Abfangpunkt zweier sicher bewegender Objekte berechnen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:56 So 07.03.2004 | | Autor: | stefan_ |
moin,
das problem sollte sich eigentlich problemlos mit mathe lk abi loesen lassen. Aber nach stunden langem suchen auf gamedev.net und 8 monaten bund geht im meinem kopf ungefaehr garnichts mehr. :o)
folgendes problem. ich habe zwei bewegliche Objekte und drei punkte in einem 2d raum. Das erste objekt befindet sich an punkt A und will sich mit einer konstanten geschwindigkeit zu Punkt B bewegen. Das zweite objekt befindet an punkt C. das zweite objekt moechte nun allerdings das erste abfangen. Das zweite objekt hat ebenfalls eine konstante geschwindigkeit. Wie also berechne ich den abfangpunkt D, und die kleinstmoegliche zeit t bis, bis sich die beiden objekte treffen?
Bsp. siehe [Dateianhang nicht öffentlich]
die katze mit dem blauen kreis moechte zur maus. Das moechte die katze mit dem roten kreis allerdings nicht und deshalb auf dem schnellsten weg die katze mit dem blauen kreis auf ihrem weg zur maus "abfangen". Wo ist der punkt auf der Strecke?
Die katze mit dem blauen kreis waere punkt A, die maus Punkt B und die Katze mit dem roten kreis Punkt C. Punkt D waere der treffpunkt der gerichteten blauen und der gerichteten roten strecke.
danke und mfg
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:02 So 07.03.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo,
hast du dies gelesen?
Gruß,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:16 So 07.03.2004 | | Autor: | stefan_ |
moin,
ich konnte nicht gestern nicht hellsehen, dass ich heute ein offensichtlich lebhafteres Forum finde, und ich gestern schon haette den Link von heute erstelltem Posting hier haette einfuegen muessen. ;o)
Ich haette zwar den Link (http://www.onlinemathe.de/read.php?topicid=1000000579&kat=Schule&) zum OnlineMathe Forum hier posten koennen, aber es wird in den meisten Foren des Internets nicht gern gesehen, wenn man auch nur andere Foren erwaehnt.
mfg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:47 So 07.03.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo stefan_,
> ich konnte nicht gestern nicht hellsehen, dass ich heute
> ein offensichtlich lebhafteres Forum finde, und ich gestern
> schon haette den Link von heute erstelltem Posting hier
> haette einfuegen muessen. ;o)
Darum geht es ja nicht, aber du solltest darauf hinweisen.
> Ich haette zwar den Link
> (http://www.onlinemathe.de/read.php?topicid=1000000579&kat=Schule&)
> zum OnlineMathe Forum hier posten koennen, aber es wird in
> den meisten Foren des Internets nicht gern gesehen, wenn
> man auch nur andere Foren erwaehnt.
Bei uns ist das völlig egal, da wir so gut sind, dass wir keine Konkurrenz fürchten. Ich glaube kaum, dass jemand von hier in ein anderes Forum wechselt, nur weil es hier von Mitgliedern erwähnt wird. Bei anderen Foren, insbesondere den kommerziellen, mag das anders sein.
Zu deinem Problem... das wird spätestens morgen von mir gelöst, falls mir keiner zuvorkommt.
Viele Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 03:27 Mo 08.03.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo,
> Bei uns ist das völlig egal, da wir so gut sind, dass wir
> keine Konkurrenz fürchten. Ich glaube kaum, dass jemand von
Marc.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 03:26 Mo 08.03.2004 | | Autor: | Marc |
Moin stefan_,
> ich konnte nicht gestern nicht hellsehen, dass ich heute
> ein offensichtlich lebhafteres Forum finde, und ich gestern
> schon haette den Link von heute erstelltem Posting hier
> haette einfuegen muessen. ;o)
Ganz so ist es ja nicht, wie du auf onlinemathe.de es ja bereits gemacht hast, kannst du deinem ersten Posting ein zweite nachschieben, das den Hinweis auf das andere Forum (MatheRaum) enthält.
Ich habe jetzt eine Stunde an meiner Antwort gesessen (weil ich mich auch etwas verschätzt hatte), und hätte mich sehr geärgert, wenn die Frage in dem anderen Forum bereits beantwortet worden wäre. So interessant ist die Fragestellung nun auch nicht, dass ich durch meine parallele Lösungsfindung irgenden Nutzen gehabt hätte; es wäre reine Zeitverschwendung gewesen. Immerhin war die Fragestellung aber so interessant, dass ich die Lösung gerne wissen wollte (und eine bessere immer noch wissen will  ), weswegen ich auch von den in unserem Kodex vorgesehenen Konsequenzen absah.
> Ich haette zwar den Link codex#crossposts
> (http://www.onlinemathe.de/read.php?topicid=1000000579&kat=Schule&)
> zum OnlineMathe Forum hier posten koennen, aber es wird in
> den meisten Foren des Internets nicht gern gesehen, wenn
> man auch nur andere Foren erwaehnt.
Das mag vielleicht bei kommerziellen Foren so sein, aber bei onlinemathe.de und matheraum.de (und einige anderen auch) machen dir ja Freiwillige einen Gefallen, und haben eigentlich besseres zu tun.
Aber, nichts für ungut, es ist ja nicht zu Doppelantworten gekommen, weswegen wir die ganze Sache jetzt einfach beilegen sollten. Immerhin freue ich mich ja, dass du dich an uns gewandt hast
Alles Gute,
Marc.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:09 Mo 08.03.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo stefan_,
bitte entschuldige, dass ich vorhin nur kurz reagiert hatte.
Zum besseren Verständnis vereinbare ich ein paar Bezeichnungen:
[mm] $A=(a_1,a_2)$, $B=(b_1,b_2)$, $C=(c_1,c_2)$, $D=(d_1,d_2)$
[/mm]
[mm] $v_A$: [/mm] Geschwindigkeit des Punktes A (blaue Katze), sagen wir in E/s ("Einheiten pro Sekunde")
[mm] $v_C$: [/mm] Geschwindigkeit des Punktes C (rote Katze), in E/s
Mein Vorschlag ist, die beiden Bewegungen der Katzen durch parametrisierte Geraden (wie man sie aus der analytischen Geometrie kennt) darzustellen.
Ich gehe im folgenden davon aus, dass die Geschwindigkeiten [mm] $v_A$ [/mm] und [mm] $v_B$ [/mm] im vorhinein bekannt sind, ansonsten ergäbe sich wahrscheinlich eine uneindeutige Lösung.
Die blaue Katze bewegt sich auf einer Geraden der Darstellung
[mm]g_A: \vec x = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix} + t*\vec {v_A} [/mm]
und die rote:
[mm]g_C: \vec x = \begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \end{pmatrix} + t*\vec {v_C} [/mm]
Diese beiden Geradengleichung sind einfach "Stützvektor + t*Richtungsvektor", ich gehe jetzt einfach mal davon aus, dass du dich daran aus deiner Schulzeit erinnerst (falls nicht, frage bitte nach).
Für z.B. $t=1$ sollen [mm] $g_A(1)$ $g_C(1)$ [/mm] also die Koordinaten des Aufenthaltpunktes nach 1 Sekunden liefern, für $t=2$ nach 2 Sekunden etc.
Die Richtungsvektoren [mm] $\vec v_A$ [/mm] und [mm] $\vec v_C$ [/mm] sind noch zu berechnen; sie sollten nicht mit den Geschwindigkeitsbeträgen [mm] $v_A$ [/mm] und [mm] $v_C$ [/mm] verwechselt werden.
[mm] $\vec v_A$ [/mm] zeigt von $A$ in Richtung $B$, hat also die Richtung und Orientierung von [mm] $\begin{pmatrix}b_1-a_1\\b_2-a_2\end{pmatrix}$.
[/mm]
Nur die Länge dieses Vektors stimmt noch nicht, er muß gerade so lang sein wie die Strecke, die $A$ in einer Sekunde zurücklegt; diese Strecke ist gerade die Geschwindigkeit, es muß also gelten: [mm] $|\vec v_A|=v_A$ [/mm] (jetzt ist auch klar, warum ich Vektor und Geschwindkeit ähnlich benannt habe; und tatsächlich, in z.B. der Physik spricht man auch von einem Geschwindigkeitsvektor.
Die gewünschte Länge erhalte ich zunächst durch Normierung des Vektors und anschließender Multiplikation mit [mm] $v_A$, [/mm] also:
[mm] $\vec v_A=\begin{pmatrix}b_1-a_1\\b_2-a_2\end{pmatrix}*\bruch{1}{\sqrt{(b_1-a_1)^2+(b_2-a_2)^2}}*v_A$
[/mm]
Analog: [mm] $\vec v_C=\begin{pmatrix}d_1-c_1\\d_2-c_2\end{pmatrix}*\bruch{1}{\sqrt{(d_1-c_1)^2+(d_2-c_2)^2}}*v_C$
[/mm]
Sammeln der Ergebnisse:
[mm]g_A: \vec x = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix} + t*\begin{pmatrix}b_1-a_1\\b_2-a_2\end{pmatrix}*\bruch{1}{\sqrt{(b_1-a_1)^2+(b_2-a_2)^2}}*v_A [/mm]
und die rote:
[mm]g_C: \vec x = \begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \end{pmatrix} + t*\begin{pmatrix}d_1-c_1\\d_2-c_2\end{pmatrix}*\bruch{1}{\sqrt{(d_1-c_1)^2+(d_2-c_2)^2}}*v_C [/mm]
So haben wir für jeden Zeitpunkt $t$ einen Automaten, der uns die exakte Position der Katzen liefert.
Der dargestellte Sachverhalt ist total simpel, nur durch die Allgemeinheit sieht es vielleicht etwas kompliziert aus.
Jetzt kommt das Entscheidene: Der Abfangpunkt $D$ ist nun natürlich der Schnittpunkt der beiden Geraden, d.h. wir suchen den Zeitpunkt [mm] $t_D$, [/mm] an dem beiden Katzen sich am selben Punkt $D$ befinden:
[mm]\begin{pmatrix} d_1 \\ d_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix} + t_D*\begin{pmatrix}b_1-a_1\\b_2-a_2\end{pmatrix}*\bruch{1}{\sqrt{(b_1-a_1)^2+(b_2-a_2)^2}}*v_A [/mm]
[mm]\begin{pmatrix} d_1 \\ d_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \end{pmatrix} + t_D*\begin{pmatrix}d_1-c_1\\d_2-c_2\end{pmatrix}*\bruch{1}{\sqrt{(d_1-c_1)^2+(d_2-c_2)^2}}*v_C [/mm]
Dieses Gleichungssystem könntest du z.B. so lösen, in dem du aus der ersten Vektorgleichung Darstellungen für [mm] $d_1$ [/mm] und [mm] $d_2$ [/mm] ermittelst und diese dann einfach in die zweite Vektorgleichung für [mm] $d_1$ [/mm] und [mm] $d_2$ [/mm] einsetzt; du erhälst so zwei Gleichungen, die nur noch die Unbekannte [mm] $t_D$ [/mm] enthält:
[mm] $d_1 [/mm] = [mm] a_1 [/mm] + [mm] t_D*v_A_1$ [/mm] mit [mm] $v_A_1=(b_1-a_1)*\bruch{1}{\sqrt{(b_1-a_1)^2+(b_2-a_2)^2}}*v_A$
[/mm]
[mm] $d_2 [/mm] = [mm] a_2 [/mm] + [mm] t_D*v_A_2$ [/mm] mit [mm] $v_A_2=(b_2-a_2)*\bruch{1}{\sqrt{(b_1-a_1)^2+(b_2-a_2)^2}}*v_A$
[/mm]
[mm] $d_1 [/mm] = [mm] c_1 [/mm] + [mm] t_D*(d_1-c_1)*\bruch{1}{\sqrt{(d_1-c_1)^2+(d_2-c_2)^2}}*v_C$
[/mm]
[mm] $d_2 [/mm] = [mm] c_2 [/mm] + [mm] t_D*(d_2-c_2)*\bruch{1}{\sqrt{(d_1-c_1)^2+(d_2-c_2)^2}}*v_C$
[/mm]
Die ersten beiden Gleichung in die beiden unteren eingesetzt:
[mm] $d_1 [/mm] = [mm] a_1 [/mm] + [mm] t_D*v_A_1$ [/mm] mit [mm] $v_A_1=(b_1-a_1)*\bruch{1}{\sqrt{(b_1-a_1)^2+(b_2-a_2)^2}}*v_A$
[/mm]
[mm] $d_2 [/mm] = [mm] a_2 [/mm] + [mm] t_D*v_A_2$ [/mm] mit [mm] $v_A_2=(b_2-a_2)*\bruch{1}{\sqrt{(b_1-a_1)^2+(b_2-a_2)^2}}*v_A$
[/mm]
[mm] $a_1 [/mm] + [mm] t_D*v_A_1 [/mm] = [mm] c_1 [/mm] + [mm] t_D*(a_1 [/mm] + [mm] t_D*v_A_1-c_1)*\bruch{1}{\sqrt{(a_1 + t_D*v_A_1-c_1)^2+(a_2 + t_D*v_A_2-c_2)^2}}*v_C$
[/mm]
[mm] $a_2 [/mm] + [mm] t_D*v_A_2 [/mm] = [mm] c_2 [/mm] + [mm] t_D*(a_2 [/mm] + [mm] t_D*v_A_2-c_2)*\bruch{1}{\sqrt{(a_1 + t_D*v_A_1-c_1)^2+(a_2 + t_D*v_A_2-c_2)^2}}*v_C$
[/mm]
Ich rechne mal nur mit der dritten Gleichung, der Übersichtlichkeit wegen:
[mm] $a_1 [/mm] + [mm] t_D*v_A_1 [/mm] = [mm] c_1 [/mm] + [mm] t_D*(a_1 [/mm] + [mm] t_D*v_A_1-c_1)*\bruch{1}{\sqrt{(a_1 + t_D*v_A_1-c_1)^2+(a_2 + t_D*v_A_2-c_2)^2}}*v_C$
[/mm]
[mm] $\gdw \red{a_1 - c_1 + t_D*v_A_1}\black{= t_D*}(\red{a_1 + t_D*v_A_1-c_1}\black{)*\bruch{1}{\sqrt{(a_1 + t_D*v_A_1-c_1)^2+(a_2 + t_D*v_A_2-c_2)^2}}*v_C}$
[/mm]
1. Fall: [mm] $\red{a_1 - c_1 + t_D*v_A_1}\black{\neq 0}$
[/mm]
[mm] $\gdw \red{1}\black{= t_D*}\red{1}\black{*\bruch{1}{\sqrt{(a_1 + t_D*v_A_1-c_1)^2+(a_2 + t_D*v_A_2-c_2)^2}}*v_C}$
[/mm]
[mm] $\gdw \sqrt{(a_1 + t_D*v_A_1-c_1)^2+(a_2 + t_D*v_A_2-c_2)^2}= t_D*v_C$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow (a_1 [/mm] + [mm] t_D*v_A_1-c_1)^2+(a_2 [/mm] + [mm] t_D*v_A_2-c_2)^2= t_D^2*v_C^2$
[/mm]
[mm] $\gdw (a_1-c_1)^2 [/mm] + [mm] 2*(a_1-c_1)*t_D*v_A_1+t_D^2*v_A_1^2+(a_2-c_2)^2 [/mm] + [mm] 2*(a_2-c_2)*t_D*v_A_2 +t_D^2*v_A_2^2= t_D^2*v_C^2$
[/mm]
[mm] $\gdw t_D^2*(v_A_1^2+v_A_2^2-v_C^2) [/mm] + [mm] 2*t_D*((a_1-c_1)*v_A_1+ (a_2-c_2)*v_A_2) [/mm] + [mm] (a_1-c_1)^2 [/mm] + [mm] (a_2-c_2)^2=0$
[/mm]
Fall 1a: [mm] $v_A_1^2+v_A_2^2-v_C^2\neq [/mm] 0$
[mm] $\gdw t_D^2 [/mm] + [mm] 2*t_D*\bruch{((a_1-c_1)*v_A_1+ (a_2-c_2)*v_A_2)}{v_A_1^2+v_A_2^2-v_C^2} [/mm] + [mm] \bruch{(a_1-c_1)^2 + (a_2-c_2)^2}{v_A_1^2+v_A_2^2-v_C^2}=0$
[/mm]
Nun kann ich endlich die  p/q-Formel anwenden, obwohl ich jetzt ziemlich sicher bin, dass vielleicht eine elementar-geometrische Lösung geschickter gewesen wäre; naja, ich beiße mal in den sauren Apfel:
[mm] $t_D_{1,2} [/mm] = [mm] -\bruch{(a_1-c_1)*v_A_1+ (a_2-c_2)*v_A_2}{v_A_1^2+v_A_2^2-v_C^2}\pm\sqrt{\left( \bruch{(a_1-c_1)*v_A_1+ (a_2-c_2)*v_A_2}{v_A_1^2+v_A_2^2-v_C^2}\right)^2-\bruch{(a_1-c_1)^2 + (a_2-c_2)^2}{v_A_1^2+v_A_2^2-v_C^2}}$
[/mm]
Fall 2a: [mm] $v_A_1^2+v_A_2^2-v_C^2= [/mm] 0$
Einfach, da lineare Gleichung zu lösen ist.
2. Fall: [mm] $\red{a_1 - c_1 + t_D*v_A_1}\black{= 0}$
[/mm]
In diesem Fall lautet die Gleichung sofort $0=0$; vielleicht sollte man sich auch überlegen, was dies anschaulich bedeutet.
So, ich habe jetzt keinen Nerv mehr, ich hoffe darauf, dass Stefan morgen früh eine einfachere Lösung findet, z.B. eine mit Dreiecksberechnungen.
So, jetzt erstmal gute Nacht, ich werde am Problem dran bleiben
Alles Gute,
Marc
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:09 Mo 08.03.2004 | | Autor: | rad238 |
Ich hab mal versucht, die Aufgabe mit elementarer Geometrie zu lösen und dabei die bereits eingeführten Größen zu verwenden.
A ist der Startpunkt der jagenden Katze, C ist der Startpunkt der abfangenden Katze, B ist der Aufenthaltsort der Maus. Die Koordinaten von A, B und C seinen gegeben, ebenso die Geschwindigkeitsbeträge va uns vc, mit denen sich die Katzen bewegen.
Wenn alpha der Winkel zwischen den Strecken AB und AC ist, lässt sich dieser Winkel berechnen als Differenz der absoluten Richtungswinkel beta und gamma , unter denen die Punkte B und C von A aus gesehen werden können.
beta = arctan( (by-ay)/(bx-ax) )
gamma = arctan( (cy-ay)/(cx-ax) )
bzw.
gamma = pi + arctan( (cy-ay)/(cx-ax) )
wenn cx-ax < 0, und
beta = pi + arctan( (by-ay)/(bx-ax) )
wenn bx-ax < 0
ax ist hier die x-Komponente von A, ay ist die y-Komponente von A. Für B und C gilt entsprechendes.
alpha = beta - gamma .
Mit dem Kosinussatz gilt dann:
[mm] |AC|^2 [/mm] + [mm] |t*va|^2 [/mm] = [mm] |t*vc|^2 [/mm] + 2*|AC|*|t*va|*cos(alpha )
|AC| ist hier der Betrag der Strecke zwischen A und C.
t ist die Zeit, die verstreicht, bis die jagende Katze abgefangen wird.
Die quadratische Gleichung lässt sich nach t auflösen, wenn die abfangende Katze hinreichend schnell ist. Der Abfangpunkt berechnet sich dann aus dem Punkt A der Zeit t und der Geschwindigkeit va durch einfaches Anhängen.
rad238
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:21 Mo 08.03.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo rad238,
das wäre auch meine Lösung gewesen.
Danke, dass du mir die Tipparbeit erspart hast.
Du hast nur, denke ich, den Kosinussatz falsch hingeschrieben. Schau es dir vielleicht noch mal an und verbessere es gegebenenfalls.
Viele Grüße und Danke!
Stefan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:33 Mo 08.03.2004 | | Autor: | rad238 |
Okidoki!
Ist es so OK?
rad238
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:34 Mo 08.03.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo rad238,
> Ist es so OK?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Danke!
Viele Grüße
Stefan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:54 Mo 08.03.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo rad238,
schön, dass die elementar-geometrische Lösung doch einfacher ist als die mit den Mitteln der linearen Algebra.
Danke für deine Lösung!
Viele Grüße,
Marc.
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