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Forum "Topologie und Geometrie" - Abgeschlossen/Kompakt
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Abgeschlossen/Kompakt: Aufgabe 18
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:51 Mo 28.11.2011
Autor: Highchiller

Aufgabe
Es sei A ein abgeschlossene Teilmenge des metrischen Raumes $(X,d)$ und B eine kompakte, zu A disjunkte Teilmenge von X. Zeigen Sie, dass eine positive Zahl [mm] $\varepsilon_0$ [/mm] existiert, so dass $d(a,b) [mm] \ge \varepsilon_0$ [/mm] für alle a in A und alle b in B.

Hinweis: Wenn die Behauptung falsch wäre, dann gäbe es eine abgeschlossene Menge $A [mm] \subset [/mm] X$ und eine dazu disjunkte und kompakte Menge B sowie zu jedem $n [mm] \in \IN$ [/mm] Elemente [mm] $a_n \in [/mm] A$ und [mm] $b_n \in [/mm] B$ mit [mm] $d(a_n,b_n) \le \frac{1}{n}$ [/mm]

Irgendwie werd ich aus der Aufgabe nicht schlau.
Also ich meine, was ist denn wenn ich einfach folgendes wähle:

Sei [mm] $\varepsilon_0 [/mm] = [mm] \frac{1}{2} \underset{a\in A, b\in B}{\mathit{min}} \left \{ d(a,b) \right \} [/mm] > 0$.
Denn der Abstand ist immer positiv und immer ungleich 0, da A und B disjunkte und abgeschlossene Mengen sind.
Damit gilt: $d(a,b) [mm] \ge \varepsilon_0 \quad \forall [/mm] a [mm] \in [/mm] A [mm] \forall [/mm] b [mm] \in [/mm] B$.

Das kann aber so nicht stimmen. Wozu dann der Hinweis? Und das B kompakt ist, hab ich auch nicht benötigt.
Weiß einer wo mein Fehler ist? Das ist doch zu simpel.

        
Bezug
Abgeschlossen/Kompakt: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:24 Di 29.11.2011
Autor: offthegrid

Was garantiert dir, dass das Minimum angenommen wird? Wähle zum Beispiel: [mm] A=\{(x,y)\in \IR^2 | 0 \leq x, y \geq \frac{1}{x}\} [/mm] und [mm] B=\{(x,y)\in \IR^2 | 0 \leq x, y \leq -\frac{1}{x}\}. [/mm] Dann ist [mm] \inf_{a\in A b\in B} [/mm] d(a,b) = 0. Da A und B disjunkt, existiert das Minimum also nicht.

Die Idee ist, dass du dir Folgen wählst, die d(a,b) minimieren und die Kompaktheit bzw. Abgeschlossenheit ausnützt.

Ich hoffe, das hilft weiter!

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Abgeschlossen/Kompakt: Idee
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 02:09 Di 29.11.2011
Autor: Highchiller

Hmm. Da bin ich mir grad etwas unsicher.
Also ich wähle mir eine Folge [mm] $a_n \in [/mm] A$ und [mm] $b_n \in [/mm] B$ mit [mm] $\underset{n \to \infty }{lim} a_n [/mm] = a [mm] \in [/mm] A$ und [mm] $\underset{n \to \infty }{lim} b_n [/mm] = b [mm] \in [/mm] B$. Dann gilt:
[mm] $d(a_n,b_n) \ge [/mm] d(a,b) > 0$
Denn A und B sind disjunkt und abgeschlossen.

... nee das ist ja wieder genau der gleiche Fehler den ich vorher schon gemacht hab.
So komm ich auch nicht wirklich weiter...

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Abgeschlossen/Kompakt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:22 Di 29.11.2011
Autor: fred97

[mm] (a_n) [/mm] und [mm] (b_n) [/mm] seien wie im Hinweis.

Da B kompakt ist, enthält [mm] (b_n) [/mm] eine konvergente Teilfolge , deren Grenzwert zu B gehört.

Ohne Einschränkung können wir annehmen, dass [mm] (b_n) [/mm] selbst schon konvergent ist. Sei b der Grenzwert von [mm] (b_n). [/mm] Es ist b [mm] \in [/mm] B.

Weiter ist

              [mm] $d(a_n,b) \le d(a_n,b_n)+d(b_n,b) \le 1/n+d(b_n,b).$ [/mm]

Dies zeigt: [mm] (a_n) [/mm] konvergiert ebenfalls gegen b. Da A abgeschlossen ist, ist b [mm] \in [/mm] A.

Widerspruch !

FRED

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Abgeschlossen/Kompakt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:38 Mo 30.04.2012
Autor: Mathe-Lily

Hallo!
Ich habe die gleiche Aufgabe nun auch, nur dass mir der Hinweis fehlt.
An sich kann ich es doch genau so als Widerspruchsbeweis aufziehen, oder?
Aber dann habe ich 2 Anliegen:
1. Kann ich auch das mit dem [mm] d(a_{n},b_{n})\le [/mm] 1/n nehmen? Woher kommt das 1/n?
2. Wieso kann man ohne Einschränkung annehmen, dass [mm] (b_{n}) [/mm] selbst auch konvergiert?

Wäre toll, wenn mir hier jemand helfen kann!?
Grüßle, Lily

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Abgeschlossen/Kompakt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:20 Di 01.05.2012
Autor: tobit09

Hallo Lily,


>  1. Kann ich auch das mit dem [mm]d(a_{n},b_{n})\le[/mm] 1/n nehmen?

Ja.

> Woher kommt das 1/n?

Wenn die Behauptung falsch wäre, dann gäbe es eine abgeschlossene Menge $A [mm] \subset [/mm] X$ und eine dazu disjunkte und kompakte Menge $B$ sowie zu jedem [mm] $\varepsilon_0>0$ [/mm] Elemente $a [mm] \in [/mm] A$ und $b [mm] \in [/mm] B$ mit $d(a,b) [mm] \le \varepsilon_0$. [/mm]

Insbesondere würde dies für [mm] $\varepsilon_0=\bruch1n$ [/mm] gelten.


> 2. Wieso kann man ohne Einschränkung annehmen, dass
> [mm](b_{n})[/mm] selbst auch konvergiert?

Wir wissen, dass eine Teilfolge [mm] $(b_{n_k})_{k\in\IN}$ [/mm] gegen ein Element [mm] $b\in [/mm] B$ konvergiert. Wegen [mm] $n_k\ge [/mm] k$ für alle [mm] $k\in\IN$ [/mm] haben wir

     [mm] $d(a_{n_k},b_{n_k})\le\bruch1{n_k}\le\bruch1k$ [/mm]

für alle [mm] $k\in\IN$. [/mm]
Also können wir die Folgen [mm] $(a_n)_{n\in\IN}$ [/mm] und [mm] $(b_n)_{n\in\IN}$ [/mm] ersetzen durch [mm] $(a_{n_k})_{k\in\IN}$ [/mm] und [mm] $(b_{n_k})_{k\in\IN}$. [/mm]


Viele Grüße
Tobias

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Abgeschlossen/Kompakt: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:32 Di 01.05.2012
Autor: Mathe-Lily

Danke!! :-)

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