Abgeschl. unter Substitution < Prädikatenlogik < Logik < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 22:30 Sa 09.08.2014 | | Autor: | Avinu |
| Aufgabe | Sei [mm] \tau [/mm] = [mm] \{0, 1, f, R\}, [/mm] wobei 0,1 zwei Konstanten sind, f ein 2-stelliges Funktionssymbol, und R ein 1-stelliges Relationssymbol. Wir betrachten die folgende Menge T von atomaren Sätzen:
T := [mm] \{R0\} \cup \{Rft0~|~t~\tau-Term \} \cup \{ fft_1t_2t_3 = ft_1ft_2t_3~|~t_1, t_2, t_3~\tau-Terme \}
[/mm]
Sei [mm] \Sigma [/mm] die kleinste Menge, die T enthält und unter Substitution abgeschlossen ist. Beschreiben Sie [mm] \Sigma. [/mm] |
Hallo zusammen,
ich habe die Lösung hier vor mir liegen, verstehe aber nicht, wie man dort hin kommt.
Wir haben definiert:
Ein Grundterm ist ein Term in dem keine Variablen vorkommen.
Eine [mm] \tau-Formel [/mm] ist atomar, wenn sie von der Form [mm] t_1 [/mm] = [mm] t_2 [/mm] oder [mm] Pt_1...t_n [/mm] ist mit [mm] $t_1, [/mm] ..., [mm] t_n$ $\tau$-Terme [/mm] und P [mm] \in \tau [/mm] ein n-stelliges Relationssymbol.
Ein [mm] \tau-Satz [/mm] ist eine [mm] \tau-Formel [/mm] ohne freie Variablen.
Eine Menge [mm] \Sigma [/mm] von atomaren Sätzen iun [mm] FO(\tau) [/mm] ist abgeschlossen unter Substitution, wenn für jede atomare Formel [mm] \psi(x) [/mm] und alle Grundterme t,t' [mm] \in T(\tau) [/mm] gilt:
(i) [mm] \Sigma [/mm] enthält die Gleichung t = t'
(ii) Wenn t = t' und [mm] \psi(t) [/mm] zu [mm] \Sigma [/mm] gehören, dann auch [mm] \psi(t')
[/mm]
Die Grundterme im Falle dieser Aufgabe sind doch dann 0, 1, f00, f01, f10, f11, f0f00, f0f01, usw. richtig? Dann müsste, nach unserer Definition aber doch z.B. auch gelten 0=1 [mm] \in \Sigma [/mm] oder f00 = f01 [mm] \in \Sigma. [/mm] Laut Lösung ist dies aber nicht der Fall. Hier ist nur dann t=t' [mm] \in \Sigma, [/mm] wenn die gleichen Terme in gleicher Reihenfolge auftauchen. Also z.B. [mm] fft_1t_2t_3 [/mm] = [mm] ft_1ft_2t_3.
[/mm]
Wo ist hier mein Fehler?
Schonmal vielen Dank für die Hilfe.
Viele Grüße,
Avinu
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:35 Do 14.08.2014 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Avinu!
> Eine Menge [mm]\Sigma[/mm] von atomaren Sätzen iun [mm]FO(\tau)[/mm] ist
> abgeschlossen unter Substitution, wenn für jede atomare
> Formel [mm]\psi(x)[/mm] und alle Grundterme t,t' [mm]\in T(\tau)[/mm] gilt:
>
> (i) [mm]\Sigma[/mm] enthält die Gleichung t = t'
> (ii) Wenn t = t' und [mm]\psi(t)[/mm] zu [mm]\Sigma[/mm] gehören, dann auch
> [mm]\psi(t')[/mm]
Bisher kannte ich diesen Begriff der Abgeschlossenheit unter Substitution nicht. Eine Internet-Recherche ergab jedoch, dass es wohl bei i) t=t, nicht etwa t=t' heißen muss.
Das sollte dein von der Musterlösung abweichendes Ergebnis erklären.
Viele Grüße
Tobias
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