
> Mit [mm]UU^{T}=E[/mm] wird die orthogonalität gezeigt.
>
>
> Ja... also ich mein... deinem Lösungsweg kann ich um
> einiges mehr abgewinnen!
Ich muß mich korrigieren ! Schau Dir mal den Beitrag von Shadowmaster an.
FRED
>
> Danke FRED
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moin ihr beiden,
Dass es höchstens eine solche Abbildung gibt habt ihr ja schon zur Genüge gezeigt, für genau eine fehlt aber doch noch "mindestens" eine.
Soll heißen man sollte wohl noch zeigen, dass diese eindeutig bestimmte Abbildung auch wirklich orthogonal ist.
lg
Schadow
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:42 Fr 07.10.2011 | | Autor: | fred97 |
> moin ihr beiden,
>
> Dass es höchstens eine solche Abbildung gibt habt ihr ja
> schon zur Genüge gezeigt, für genau eine fehlt aber doch
> noch "mindestens" eine.
> Soll heißen man sollte wohl noch zeigen, dass diese
> eindeutig bestimmte Abbildung auch wirklich orthogonal
> ist.
Du hast natürlich recht. Ich war zu voreilig
FRED
>
>
> lg
>
> Schadow
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:43 Fr 07.10.2011 | | Autor: | perl |
Hallo Schadowmaster :)
Jup! da haste recht :) Aber mein Problem war eben das Wirrwar mit den Abb. in meinem Kopf.
Orthogonalität wird wie in den"Musterlösungen" gezeigt, also entweder:
[mm] UU^{T}=E--> [/mm] orthog.
oder:
U ist ONB--> orthog.
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