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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:58 Fr 06.05.2005 | | Autor: | Tito |
Hallo
Meine Aufgabe ist:
Seien a,b [mm] \in \IR [/mm] a < b , X:= C([a,b]) versehen mit der Supremumsnorm erzeugten Metrik:
d(f,g):= [mm] \sup_{x \in [a,b]} [/mm] |f(x) - g(x)| für f,g [mm] \in [/mm] X
Untersuche B auf Abgeschlossenheit
B:= {f [mm] \in [/mm] X : [mm] \forall x\in [/mm] [a,b] : 0 [mm] \le [/mm] f(x) [mm] \le [/mm] 1 und [mm] \exists \alpha [/mm] , [mm] \beta [/mm] : [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] [a,b] : f(x)= [mm] \alpha [/mm] + [mm] \beta [/mm] x}
Ich hab das so gemacht, weiß aber nicht ob das blödsinn ist:
Also: Sei f [mm] \in [/mm] B, dann wähle eine Funktionenfolge [mm] (f_k)_{k \in \IN} [/mm] aus B die gleichmäßig gegen f konvergiert (ich hoffe das kann ich einfach so sagen), [mm] \Rightarrow[/mm] [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} \sup_{x \in [a,b]} |f_k(x) - f(x)| = 0 [/mm] [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] [a,b], das heißt [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} f_k(x)=f(x) \in [/mm] B [mm] \forall x\in [/mm] [a,b] [mm] \Rightarrow [/mm] B abgeschlossen.
Ich hoffe das geht so würde mich über hilfe freuen, danke
Tito
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:26 So 08.05.2005 | | Autor: | leduart |
> Also: Sei f [mm]\in[/mm] B, dann wähle eine Funktionenfolge
> [mm](f_k)_{k \in \IN}[/mm] aus B die gleichmäßig gegen f konvergiert
> (ich hoffe das kann ich einfach so sagen),
Nein, du hast ja nichts über f benutzt! und damit nichts über B! Ne Folge musst du schon finden!
(Den Spruch unter deinem Artikel find ich so ätzend, dass ich nicht über ne Lösung nachdenk.)
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:03 So 08.05.2005 | | Autor: | Tito |
Hallo Leduart,
danke für deine Antwort. Tut mir leid das ich dich mit meiner Sig in irgend einer Weise angegriffen habe, ich fand an dem Spruch einfach nur interessant, wie man durch vertauschen von 2 Wörtern den Sinn so entstellen kann, naja dann lösch ich ihn halt einfach.
Nur noch eine kleine Frage wäre es leichter wenn man das Komplement von B betrachtet und versucht zu zeigen, dass dies offen ist?
Gruß
Tito
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:28 So 08.05.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Tito!
Es sei also [mm] $(f_k)_{k \in \IN}$ [/mm] eine Funktionenfolge aus $B$, die in der Supremumsnorm, also insbesondere punktweise gegen eine Funktion $f [mm] \in [/mm] C([a,b])$ konvergiert. Zu zeigen ist: $f [mm] \in [/mm] B$.
Die Bedingung $0 [mm] \le [/mm] f(x) [mm] \le [/mm] 1$ für alle $x [mm] \in [/mm] [a,b]$ ist klar. Zu zeigen bleibt, dass $f$ affin-linear ist.
Für alle $k [mm] \in \IN$ [/mm] sei
[mm] $f_k(x) [/mm] = [mm] \alpha_k [/mm] + [mm] \beta_k\, [/mm] x$.
Dann existiert
[mm] $\beta:= \lim\limits_{k \to \infty} \beta_k [/mm] = [mm] \lim\limits_{k \to \infty}\frac{f_k(x) - f_k(y)}{x-y}$
[/mm]
für beliebige, aber feste $x [mm] \ne [/mm] y$.
und dann auch (wähle $x [mm] \in [/mm] [a,b]$ beliebig, aber fest):
[mm] $\alpha:= \lim\limits_{k \to \infty} \alpha_k [/mm] = [mm] \lim\limits_{k \to \infty} (f_k(x) [/mm] - [mm] \beta_k\, [/mm] x)$.
Viele Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:46 So 08.05.2005 | | Autor: | Tito |
Hallo Stefan,
ich danke dir.
Gruß
Tito
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