Abbildungsmatrizen bestimmen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:37 Sa 07.01.2006 | | Autor: | SuperTTT |
Hallo,
hier bei der 4 habe ich einige Probleme.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Die 4a habe ich wie folgt bearbeitet:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Im Buch sind die Endergebnisse zu den jeweiligen Aufgaben angegeben. Wundert euch also bitte nicht über den Schluss, ich hatte eine andere Abbildungsmatrix raus als in der Musterlösung, daraufhin habe ich beide mit dem gleichen beliebigen Vektor multipliziert und bekam daraufhin das gleiche Ergebnis, was bedeutet, dass die Abbildungsmatrizen identisch sind. Die Aufgabe ist also richtig, oder?
Allerdings habe ich noch eine Frage dazu:
Ich hatte zu Beginn einige Probleme und einiges ausprobiert, vor allem bei dem Vektor P'.
Woher weiß ich im Voraus, dass, wenn ich den Punkt P = [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 3} [/mm] wähle, dass P' dann [mm] \vektor{-1 \\ -1 \\ 3} [/mm] und nicht [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ -3} [/mm] ist?
Was 4b und 4c betrifft, da weiß ich überhaupt nicht, wie ich das angehen soll. Wäre nett wenn mir hier jemand genau erklären könnte, was ich da machen muss.
Danke im Voraus.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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> Hallo,
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> hier bei der 4 habe ich einige Probleme.
> [Dateianhang nicht öffentlich]
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> Die 4a habe ich wie folgt bearbeitet:
> [Dateianhang nicht öffentlich]
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> Im Buch sind die Endergebnisse zu den jeweiligen Aufgaben
> angegeben. Wundert euch also bitte nicht über den Schluss,
> ich hatte eine andere Abbildungsmatrix raus als in der
> Musterlösung, daraufhin habe ich beide mit dem gleichen
> beliebigen Vektor multipliziert und bekam daraufhin das
> gleiche Ergebnis, was bedeutet, dass die Abbildungsmatrizen
> identisch sind. Die Aufgabe ist also richtig, oder?
>
> Allerdings habe ich noch eine Frage dazu:
> Ich hatte zu Beginn einige Probleme und einiges
> ausprobiert, vor allem bei dem Vektor P'.
> Woher weiß ich im Voraus, dass, wenn ich den Punkt P =
> [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 3}[/mm] wähle, dass P' dann [mm]\vektor{-1 \\ -1 \\ 3}[/mm]
> und nicht [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ -3}[/mm] ist?
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> Was 4b und 4c betrifft, da weiß ich überhaupt nicht, wie
> ich das angehen soll. Wäre nett wenn mir hier jemand genau
> erklären könnte, was ich da machen muss.
>
> Danke im Voraus.
Hallo.
Vielleicht habt ihr auch bereits gelernt, daß man die Abbildungsmatrix zu einer linearen Abbildung erhält, indem man die Bilder der Einheitsvektoren als Spalten hinschreibt.
Also sollten wir sehen, was mit denen passiert.
Völlig klar ist das uns nur beim Vektor [mm] $\vektor{0 \\ 0 \\ 1}$, [/mm] da dieser in der Ebene liegt und folglich auf sich selbst abgebildet wird.
Ein weiterer Vektor innerhalb der Ebene ist [mm] $\vektor{1 \\ -1 \\ 0}$.
[/mm]
Die 3. Spalte unserer Matrix haben wir also schon.
Für die anderen beiden müssen wir folgende Gleichungen lösen:
[mm] $\vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3}*\vektor{1 \\ 1 \\ 0}=0$
[/mm]
[mm] $\left(\vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3}-\vektor{1 \\ 0 \\ 0}\right)*\vektor{1 \\ -1 \\ 0}=0$
[/mm]
[mm] $\left(\vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3}-\vektor{1 \\ 0 \\ 0}\right)*\vektor{0 \\ 0 \\ 1}=0$
[/mm]
d.h. [mm] $x_1=-x_2$, $(x_1-1)-x_2=0$. $x_3=0$
[/mm]
Was tun wir hier? Wir suchen den Fußpunkt des Lotes von [mm] $\vektor{1 \\ 0 \\ 0}$ [/mm] auf die Ebene.mit diesem können wir dann leicht das Bild von [mm] $\vektor{1 \\ 0 \\ 0}$ [/mm] ausrechnen.
Dieser Fußpunkt ist offenbar
[mm] $\vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3}=\vektor{\frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} \\ 0}$, [/mm] damit ist das Bild von [mm] $\vektor{1 \\ 0 \\ 0}$: $\vektor{1 \\ 0 \\ 0}+2\left(\vektor{\frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} \\ 0}-\vektor{1 \\ 0 \\ 0}\right)=\vektor{2 \\ -1 \\ 0}$.
[/mm]
Ist Dir das soweit klar?
Analog kannst Du das Bild des 2. Einheitsvektors bestimmen und erhältst so die Darstellungsmatrix.
Für die anderen beiden Aufgaben ist die Methode prinzipiell die gleiche, nur daß die Bilder der Einheitsvektoren sehr viel einfacher zu berechnen sind, was einfach aus der Anschauung folgt.
Gruß,
Christian
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