Abelsche Unterguppe von S4 < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:39 Mi 03.10.2007 | | Autor: | studi81 |
| Aufgabe | | Zeige: Die Menge {id, <1,2><3,4>, <1,3><2,4>, <1,4><2,3>} bildet eine zum direkten Produkt Z/2Z x Z/2Z isomorphe Abelsche Untergruppe von S4 die sogenannte Kleinsche Vierergruppe. |
Soll ich also zeigen dass für id= o <1,2><3,4>=a <1,3><2,4>=b und <1,4><2,3>=c gilt dieses Verknüpfungstafel
* 1 a b c
1 1 a b c
a a 1 c b
b b c 1 a
c c b a 1 ?
Und wie zeigt man es, wie kriege ich durch Verknüpfen von zB <1,2><3,4> und <1,3><2,4> <1,4><2,3> raus.
Bin ich dann fertig wenn ich es gezeigt habe oder kommt noch was dazu?
Bin für jede Hilfe Dankbar!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:36 Mi 03.10.2007 | | Autor: | studi81 |
Hat niemand Tipps zu der Aufgabe?
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> Zeige: Die Menge {id, <1,2><3,4>, <1,3><2,4>, <1,4><2,3>}
> bildet eine zum direkten Produkt Z/2Z x Z/2Z isomorphe
> Abelsche Untergruppe von S4 die sogenannte Kleinsche
> Vierergruppe.
> Soll ich also zeigen dass für id= o <1,2><3,4>=a
> <1,3><2,4>=b und <1,4><2,3>=c gilt dieses
> Verknüpfungstafel
> * 1 a b c
> 1 1 a b c
> a a 1 c b
> b b c 1 a
> c c b a 1 ?
> Und wie zeigt man es, wie kriege ich durch Verknüpfen von
> zB <1,2><3,4> und <1,3><2,4> <1,4><2,3> raus.
Hallo,
ich nehme mal an, daß hier die Zykelschreibweise gemeint ist.
Was ist also [mm] (1,2)(3,4)\circ [/mm] (1,3)(2,3) ?
Das bekommst Du heraus, wenn Du Dir anguckst, was mit 1,2,3 und 4 unter dieser Abbildung passiert.
1: [mm] 1\to 3\to [/mm] 4, also [mm] 1\to [/mm] 4
2: ...
3: ...
4: ...
Dann brauchst Du noch ( [mm] (1,2)(3,4))^2 [/mm] und [mm] ((1,3)(2,3))^2.
[/mm]
Damit kannst Du die Gruppentafel aufstellen.
Die Isomorphie zeigst Du durch Angabe des Isomorphismus,
oder, wenn Du weißt, daß es bis auf Isomorphie nur zwei Gruppen der Ordnung 4 gibt, indem Du zeigst, daß die vorliegende Gruppe nicht zyklisch ist. Hierfür kannst u Dir die Ordnung der Elemente anschauen.
Gruß v. Angela
> Bin ich dann fertig wenn ich es gezeigt habe oder kommt
> noch was dazu?
> Bin für jede Hilfe Dankbar!
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:32 Do 04.10.2007 | | Autor: | studi81 |
Irgendwie ist mir die Erklärung nicht klar.
> Was ist also [mm](1,2)(3,4)\circ[/mm] (1,3)(2,3) ?
>
> Das bekommst Du heraus, wenn Du Dir anguckst, was mit 1,2,3
> und 4 unter dieser Abbildung passiert.
>
> 1: [mm]1\to 3\to[/mm] 4, also [mm]1\to[/mm] 4
> 2: ...
> 3: ...
> 4: ...
es ist mir gar ncht klar was mit 1,2,3 und 4 unter dieser Abbildung passiert, warum geht es so
> 1: [mm]1\to 3\to[/mm] 4, also [mm]1\to[/mm] 4
> Dann brauchst Du noch ( [mm](1,2)(3,4))^2[/mm] und [mm]((1,3)(2,3))^2.[/mm]
> Damit kannst Du die Gruppentafel aufstellen.
So genau weiß ich es auch nicht wie man es macht.
> Die Isomorphie zeigst Du durch Angabe des Isomorphismus,
> oder, wenn Du weißt, daß es bis auf Isomorphie nur zwei
> Gruppen der Ordnung 4 gibt, indem Du zeigst, daß die
> vorliegende Gruppe nicht zyklisch ist. Hierfür kannst u Dir
> die Ordnung der Elemente anschauen.
Gut, Isomorphismus haben wir in LA1 behandelt, kann ich nachschauen ob ich daraus schlau werde.
Meine Frage, kann man diese Aufgabe überhaupt nur mit dem Wissen aus LA1 lösen , bis jetzt habe ich nur diese Vorlesung gehört und noch Analysis. Der Doktor, der den Proseminar fuhrt, für den ich diese Aufgabe mache meint das soll gehen. Für mich ist es aber alles Neuland, auch in meinem Vortrag steht nichts dazu. Mit anderen Aufgaben aus dem Proseminar sieht es bei mir nicht anders!
Könnt Ihr bitte deshalb wenn ihr die Aufgabe erklärt es etwas ausführlicher machen? Danke im Voraus
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> Meine Frage, kann man diese Aufgabe überhaupt nur mit dem
> Wissen aus LA1 lösen , bis jetzt habe ich nur diese
> Vorlesung gehört und noch Analysis.
Hallo,
ja, das geht.
> Für mich ist es aber alles Neuland, auch in
> meinem Vortrag steht nichts dazu.
Natürlich nicht! Die Hintergründe muß man sich selbst erarbeiten, in Deinem Fall reichen einführende Algebra-Bücher.
1. Du mußt Dich zunächst mit der Zykelschreibweise für die Permutationen vertraut machen. Das steht eigentlich in jedem Algebrabuch. Du findest es bei Permutationen, symmetrische Gruppe, [mm] S_n. [/mm] Möglicherweise fällt Dir die zweizeilige Schreibweise, die Du dort auch findest, etwas leichter.
Mach Dir klar, daß die Permutationen Abbildungen sind, das ist das, was ich Dir mit meinen Pfeilen zeigen wollte.
Wenn Du die Permutationen von 4 Elementen betrachtest, steht (23) für folgende Abbildung [mm] f_{(23)}:\{1,2,3,4\} \to \{1,2,3,4\} [/mm] mit
[mm] f_{(23)}(1)=1
[/mm]
[mm] f_{(23)}(2)=3
[/mm]
[mm] f_{(23)}(3)=2
[/mm]
[mm] f_{(23)}(4)=4.
[/mm]
Es ist also die Abbildung, die die Elemente 2 und 3 tauscht.
2. Auch beiden Vierergruppen findest Du ziemlich am Anfang in Algebrabüchern, wir haben die sogar dereinst in der Schule durchgenommen. Man braucht dafür sehr wenig mehr Kenntnisse als daß man weiß, was eine Gruppe ist.
> Könnt Ihr bitte deshalb wenn ihr die Aufgabe erklärt es
> etwas ausführlicher machen? Danke im Voraus
Sicher verstehst Du, daß ich hier nicht ein Buch schreiben möchte über diese Dinge, und wenn ich es täte, wäre es nicht so gut wie die, die bereits von viel klügeren Autoren gedruckt vorliegen.
Arbeite Dich mit Hilfe von Lehrbüchern in die oben genannten Themenbereiche ein, was Du nicht verstehst, kannst Du natürlich hier fragen.
Gruß v. Angela
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