Abelsche Gruppen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:24 Mo 24.01.2005 | | Autor: | Rmeusbur |
Guten Abend!
Was versteht man denn genau unter einer Abelschen Gruppe?
In einem meiner Bücher wird die Abelsche Gruppe mit dem Kommutativgesetz in Verbindung gebracht?
Ist es dann richtig, dass jeder Ausdruck für den das Kommutativgesetz gilt eine Abelsche Gruppe darstellt? E. g.: a + b = b +a
Oder ist hier auch noch auf andere Sachen zu achten bzw. gibt es auch andere Formen von Abelschen Gruppen?
Vielen Dank im Voraus und
mfg Robert
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:03 Di 25.01.2005 | | Autor: | Paulus |
Lieber Robert
> Guten Abend!
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> Was versteht man denn genau unter einer Abelschen Gruppe?
> In einem meiner Bücher wird die Abelsche Gruppe mit dem
> Kommutativgesetz in Verbindung gebracht?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Ist es dann richtig, dass jeder Ausdruck für den das
> Kommutativgesetz gilt eine Abelsche Gruppe darstellt? E.
> g.: a + b = b +a
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Ein Ausdruck allein kann keine Gruppe sein, also auch keine Abelsche Gruppe.
Du brauchst vielmehr eine Menge $M_$ von irgendwelchen Objekten, und dazu noch eine Abbildung $M [mm] \times [/mm] M [mm] \to [/mm] M_$. Das heisst also, eine Abbildung, z.B. mit "+" bezeichnet, die jedem Paar von Elementen dieser Menge ein Element dieser Menge zuordnet. Also etwas so geschrieben: $a+b=c_$
Und jetzt gilt folgendes:
Falls für alle $a, b_$ und $c_$ aus $M_$ gilt:
I) $(a+b)+c=a+(b+c)$,
Dann spricht man von der Halbgruppe $M_$.
Wenn noch zusätzlich gilt:
II) In $M$ existiert ein neutrales Element, das heisst ein Element $e_$ mit $e+a=a+e=a_$ für alle $a [mm] \in [/mm] M$
III) Zu jedem Element $a_$ in $M_$ existiert ein inverses Element $b [mm] \in [/mm] M$ mit
$a+b=b+a=e$
Dann spricht man von einer Gruppe.
Man könnte also kurz sagen: Eine Gruppe ist eine Halbgruppe, deren zugehörige Abbildung die Gesetze II) und III) befolgt.
Wenn man jetzt noch eine zusätzliche Bedingung an die Abbildung stellt, namlich dass für alle $a [mm] \in [/mm] M$ und $b [mm] \in [/mm] M$ gilt:
IV) $a+b=b+a_$
dann spricht man von einer Abelschen Gruppe oder auch von einer Kommutativen Gruppe. Benannt nach dem norwegischen Mathematiker Niels Henrik Abel (1802-1829).
In einer Abelschen Gruppe gelten also stets die Gesetze I) bis IV).
Das Gesetz I) wird als Assoziativgesetz bezeichnet, das Gesetz IV), wie du bereits selber mitgeteilt hast, als Kommutativgesetz.
Die Gruppenabbildung kann auch mit dem Multiplikationszeichen geschrieben werden, oder mit irgend einem anderen Zeichen.
In der Regel wird das Neutrale Element, wenn die Abbildung als Addition geschrieben wird, mit $0_$ und das inverse Element von $a_$ mit $-a_$ bezeichnet. Wenn die Abbildung als Multiplikation geschrieben ist, wird das Neutrale Element mit $1_$ und das Inverse Element von $a_$ mit [mm] $a^{-1}$ [/mm] bezeichnet.
Du wirst im Unterricht sicher Beispiele von Gruppen sehen.
Mit zusätzlichen Operationen und Gesetzen wirst du dann sicher auch bald auf die Begriffe Ring und Körper stossen. 
Mit lieben Grüssen
Paul
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:10 Di 25.01.2005 | | Autor: | Rmeusbur |
Hallo Paul!
Klipp und Klare Erklärung...
Danke vielmals!
mfg Robert
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