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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:41 So 15.07.2007 | | Autor: | barsch |
| Aufgabe | Zu zeigen:
[mm] M:=\{(x_1,x_2,x_3)\in\IR^3| x_1^2+x_2^2+x_{3}^2=1\}
[/mm]
ist abgeschlossen und beschränkt. |
Hi,
wie genau kann man denn Abgeschlossen- und Beschränktheit zeigen?
Gibt es da vielleicht ein paar nützliche Tricks?
Wäre für Tipps und Tricks dankbar.
MfG
barsch
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> Zu zeigen:
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> [mm]M:=\{(x_1,x_2,x_3)\in\IR^3| x_1^2+x_2^2+x_{3}^2=1\}[/mm]
>
> ist abgeschlossen und beschränkt.
> Hi,
>
> wie genau kann man denn Abgeschlossen- und Beschränktheit
> zeigen?
Wenn z.B. [mm] $f:\IR^3\rightarrow \IR$ [/mm] stetig ist, dann ist das inverse Bild einer offenen Menge unter $f$ offen bzw. das inverse Bild einer abgeschlossenen Menge unter $f$ abgeschlossen.
Wenn also, in Deinem Fall, [mm] $f:\IR^2\ni (x_1,x_2,x_3)\rightarrow x_1^2+x_2^2+x_3^2\in \IR$ [/mm] stetig ist, dann ist das inverse Bild $M$ der abgeschlossenen Menge [mm] $\{1\}$ [/mm] unter $f$ abgeschlossen.
Was die Beschränktheit betrifft: Es ist ja: [mm] $x_{1,2,3}^2 \leq x_1^2+x_2^2+x_3^2=1$ [/mm] für alle [mm] $(x_1,x_2,x_3)\in [/mm] M$ und daher [mm] $x_{1,2,3}^2\leq [/mm] 1$. Woraus [mm] $|(x_1,x_2,x_3)|\leq \sqrt{3}$ [/mm] für alle [mm] $(x_1,x_2,x_3)\in [/mm] M$ folgt (euklidische Metrik des [mm] $\IR^3$ [/mm] vorausgesetzt).
Natürlich hättest Du gerne ein allgemeines Rezept, das man ohne zu denken, insbesondere ohne irgendwelche Feinheiten der vorgelegten Definition der fraglichen Menge in Betracht ziehen zu müssen, einfach herunter spulen könnte. - Der obige Tip mit dem inversen Bild einer stetiger Funktionen zu argumentieren ist für die Frage der Abgeschlossenheit einer Menge wenigstens halbwegs allgemein brauchbar. - Aber andere Mengen, andere Tricks...
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:15 So 15.07.2007 | | Autor: | barsch |
Hi,
danke.
> Natürlich hättest Du gerne ein allgemeines Rezept, das man
> ohne zu denken, insbesondere ohne irgendwelche Feinheiten
> der vorgelegten Definition der fraglichen Menge in Betracht
> ziehen zu müssen, einfach herunter spulen könnte.
Naja, ein wenig Nachdenken ist schon okay 
Es hätte ja sein können, dass es bestimmte Merkmale gibt, aus denen man dann Abgeschlossenheit und Beschränktheit schließen kann.
Und deine Tipps helfen mir in dieser Hinsicht schon weiter.
MfG
barsch
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 17:26 So 15.07.2007 | | Autor: | Somebody |
> > Zu zeigen:
> >
> > [mm]M:=\{(x_1,x_2,x_3)\in\IR^3| x_1^2+x_2^2+x_{3}^2=1\}[/mm]
> >
> > ist abgeschlossen und beschränkt.
> > Hi,
> >
> > wie genau kann man denn Abgeschlossen- und Beschränktheit
> > zeigen?
> Wenn z.B. [mm]f:\IR^3\rightarrow \IR[/mm] stetig ist, dann ist das
> inverse Bild einer offenen Menge unter [mm]f[/mm] offen bzw. das
> inverse Bild einer abgeschlossenen Menge unter [mm]f[/mm]
> abgeschlossen.
> Wenn also, in Deinem Fall, [mm]f:\IR^2\ni (x_1,x_2,x_3)\rightarrow x_1^2+x_2^2+x_3^2\in \IR[/mm]
> stetig ist, dann ist das inverse Bild [mm]M[/mm] der abgeschlossenen
> Menge [mm]\{1\}[/mm] unter [mm]f[/mm] abgeschlossen.
> Was die Beschränktheit betrifft: Es ist ja: [mm]x_{1,2,3}^2 \leq x_1^2+x_2^2+x_3^2=1[/mm]
> für alle [mm](x_1,x_2,x_3)\in M[/mm] und daher [mm]x_{1,2,3}^2\leq 1[/mm].
> Woraus [mm]|(x_1,x_2,x_3)|\leq \sqrt{3}[/mm] für alle
> [mm](x_1,x_2,x_3)\in M[/mm] folgt (euklidische Metrik des [mm]\IR^3[/mm]
> vorausgesetzt).
Ich hatte hier [mm] $\IR^3$ [/mm] als normierten Raum aufgefasst und mich damit begnügt, den Betrag der Norm von Elementen von $M$ abzuschätzen (natürlich wäre $1$ eine kleinere und leichter zu habende obere Schranke für die Normen von Elementen von $M$, der Einheitskugel, gewesen).
Aber bei einem metrischen Raum muss eine Schranke für [mm] $\mathrm{d}(x,y)$, [/mm] für alle [mm] $x,y\in [/mm] M$ gefunden werden. Anschaulich ist klar, dass $2$ eine solche Schranke ist (Durchmesser der Einheitskugel). Man braucht jedoch nicht lange nach einem Beweis für den exakten Durchmesser von $M$ zu suchen, sondern darf aus [mm] $x_{1,2,3}^2, y_{1,2,3}^2\leq [/mm] 1$ auf [mm] $|x_{1,2,3}-y_{1,2,3}|\leq [/mm] 1+1=2$ und damit auf [mm] $\mathrm{d}(x,y)\leq \sqrt{2^2+2^2+2^2}=2\sqrt{3}$ [/mm] schliessen. Diese Schranke ist zwar unnötig gross, aber ... Schranke ist Schranke.
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