Abelsche Grenzwertsatz < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:53 Mo 09.06.2008 | | Autor: | mAriA121 |
| Aufgabe | der Abelschen Grenzwert- Satz: [mm] \limes_{x\rightarrow\R} [/mm] f(x) (für x-->R; x<R)= [mm] \summe_{n=0}^{\infty} a_{n}R^n.
[/mm]
Dabei ist R der Konvergenzradius und R>0 und die Reihe ist in +R konvergent.
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Mit dem Beweis an sich komme ich klar, den nehme ich jedoch so vor, das ich ohne Einschränkung annehme das R=1 ist.
Aber warum darf ich das ohne Einschränkung annehmen?
Ich beziehe mich dabei im Übrigen auf folgende Quelle:
Max Köcher, Klassische elementare Analysis, Birkhäuser , Basel 1987, Kapitel 5, 2.4
Für eine gute Idee wäre ich sehr dankbar!
Danke schon mal im voraus!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:51 Mo 09.06.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> der Abelschen Grenzwert- Satz: [mm]\limes_{x\rightarrow\R}[/mm] f(x)
> (für x-->R; x<R)= [mm]\summe_{n=0}^{\infty} a_{n}R^n.[/mm]
> Dabei
> ist R der Konvergenzradius und R>0 und die Reihe ist in +R
> konvergent.
>
> Mit dem Beweis an sich komme ich klar, den nehme ich jedoch
> so vor, das ich ohne Einschränkung annehme das R=1 ist.
> Aber warum darf ich das ohne Einschränkung annehmen?
hierbei ist ja [mm] $\black{f}$ [/mm] gegeben durch die Potenzreihendarstellung [mm] $f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n x^n$. [/mm] Die Potenzreihe rechterhand habe nun den Konvergenzradius [mm] $R=R_f \in (0,\infty)$. [/mm] Überlege Dir mal, in welchem Zusammenhang die obige Funktion [mm] $\black{f}$ [/mm] mit der Funktion [mm] $\black{g}$ [/mm] gegeben durch die Potenzreihendarstellung [mm] $g(x):=\sum_{n=0}^\infty \underbrace{a_n R^n}_{=:a_n\,'} x^n \equiv \sum_{n=0}^\infty a_n\,' x^n$ [/mm] steht.
Also:
Der Dir volriegende Beweis zeigt dann, wenn [mm] $\black{f}$ [/mm] durch ihre Potenzreihe [mm] $f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n x^n$ [/mm] mit Konvergenzradius [mm] $R=R_f \in (0,\infty)$ [/mm] gegeben ist, zunächst mal, dass für die Funktion [mm] $\black{g}$ [/mm] dann folgendes gilt:
[mm] $\lim_{x \to 1 \mbox{ und } x < 1}g(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n\,' \equiv \sum_{n=0}^\infty a_n R^n$
[/mm]
Und wegen [mm] $\lim_{x \to 1 \mbox{ und } x < 1}g(x)=\lim_{x \to R \mbox{ und } x < R}f(x)$ [/mm] folgt dann die Behauptung für [mm] $\black{f}$.
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:32 Mo 09.06.2008 | | Autor: | mAriA121 |
ich glaub das hab ich soweit verstanden,
aber warum kann ich bim lim g(x) einfach x-->1 laufen lassen? Mit welcher Begründung tu ich das?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:20 Di 10.06.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
mach' Dir einfach klar:
Wenn [mm] $f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n x^n$ [/mm] den Konvergenzradius $0 < [mm] R=R_f [/mm] < [mm] \infty$ [/mm] hat, dann hat die Funktion [mm] $g(x):=\sum_{n=0}^\infty a_n\,' x^n \equiv \sum_{n=0}^\infty \underbrace{(a_n R^n)}_{=a_n\,'}x^n$ [/mm] den Konvergenzradius [mm] $R_g=1$ [/mm]
[mm] $\left(\mbox{wegen }R_g=\frac{1}{\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n\,'|}}=\frac{1}{\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n R^n|}}=\frac{1}{R}*\underbrace{\frac{1}{\limsup_{n \to \infty}\sqrt[n]{|a_n|}}}_{=R_f=R}=\frac{1}{R}*R=1\right)$.
[/mm]
Nun kannst Du vielleicht der besseren Übersicht das ganze so notieren:
Wegen [mm] $R_g=1$ [/mm] gilt nun
[mm] $(\star)$ $\lim_{|y| < 1 \mbox{ und } y \to 1}g(y)=\sum_{n=0}^\infty a_n \,'\equiv \sum_{n=0}^\infty a_n R^n$ [/mm]
nach dem Dir vorliegenden Beweis.
Mit [mm] $y:=\frac{x}{R}$ [/mm] (für [mm] $\black{|x| < R}$) [/mm] folgt (beachte, dass dann [mm] $\black{g(y)=f(x)}$ [/mm] gilt und, dass [mm] $\black{f}$ [/mm] (mit Sicherheit) auf [mm] $\black{(-R,R)}$ [/mm] und [mm] $\black{g}$ [/mm] auf [mm] $\black{(-1,1)}$ [/mm] definiert ist), wenn man
[mm] "$\blue{|y| < 1 \mbox{ und }y \to 1}$ [/mm] gilt genau dann, wenn [mm] $\green{|x| < R \mbox{ und }x \to R}$"
[/mm]
beachtet, dann:
[mm] $\lim_{\blue{|y| < 1 \mbox{ und }y \to 1}}g(y)=\lim_{\green{|x| < R \mbox{ und }x \to R}}f(x)$
[/mm]
die Behauptung mit [mm] $(\star)$.
[/mm]
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