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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:35 Fr 02.11.2007 | | Autor: | CON40 |
| Aufgabe | | Es sei G eine Gruppe,so dass für jedes Element [mm]g\in\[/mm]G gilt [mm]g^2=e[/mm] (e:= neutrales Element). Zeigen Sie,dass G abelsch ist. Geben Sie ein Beispiel für eine solche Gruppe an. |
Hallo, ich habe mir die Aufgabe angeschaut und weiß, dass bei einer abelschen Gruppe ab=ba sein muss. aber wieso ist dann [mm]g^2=e[/mm],also neutral und vor allem abelsch?Ist es abelsch weil gg=gg ist ??? Zu dem Beispiel für eine abelsche Gruppe,meint ihr das es dort einfach reichen würde wenn ich sage, dass die Gruppe der reellen Zahlen mit der Addtion eine abelsche Gruppe bilden??
Es wäre super wenn mir jemand weiterhelfen kann.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Es sei G eine Gruppe,so dass für jedes Element [mm] g\in\Ggilt g^2=e [/mm] (e:= neutrales Element). Zeigen Sie,dass G
> abelsch ist. Geben Sie ein Beispiel für eine solche Gruppe an.
> Hallo, ich habe mir die Aufgabe angeschaut und weiß, dass bei einer abelschen Gruppe ab=ba sein muss.
> aber wieso ist dann [mm] g^2=e,also [/mm] neutral und vor allem abelsch?
> Ist es abelsch weil gg=gg ist ???
Hallo,
jetzt erstmal tief durchatmen.
> weiß, dass bei einer abelschen Gruppe ab=ba sein muss
Wenn Du eine abelsche Gruppe G hast, muß für alle a,b [mm] \in [/mm] G ab=ba gelten.
> aber wieso ist dann [mm] g^2=e,also [/mm] neutral und vor allem abelsch?
Nein, nein. Die Sache ist so:
WENN wir eine Gruppe haben, in welcher jedes gruppenelement mit sich selbst verknüpft das neutrale ergibt, dann kann diese Gruppe nicht anders, als abelsch zu sein.
Also ist zu zeigen:
Sei G Gruppe.
[mm] g^2=e [/mm] für alle [mm] g\in [/mm] G ==> G ist abelsch.
Ich zeige Dir jezt, wie Du den Beweis anfangen kannst:
Sei G Gruppe mit [mm] g^2=e [/mm] für alle [mm] g\in [/mm] G.
Seien a,b in G (ich greife hier zwei ganz beliebige Elemente heraus).
Es ist auch ab [mm] \in [/mm] G (denn G ist Gruppe).
Nach Voraussetzung ist e=(ab)(ab)
Wenn Du hier angekommen bist mußt Du ein bißchen mit a und b spielen. Es ist ja auch [mm] a^2=e [/mm] und [mm] b^2.
[/mm]
Schau mal, was Du wo dranmultiplizieren kannst, um schließlich ab=ba dastehen zu haben.
> Zu dem Beispiel für eine abelsche Gruppe,meint ihr das es dort einfach reichen würde
> wenn ich sage, dass die Gruppe der reellen Zahlen mit der Addtion eine abelsche Gruppe bilden??
Mit Sicherheit nicht.
Denn es wäre kein Beispiel für den zu zeigenden Sachverhalt. Oder ist r+r=0 für alle [mm] r\in \IR? [/mm] Nein.
Da mußt du Dir was anderes ausdenken.
Vielleicht kannst Du aus dem Fundus schöpfen. Habt ihr schon die Vierergruppen besprochen?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:27 Mo 05.11.2007 | | Autor: | Maike |
| Aufgabe | Es sei G eine Gruppe,so dass für jedes Element [mm]g\in\Ggilt g^2=e[/mm]
> (e:= neutrales Element). Zeigen Sie,dass G
> > abelsch ist. Geben Sie ein Beispiel für eine solche Gruppe
> an.
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Ich denke ich habe verstanden wie du den beweis machst! einfach nur g*g=e ist also nicht möglich? sondern:
e= (ab)*(ab)
[mm] a^2=e b^2=e
[/mm]
e=(ab)*(ab)
[mm] a^2=(ab)*(ab)
[/mm]
[mm] e*(a^2)=(ab)*(ab) [/mm] (man darf mit e multiplizieren da a*e=a)
[mm] (b^2)*(a^2)=(ab)*(ab)
[/mm]
b*b*a*a=a*b*a*b --> :b :a
--> ba= ab ? geht das so??
aber ich habe probleme ein beispiel zu finden, vierergruppen sagt mir leider nichts...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:53 Mo 05.11.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Nein leider hast du nirgends ab=ba stehen.
Tip: 1. Schritt multipliziere als erstse deine Gl ab+ab=e von rechts mit b.
was kommt raus?
Den nächsten Schritt solltest du dann selbst sehen!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:20 Di 06.11.2007 | | Autor: | CON40 |
aber wieso ab+ab mit b von rechts multiplizieren....wieso gilt ihre gleichung nicht, ist ba=ab falsch?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:31 Di 06.11.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
deine letzte Zeile war :
bbaa=abab dahinter stand :a :b das weiss ich nicht was es bedeuten soll. : ist in der Gruppe nicht definiert.
also musst du irgendwie sagen wie du von der Gleichung
bbaa=abab auf ab=ba kommst, denn das soll ja bewiesen werden.
Deshalb kann ich nicht sagen ab=ba ist falsch, nur du hast es nicht für mich sichtbar gezeigt.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:02 Di 06.11.2007 | | Autor: | LoBi83 |
Hab das jetzt so versucht bin mir nur nicht sicher ob ich nicht da mit den gesetzen durcheinander komme:
[mm] a^{2}=(ab)(ab)
[/mm]
[mm] \Rightarrow a^{2}b=(ab)(ab)b
[/mm]
[mm] \Rightarrow aa^{2}b=a(ab)(ab)b
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] aeb=(aa)b(ab)b
[mm] \Rightarrow [/mm] ab=eb(ab)b
[mm] \Rightarrow [/mm] ab=ba(bb)
[mm] \Rightarrow [/mm] ab=bae
[mm] \Rightarrow [/mm] ab=ba
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> Hab das jetzt so versucht bin mir nur nicht sicher ob ich
> nicht da mit den gesetzen durcheinander komme:
>
> [mm]a^{2}=(ab)(ab)[/mm]
> [mm]\Rightarrow a^{2}b=(ab)(ab)b[/mm]
> [mm]\Rightarrow aa^{2}b=a(ab)(ab)b[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] aeb=(aa)b(ab)b
> [mm]\Rightarrow[/mm] ab=eb(ab)b
> [mm]\Rightarrow[/mm] ab=ba(bb)
> [mm]\Rightarrow[/mm] ab=bae
> [mm]\Rightarrow[/mm] ab=ba
Hallo,
Du hast es richtig gemacht.
Etwas schneller wär's gewesen, wärest Du gleich mit [mm] e=(ab)^2 [/mm] gestartet. Denn ab ist ja ein Element der Gruppe, also ist sein Quadrat auch das neutrale Element.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:24 Mo 05.11.2007 | | Autor: | Tyskie84 |
| Aufgabe | | Es sei G eine Gruppe. Es sei g [mm] \in [/mm] G ein Element und h [mm] \in [/mm] G, so dass gh=e. Zeigen Sie, dass h= [mm] g^{-1}. [/mm] |
Irgendwie schein ich mit dieser aufgabe probleme zu haben. Also ich hab da einen beweis der mir viel zu kurz erscheint...
Wir wissen dass gh=e Nun kann man mit [mm] g^{-1} [/mm] von links multiplizieren.
Also [mm] g^{-1} \* [/mm] g [mm] \* [/mm] h = [mm] g^{-1} \*e
[/mm]
[mm] \Rightarrow e\*h [/mm] = [mm] e\* g^{-1}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] h = [mm] g^{-1}
[/mm]
Geht das so?
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> Wir wissen dass gh=e Nun kann man mit [mm]g^{-1}[/mm] von links
> multiplizieren.
> Also [mm]g^{-1} \*[/mm] g [mm]\*[/mm] h = [mm]g^{-1} \*e[/mm]
> [mm]\Rightarrow e\*h[/mm] = [mm]e\* g^{-1}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] h = [mm]g^{-1}[/mm]
>
> Geht das so?
Ja.
Gruß v. Angela
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