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Forum "Zahlentheorie" - Abelsche Gruppen einer Ordnung
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Abelsche Gruppen einer Ordnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:25 Mo 25.05.2015
Autor: preissg6

Aufgabe
Aufgabe:

a) Wie viele abelsche Gruppen der Ordnung 15 gibt es (bis auf Isomorphie)?

b) Wie viele abelsche Gruppen der Ordnung 8 gibt es, die genau 3 Elemente der Ordnung 2 besitzen (bis auf Isomorphie)?

c) Wie viele abelsche Gruppen der Ordnung 32 gibt es (bis auf Isomorphie)?

zu a) Es existiert nur eine abelsche Gruppe der Ordnung 15:

[mm] \IZ/3\IZ [/mm] x [mm] \IZ/5\IZ \cong \IZ/15\IZ [/mm]

oder wird [mm] \IZ/15\IZ \cong \IZ/15\IZ [/mm] auch mitgezählt?

zu b) Primfaktorzerlegung von 8: 8= [mm] 2^3 [/mm]

(Was genau gibt die Primfaktorzerlegung mir an?)

[mm] \IZ/2\IZ [/mm] x [mm] \IZ/2\IZ [/mm] x [mm] \IZ/2\IZ \cong \IZ/8\IZ [/mm] müsste dann die einzige Gruppe sein.

zu c)Primfaktorzerlegung von 32: [mm] 2^5 [/mm]

Die möglichen Gruppen sind:

1) [mm] \IZ/32\IZ [/mm]
2) [mm] \IZ/16\IZ [/mm] x [mm] \IZ/2\IZ [/mm]
3) [mm] \IZ/8\IZ [/mm] x [mm] \IZ/4\IZ [/mm]
4) [mm] \IZ/8\IZ [/mm] x [mm] \IZ/2\IZ [/mm] x [mm] \IZ/2\IZ [/mm]
5) [mm] \IZ/4\IZ [/mm] x [mm] \IZ/4\IZ [/mm] x [mm] \IZ/2\IZ [/mm]
6) [mm] \IZ/4\IZ [/mm] x [mm] \IZ/2\IZ [/mm] x [mm] \IZ/2\IZ [/mm] x [mm] \IZ/2\IZ [/mm]
7) [mm] \IZ/2\IZ [/mm] x [mm] \IZ/2\IZ [/mm] x [mm] \IZ/2\IZ [/mm] x [mm] \IZ/2\IZ [/mm] x [mm] \IZ/2\IZ [/mm]

Muss ich noch zeigen, dass das alle sind?

Danke für die Hilfe!

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt

        
Bezug
Abelsche Gruppen einer Ordnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:57 Mo 25.05.2015
Autor: hippias


> Aufgabe:
>  
> a) Wie viele abelsche Gruppen der Ordnung 15 gibt es (bis
> auf Isomorphie)?
>  
> b) Wie viele abelsche Gruppen der Ordnung 8 gibt es, die
> genau 3 Elemente der Ordnung 2 besitzen (bis auf
> Isomorphie)?
>  
> c) Wie viele abelsche Gruppen der Ordnung 32 gibt es (bis
> auf Isomorphie)?
>  zu a) Es existiert nur eine abelsche Gruppe der Ordnung
> 15:
>  
> [mm]\IZ/3\IZ[/mm] x [mm]\IZ/5\IZ \cong \IZ/15\IZ[/mm]
>  
> oder wird [mm]\IZ/15\IZ \cong \IZ/15\IZ[/mm] auch mitgezählt?

Nein, so wird nicht gezaehlt. D.h. es gibt bis auf Isomorphie eine solche Gruppe. Im Hinblick auf Deine Bearbeitung des zweiten Problems: Ist Dir wirklich klar, dass [mm] $\IZ/3\IZ\times \IZ/5\IZ \cong \IZ/15\IZ$ [/mm] ist?

>  
> zu b) Primfaktorzerlegung von 8: 8= [mm]2^3[/mm]
>  
> (Was genau gibt die Primfaktorzerlegung mir an?)
>  
> [mm]\IZ/2\IZ[/mm] x [mm]\IZ/2\IZ[/mm] x [mm]\IZ/2\IZ \cong \IZ/8\IZ[/mm] müsste dann
> die einzige Gruppe sein.

Nein. Weder sind diese Gruppen isomorph, noch hat eine der beiden Gruppen die Eigenschaft genau drei Elemente der Ordnung $2$ zu besitzen. Mach lieber eine Liste wie bei c) und finde die gesuchte(n) Gruppe(n).

>  
> zu c)Primfaktorzerlegung von 32: [mm]2^5[/mm]
>  
> Die möglichen Gruppen sind:
>  
> 1) [mm]\IZ/32\IZ[/mm]
>  2) [mm]\IZ/16\IZ[/mm] x [mm]\IZ/2\IZ[/mm]
>  3) [mm]\IZ/8\IZ[/mm] x [mm]\IZ/4\IZ[/mm]
>  4) [mm]\IZ/8\IZ[/mm] x [mm]\IZ/2\IZ[/mm] x [mm]\IZ/2\IZ[/mm]
>  5) [mm]\IZ/4\IZ[/mm] x [mm]\IZ/4\IZ[/mm] x [mm]\IZ/2\IZ[/mm]
>  6) [mm]\IZ/4\IZ[/mm] x [mm]\IZ/2\IZ[/mm] x [mm]\IZ/2\IZ[/mm] x [mm]\IZ/2\IZ[/mm]
>  7) [mm]\IZ/2\IZ[/mm] x [mm]\IZ/2\IZ[/mm] x [mm]\IZ/2\IZ[/mm] x [mm]\IZ/2\IZ[/mm] x [mm]\IZ/2\IZ[/mm]
>  
> Muss ich noch zeigen, dass das alle sind?

Vermutlich nicht.

>  
> Danke für die Hilfe!
>  
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt


Bezug
                
Bezug
Abelsche Gruppen einer Ordnung: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 11:53 Mo 25.05.2015
Autor: preissg6

Ok. Du hast nicht ganz unrecht mit der Annahme, dass ich mit dem Thema nicht ganz warm bin. Wenn ich zum Aufgabenteil 2 eine Liste erstelle sieht diese folgendermaßen aus:

1) [mm] \IZ/8\IZ [/mm]
2) [mm] \IZ/4\IZ [/mm] x [mm] \IZ/2\IZ [/mm]
3) [mm] \IZ/2\IZ [/mm] x [mm] \IZ/2\IZ [/mm] x [mm] \IZ/2\IZ [/mm]

Aber welche der Lösungen besitzt denn dann genau 3 Elemente mit der Ordnung 2? Ich glaube ich stehe ziemlcih auf dem Schlauch.

Bezug
                        
Bezug
Abelsche Gruppen einer Ordnung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:06 Mo 25.05.2015
Autor: hippias

Ich weiss nicht, worin Dein Problem besteht. Daher ein paar Fragen:
1. Weisst Du, wieviele Elemente [mm] $\IZ/n\IZ$ [/mm] hat, und dass diese Gruppe zyklisch ist?
2. Was weisst Du ueber zyklische Gruppen?
3. Weisst Du, was das Symbol [mm] $\times$ [/mm] bedeutet, das zwischen den Gruppen steht?
4. Weisst Du, was die Ordnung eines Gruppenelementes ist?

Bezug
                                
Bezug
Abelsche Gruppen einer Ordnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:28 Mo 25.05.2015
Autor: preissg6

Ich verstehe an dem Teil scheinbar die Einschränkung "... die genau 3 Elemente der Ordnung 2 besitzen." nicht.

Die Ordnung ist min [mm] {a^{i}; i\in N}. [/mm] Ein Beispiel dazu, welches ich auch verstehe ist [mm] \IZ/7\IZ, [/mm] ord(2)=3, da [mm] 2^3=1 [/mm]

Auf meine Aufgabe übertragen 2^?= 1 mod 8 richtig?

[mm] \IZ/8\IZ [/mm] hat 8 Elemente und zyklisch ist eine Gruppe wenn ein Erzeuger existiert.



Bezug
                                        
Bezug
Abelsche Gruppen einer Ordnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:04 Mo 25.05.2015
Autor: hippias


> Ich verstehe an dem Teil scheinbar die Einschränkung "...
> die genau 3 Elemente der Ordnung 2 besitzen." nicht.
>  
> Die Ordnung ist min [mm]{a^{i}; i\in N}.[/mm]

Das ergibt fuer mich kaum Sinn.

> Ein Beispiel dazu,
> welches ich auch verstehe ist [mm]\IZ/7\IZ,[/mm] ord(2)=3, da [mm]2^3=1[/mm]
>  
> Auf meine Aufgabe übertragen 2^?= 1 mod 8 richtig?

Du musst Deine Gedanken ordnen:
Die zyklischen Gruppen [mm] $\IZ/n\IZ$, [/mm] die in Deiner Aufgabe auftauchen sind Faktorgruppe der additiven Gruppe [mm] $\IZ$. [/mm] Daher ist ist auch die Ordnung ihrer Elemente bezueglich der Addition zu bilden. Richtig ist, dass $2$ (eigentlich [mm] $2+7\IZ$) [/mm] in [mm] $\IZ/7\IZ$ [/mm] die multiplikative Ordnung $3$ hat, weil $3$ die kleinste natuerliche Zahl $n$ ist, fuer die [mm] $2^{n}=1$ [/mm] ist. Die Ordnung aber bezueglich der additiven Struktur von [mm] $\IZ/7\IZ$ [/mm] ist $7$: [mm] $o_{(\IZ/7\IZ,+)}(2)=7$. [/mm]

Nun lautet die Bedingung, dass die gesuchte Gruppe genau $3$ Elemente der Ordnung $2$ haben soll. Das hat nichts mit [mm] $2^{?}=1\mod [/mm] 8$ zu tun.

Beispielsweise betrachte ich die Gruppe $G:= [mm] \IZ/2\IZ\times \IZ/2\IZ$. [/mm] Ich schreibe sie additiv. Ich behaupte $G$ enthaelt ausser dem neutralen Element nur Elemente der Ordnung $2$.

Dazu sei [mm] $0\neq [/mm] g:= [mm] (x,y)\in [/mm] G$, [mm] $x,y\in \IZ/2\IZ$. [/mm] Ferner sei $n$ die Ordnung von $g$. Man rechnet $2g=(2x,2y) $ (ist dies klar?). Weil [mm] $\IZ/2\IZ$ [/mm] zyklische Gruppe der Ordnung $2$ ist, folgt $2x=2y=0$ (ist dies klar?). Damit ist $2g=0$ bewiesen, sodass [mm] $n\leq [/mm] 2$ gilt: $n$ ist ja das Minimum. Andererseits ist wegen [mm] $g\neq [/mm] 0$ auch $n>1$, sodass $n=2$ folgt.

Wenn ich also [mm] $\IZ/2\IZ=\{0,1\}$ [/mm] schreibe, dann enthaelt $G$ genau $3$ Elemente der Ordnung $2$: $(1,0)$, $(0,1)$ und $(1,1)$.

Finde also aus Deiner Liste der abelschen Gruppen der Ordnung $8$ diejenige, die ebenfalls genau $3$ Elemente der Ordnung $2$ enthaelt.

>  
> [mm]\IZ/8\IZ[/mm] hat 8 Elemente und zyklisch ist eine Gruppe wenn
> ein Erzeuger existiert.
>
>  


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