Abelsche Gruppe, Divisionsrest < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:22 So 14.10.2012 | | Autor: | Axiom96 |
| Aufgabe | Für ein [mm] n\in\IN\setminus\{0\} [/mm] betrachte man die Teilmenge [mm] R_n=\{0,1,...,n-1\}. [/mm] Es sei [mm] \pi:\IZ\to{}R_n [/mm] die Abbildung, welche einer ganzen Zahl aus [mm] \IZ [/mm] jeweils deren nichtnegativen Rest bei Division durch $n$ zuordnet. Man zeige:
1. Es existiert eine eindeutig bestimmte Verknüpfung [mm] (a,b)\mapsto{}a+b [/mm] auf [mm] R_n [/mm] so, dass für [mm] x,y\in\IZ [/mm] stets [mm] \pi(x+y)=\pi(x)+\pi(y) [/mm] gilt.
2. [mm] R_n [/mm] ist mit dieser Verknüpfung eine abelsche Gruppe. |
Hallo,
ich verstehe die Aufgabenstellung nicht richtig.
Zunächst einmal weiß ich nicht, ist das $+$ hier das Plus der Addition oder die Verknüpfung der Gruppe oder beides?
Mein zweites Problem ist, dass ich nicht weiß, was mit "eindeutig bestimmt" gemeint ist.
Ich weiß daher gar nicht, was ich in der Aufgabe überhaupt zeigen soll. Über eine Erläuterung würde ich mich freuen.
Viele Grüße
|
|
| |
|
Hallo,
> ich verstehe die Aufgabenstellung nicht richtig.
>
> Zunächst einmal weiß ich nicht, ist das [mm]+[/mm] hier das Plus
> der Addition oder die Verknüpfung der Gruppe oder beides?
natürlich ist es die Gruppenverknüpfung. Und gemeint ist die Addition von Restklassen modulo n.
> Mein zweites Problem ist, dass ich nicht weiß, was mit
> "eindeutig bestimmt" gemeint ist.
Das ist hier m.A. nach einfach im Sinne von rechtseindeutig gemeint und bedeutet einfach nur, dass das Resultat der Verknüpfung eindeutig ist.
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:20 So 14.10.2012 | | Autor: | Axiom96 |
Hallo nochmal,
und vielen Dank Diophant für die Tips - gut schonmal, dass das jetzt klar ist. Ich komme aber trotzdem auf keinen grünen Zweig. Für einen Schubs in die richtige Richtung wäre ich sehr dankbar. Der Aufgabenteil 2 scheint mir dann nicht mehr so schwer zu sein.
Viele Grüße
|
|
|
| |
|
Hallo,
der Schubs heißt Kongruenzrechnung. 
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:38 So 14.10.2012 | | Autor: | Axiom96 |
Halle,
Ist das das mit modul und so? Das kann ich noch nicht. Oder meinst du damit etwas anderes?
Viele GGrüße
|
|
|
| |
|
Hallo,
> Ist das das mit modul und so? Das kann ich noch nicht. Oder
> meinst du damit etwas anderes?
mit modulo, genau. So schwierig ist das nicht, mich wundert es ein wenig, dass das nicht behandelt wurde (aus gutem Grund wird in manchen Algabra-Büchern zu Beginn die Kongruenzrechnung eingeführt).
Schlage das mal irgendwo ![[]](/images/popup.gif) nach und nutze die Eindeutigkeit der Darstellung
[mm]a\equiv{b}(mod m) \gdw a=m*b+r[/mm]
aus.
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:55 So 14.10.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo Axiom,
> Für ein [mm]n\in\IN\setminus\{0\}[/mm] betrachte man die Teilmenge
> [mm]R_n=\{0,1,...,n-1\}.[/mm] Es sei [mm]\pi:\IZ\to{}R_n[/mm] die Abbildung,
> welche einer ganzen Zahl aus [mm]\IZ[/mm] jeweils deren
> nichtnegativen Rest bei Division durch [mm]n[/mm] zuordnet. Man
> zeige:
> 1. Es existiert eine eindeutig bestimmte Verknüpfung
> [mm](a,b)\mapsto{}a+b[/mm] auf [mm]R_n[/mm] so, dass für [mm]x,y\in\IZ[/mm] stets
> [mm]\pi(x+y)=\pi(x)+\pi(y)[/mm] gilt.
> 2. [mm]R_n[/mm] ist mit dieser Verknüpfung eine abelsche Gruppe.
>
> Zunächst einmal weiß ich nicht, ist das [mm]+[/mm] hier das Plus
> der Addition oder die Verknüpfung der Gruppe oder beides?
Die Verknüpfung auf [mm] $R_n$, [/mm] also eine Abbildung [mm] $R_n\times R_n\to R_n$. [/mm] Es ist besser, diese mit [mm] $\oplus$ [/mm] zu bezeichnen und so von der Addition zu unterscheiden.
>
> Mein zweites Problem ist, dass ich nicht weiß, was mit
> "eindeutig bestimmt" gemeint ist.
Es gibt keine zweite Verknüpfung [mm] $\odot$ [/mm] auf [mm] $R_n$, [/mm] für die ebenfalls
[mm] $\pi(x+y)=\pi(x)\odot\pi(y)$ [/mm] für alle $x$, [mm] $y\in\IZ$.
[/mm]
gilt.
Gruß,
Wolfgang
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:09 Sa 20.10.2012 | | Autor: | Axiom96 |
Hallo Wolfgang,
entschuldige bitte, dass ich so lange nicht auf deine Antwort reagiert habe, aber da die Ferien nun vorüber sind, komme ich einfach nicht mehr sehr oft dazu, mich mit Mathematik zu beschäftigen.
Meine anfänglichen Fragen sind, denke ich hinreichend geklärt, sodass ich mich jetzt mit dem eigentlichen Problem beschäftigen kann.
Allerdings habe ich absolut keine Idee, wie das zu bewerkstelligen ist. Um gemäß der Forenregeln auch noch eine konkrete Frage zu stellen: Um zu zeigen, dass eine eindeutige Verknüpfung existiert muss ich doch zeigen, dass eine existiert UND dass diese Eindeutig ist, also 2 Dinge, richtig?
Für Tips jeglicher Art bin ich also weiterhin dankbar.
Viele Grüße
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> Meine anfänglichen Fragen sind, denke ich hinreichend
> geklärt, sodass ich mich jetzt mit dem eigentlichen
> Problem beschäftigen kann.
> Allerdings habe ich absolut keine Idee, wie das zu
> bewerkstelligen ist. Um gemäß der Forenregeln auch noch
> eine konkrete Frage zu stellen: Um zu zeigen, dass eine
> eindeutige Verknüpfung existiert muss ich doch zeigen,
> dass eine existiert UND dass diese Eindeutig ist, also 2
> Dinge, richtig?
im Prinzip schon. Nur ist diese Verknüpfung hinlänglich bekannt und die Eindeutigkeit besteht darin, dass die Darstellung
[mm]{a}\equiv{b}(\mbox{mod n}) \gdw a=m*b+r[/mm]
für [mm] m,r\in\IZ [/mm] und [mm] 0\le{r}
eindeutig ist, d.h., es gibt nur ein Zahlenpaar (m,r), für welches die Identität auf der rechten Seite gilt. Aus dieser Eindeutigkeit kann man nun die Eindeutigkeit der Restklassenaddition herleiten, und ich verstehe die Aufgabe an dieser Stelle so, dass eben dies getan werden soll.
Gruß, Diophant
|
|
|
|
