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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:18 So 18.04.2010 | | Autor: | Baumkind |
| Aufgabe | Zeige, dass W ein abgeschlossener Teilraum ist.
$ [mm] W=\{ (a_1,a_2,...)\in l^2 (\IR) | \sum_{i=1}^{\infty} \frac{1}{2^i}a_i=0\} [/mm] $ |
Ich versuche nun zu zeigen, dass der Grenzwert einer konvergenten Folge von Folgen $ [mm] (w^n )_{n\in \IN}\in [/mm] W $ wieder in W liegt.
Ist w der Grenzwert obiger Folge, so gilt:
$ [mm] lim_{n\to \infty} [/mm] || [mm] w^n -w||=\sqrt{\sum_{i=1}^{\infty} (w_i^n-w_i)^2}=0$
[/mm]
Damit muss ich nun folgern, dass [mm] $\sum_{i=1}^{\infty} \frac{1}{2^i}w_i=0$
[/mm]
Wie gehe ich nun weiter vor?
Schon mal danke für die Hilfe.
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Hiho,
ich würde spontan zeigen, dass [mm] W^c [/mm] offen ist, daraus folgt sofort W abgeschlossen....
[mm] $W^c=\{ (a_1,a_2,...)\in l^2 (\IR) | \sum_{i=1}^{\infty} \frac{1}{2^i}a_i\not=0\}$
[/mm]
Dass es um $a [mm] \in W^c$ [/mm] eine [mm] \varepsilon-Kugel [/mm] gibt, so dass für $b [mm] \in B_\varepsilon(a)$ [/mm] gilt [mm] $\sum_{i=1}^{\infty} \frac{1}{2^i}b_i\not=0$ [/mm] ergibt sich aus der Stetigkeit von
$f(a) = [mm] \sum_{i=1}^{\infty} \frac{1}{2^i}a_i$
[/mm]
die du dann noch zeigen müsstest 
MFG,
Gono.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:17 Di 20.04.2010 | | Autor: | fred97 |
Ergänzend zu Gonozal:
Die Abbildung [mm] f:l^2(\IR) \to \IR, [/mm]
$ f(a) = [mm] \sum_{i=1}^{\infty} \frac{1}{2^i}a_i [/mm] $ für [mm] a=(a_i) \in l^2(\IR) [/mm] , ist eine stetige Linearform und es ist $W=kern(f)$
Da der kern stetiger linearer Abbildungen abgeschlossen ist, ist nur die Stetigkeit von f zu zeigen.
Beachte: f ist stetig [mm] \gdw [/mm] f ist beschränkt.
FRED
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