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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:18 Sa 11.09.2010 | | Autor: | janina90 |
| Aufgabe | Für die Menge [mm] G:=\{a,b\} [/mm] sei folgende Verknüpfungstafel gegeben:
[mm] \vmat{ o & a & b \\ a & a & b \\ b & b & a }
[/mm]
Zeigen Sie dass (G,o) eine abelsche Gruppe ist und geben sie deren neutrales Element an. Geben Sie außerdem zu jedem Element von G das zugehörige Inverse an. |
Zeigen muss ich
1. Assoziativität
2. es gibt ein einselement
3. es gibt inverse
4. kommutativität
Für das neutrale Element e [mm] \varepsilon [/mm] G muss gelten:
für alle g [mm] \varepsilon [/mm] G: g o e = g
zu finden ist ein Element e [mm] \varepsilon \{a,b\} [/mm] das sich so verhält:
1. a o e = a
2. b o e = b
[mm] \Rightarrow [/mm] a ist das neutrale Element.
Ich weiss nicht wie man das mit der Assoziativität und Kommutativität zeigen soll und vor allem das mit den inversen. Invers müsste doch sein [mm] a^{-1}.
[/mm]
Da a * [mm] a^{-1} [/mm] = e
Hab mir bei wikipädia die Gruppentheorie angeschaut. Ich weiß gar nicht wie man das hier praktisch anwenden soll :(
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
> Für die Menge [mm]G:=\{a,b\}[/mm] sei folgende Verknüpfungstafel
> gegeben:
>
> [mm]\vmat{ o & a & b \\ a & a & b \\ b & b & a }[/mm]
>
> Zeigen Sie dass (G,o) eine abelsche Gruppe ist und geben
> sie deren neutrales Element an. Geben Sie außerdem zu
> jedem Element von G das zugehörige Inverse an.
> Zeigen muss ich
> 1. Assoziativität
> 2. es gibt ein einselement
> 3. es gibt inverse
> 4. kommutativität
>
> Für das neutrale Element e [mm]\varepsilon[/mm] G muss gelten:
> für alle g [mm]\varepsilon[/mm] G: g o e = g
>
> zu finden ist ein Element e [mm]\varepsilon \{a,b\}[/mm] das sich so
> verhält:
>
> 1. a o e = a
> 2. b o e = b
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] a ist das neutrale Element.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Ich weiss nicht wie man das mit der Assoziativität und
> Kommutativität zeigen soll
Da bleibt dir wohl nichts anderes übrig, als alle Fälle durchzugehen.
> und vor allem das mit den
> inversen. Invers müsste doch sein [mm]a^{-1}.[/mm]
> Da a * [mm]a^{-1}[/mm] = e
Zunächst einmal hattest du doch schon festgestellt, dass $e=a$. Du suchst also eine Element $x [mm] \in\{ a,b\}$ [/mm] mit $a*x=a$. Diese Element $x$ ist dann das Inverse von a. Analog mit dem Inversen von $b$.
>
> Hab mir bei wikipädia die Gruppentheorie angeschaut. Ich
> weiß gar nicht wie man das hier praktisch anwenden soll
> :(
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
Gruß Patrick
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:34 Sa 11.09.2010 | | Autor: | janina90 |
Hallo Patrick, danke.
Bin froh daß der Anfang wenigstens ok ist.
Genau man sagte uns man muss sowas mit Fallunterscheidung lösen. Aber genau das verstehe ich nicht. Ich weiß was eine Fallunterscheidung ist.
Aber wie wende ich sie hier an. Auf welche Zahlen, Symbole, Variablen? Und was muss ich genau prüfen z.b.?
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Nun, für die Kommutativität gibt es ja nur ein Fall, zu zeigen ist
$$a*b=b*a$$
Um die Gültigkeit des Assoziativgesetzes zu zeigen, prüfe nach ob
$$(a*b)*a=a*(b*a)$$
$$(a*b)*b=a*(b*b)$$
Alle anderen Fälle sollten aus dem Komm.-Gesetz folgen. Du kannst ja nochmal drüber nachdenken, ob wirklich alle Kombinationen erwischt werden.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:53 Sa 11.09.2010 | | Autor: | janina90 |
Ja genau so in der Art habe ich das im Skript stehen.
Ich weiß also dass a neutral ist.
Als Hilfe habe ich auch folgendes. Aber ich erkenne den Sinn nicht, sieht doch trivial aus.
Angenommen x,y,z [mm] \varepsilon [/mm] G
Wenn x Einselement:
yz=yz
Wenn y Einselement:
xz=xz
Wenn z Einselement:
xy=xy
Dann weiß ich eigentlich dass (xy)z=x(yz) gilt, und so ist die Assoziativität bewiesen?
Bei der Kommutativität habe ich ja nur ab=ba und da a das Einselement ist, ist das auch nachgewiesen oder?
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Hallo Janina,
das ist alles mehr als wirr, ich kann kaum deine Frage(n) rauslesen ...
![[konfus]](/images/smileys/konfus.gif "[konfus]")
Versuche mal, dich etwas (mathemat.) verständlicher auszudrücken!
> Ja genau so in der Art habe ich das im Skript stehen.
>
> Ich weiß also dass a neutral ist.
>
> Als Hilfe habe ich auch folgendes. Aber ich erkenne den
> Sinn nicht, sieht doch trivial aus.
Was ist trivial? Die Ausgangsaufgabe?
Ja! Kannst du alles an der Tabelle ablesen ...
>
> Angenommen x,y,z [mm]\varepsilon[/mm] G
Oben waren in [mm]G[/mm] noch die Elemente [mm]a[/mm] und [mm]b[/mm] ...
>
> Wenn x Einselement:
> yz=yz
Das gilt doch immer, auch wenn meinetwegen y oder z Einselement ist ...
oder wenn es gar keines gibt ...
Ich verstehe nicht, was du sagen willst ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
>
> Wenn y Einselement:
> xz=xz
ebenso
>
> Wenn z Einselement:
> xy=xy
>
> Dann weiß ich eigentlich dass (xy)z=x(yz) gilt, und so ist
> die Assoziativität bewiesen?
Dann = Wann?
Wenn z Einselement ist?
Dann ist [mm](xy)z=(xy)e=xy=x(ye)=x(yz)[/mm]
Aber was willst du damit?
>
> Bei der Kommutativität habe ich ja nur ab=ba und da a das
> Einselement ist, ist das auch nachgewiesen oder?
Ja, das ist trivialerweise der Fall.
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:03 So 12.09.2010 | | Autor: | janina90 |
Hallo Schachuzipus,
Mit der Fallunterscheidung wollte ich zeigen dass in dieser Gruppe die Assoziativität gilt, damit es ja eine abelsche Gruppe ist.
a und b sind ja die Konstanten in dieser Gruppe.
a ist ja mein Einselement. Das kann man ja aus der Tabelle quasi ablesen.
a o a = a ==> a ist neutral und zu sich selber invers. Inverse von a ist a
a o w = w
w o a = w
w o w = a ==> w ist zu sich selber invers, weil es mit sich selbst das neutrale Element ergibt.
Wenn das stimmt, dann muss ich ja nur noch die Assoziativität zeigen. Ich dachte das geht mit der Fallunterscheidung.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:12 So 12.09.2010 | | Autor: | abakus |
Hallo,
da im Assoziativgesetz immer drei Elemente stehen (und du aber nur zwei Elemente hast), musst du nachweisen, dass das Assoziativgesetz für jede denkbare Verknüpfung deiner beiden Elemente funktioniert (und zwangsläufig muss in einer solchen Verknüpfung eines der beiden Elemente mindestens zweimal vorkommen).
Du musst somit (anhand deiner Verknüpfungstabelle zeigen), dass gilt
a(a a)=(a a)a
b(b b)=(b b)b
a(b b)=(a b)b
b(a b)=(b a)b
b(b a)=(b b)a
... (drei weitere Verknüpfungen, die jeweils zweimal a und einmal b enthalten)
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:52 So 12.09.2010 | | Autor: | janina90 |
Hallo Abakus, auch dir dankeschön.
Das sieht dann wirklich einfach aus.
1.
a(a a)=(a a)a
a a = a a
a=a
2.
b(b b)=(b b)b
b(a)=(a)b
b=b
3.
a (b b)=(a b) b
a (a)=(b) b
a=a
4.
b (a b)=(b a)b
b (b)=(b) b
a = a
5.
b(b a)=(b b)a
b (b)=(a)(a)
a = a
6.
a (a b)=(a a)b
a b=a b
b=b
7.
a(b a)=(a b)a
a b = b a
b=b
8.
b(a a)=(b a)a
b a= b a
b=b
Wäre das so ausreichend?
Und für die Kommutativität haben wir zu beweisen.
1.
a b = b a
b = b
2.
b a = a b
b=b
3.
a a = a a
a=a
4.
b b = b b
b=b
Und somit wären die Assoziativität und Kommutativität bewiesen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:04 Mo 13.09.2010 | | Autor: | wieschoo |
Hi,
> a(a a)=(a a)a
> a a = a a
> a=a
Du kürzt auf beiden Seiten, bis das Gleiche darsteht. Das mag (halb)richtig sein. Aber um diese Eigenschaften zu beweisen, habe ich Beweiskonstrukte folgender Art in Erinnerung:
[mm]a(a a)=\ldots = (a a)a[/mm]
Also meinetwegen:
[mm]a(aa)=(ea)(aa)=(aa)(aa)=(aa)(ae)=(aa)a[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:30 Mo 13.09.2010 | | Autor: | fred97 |
Was das Ass.-gesetz betrifft mache ich Dir den Punkt 3. mal vor: (immer schön die Verknüpfungstafel benutzen ! )
[mm]a(bb) = a(a) = (b)b= (ab)b[/mm]
Für die Kommutativität mußt Du doch nur zeigen , dass [mm]ab=ba[/mm].
Es ist
[mm]ab=b=ba[/mm].
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:38 Mo 13.09.2010 | | Autor: | janina90 |
Hallo Fred,
ich verstehe diesen Schritt nicht a (a)=b(a)=(b)b=(ab)b
a(a) ist doch a
und (b)b ist a
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:07 Mo 13.09.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
>
> ich verstehe diesen Schritt nicht a (a)=b(a)=(b)b=(ab)b
> a(a) ist doch a
> und (b)b ist a
Du hast recht, oben hab ich mich verschrieben (hab es oben auch schon verbessert).
Richtig:
[mm]a(bb) = a(a) = (b)b= (ab)b[/mm]
FRED
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Hallo Fred,
achso ok, dann ist klar.
Müssen eigentlich bei der Assoziativität alle 8 Fälle bewiesen werden wie ich sie hingeschrieben habe?
Habe es mit den Fällen versucht.
b(b b)=(a a)(b)=(bb)b
b(ab)=b(b)=(b)b=(ba)b
b(ba)=b(b)=(a)a=(bb)a
a(ab)=a(b)=(aa)b
a(ba)=a(b)= ?
b(a a)=(b a)(a a)=(b a) a
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:20 Mi 15.09.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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